Pop Video: Séries de Taylor

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Quando aprendi sobre a série de Taylor, definitivamente não apreciei o quão importante elas são. Mas, de tempos em tempos, elas aparecem em matemática, física e em muitos campos da engenharia, porque são uma das ferramentas mais poderosas que a matemática tem a oferecer para aproximar funções.

Eu acho que uma das primeiras vezes que isso me ocorreu quando estudante não estava em uma aula de cálculo, mas em uma aula de física. Estávamos estudando um certo problema que tinha a ver com a energia potencial de um pêndulo. E para isso, você precisa de uma expressão de quão alto o peso do pêndulo está acima do seu ponto mais baixo. E quando você trabalha isso, é proporcional a um menos o cosseno do ângulo entre o pêndulo e a vertical. Agora, as especificidades do problema que estávamos tentando resolver estão além do ponto aqui. Mas o que vou dizer é que essa função do cosseno tornou o problema estranho e pesado. E deixou menos claro como os pêndulos se relacionam com outros fenômenos oscilantes. Mas se você aproximar cos de 𝜃 como um menos 𝜃 ao quadrado sobre dois, de todas as coisas, tudo se encaixaria muito mais facilmente.

Agora, se você nunca viu algo assim antes, uma aproximação como essa pode parecer completamente fora do campo esquerdo. Quero dizer, se você representar graficamente cos de 𝜃 junto com esta função, um menos 𝜃 ao quadrado sobre dois, eles parecerão bastante próximos um do outro, pelo menos para pequenos ângulos próximos a zero. Mas como você pensaria em fazer essa aproximação? E como você encontraria essa quadrática em particular? O estudo da série de Taylor trata principalmente de tomar funções não polinomiais e encontrar polinômios que os aproximam de alguma entrada. E o motivo aqui é que os polinômios tendem a ser muito mais fáceis de lidar do que outras funções. Eles são mais fáceis de calcular, mais fáceis de obter derivadas, mais fáceis de integrar, apenas mais amigáveis.

Então, vamos dar uma olhada nessa função, cos de 𝑥, e realmente ter um momento para pensar em como você pode construir uma aproximação quadrática próxima de 𝑥 igual a zero. Ou seja, entre todos os polinômios possíveis que se parecem com 𝑐 zero mais 𝑐 um vezes 𝑥 mais 𝑐 duas vezes 𝑥 ao quadrado para alguma escolha dessas constantes 𝑐 zero, 𝑐 um e 𝑐 dois, encontre o que mais se assemelha a cos de 𝑥 próximo de 𝑥 é igual a zero, cujo gráfico é o tipo de colheres com o gráfico de cos 𝑥 nesse ponto.

Bem, antes de tudo, na entrada zero, o valor de cos de 𝑥 é um. Portanto, se nossa aproximação for boa, ela também deve ser igual a um na entrada 𝑥 igual a zero. Substituindo zero resulta apenas em 𝑐 zero, para que possamos definir isso igual a um. Isso nos deixa livres para escolher constantes 𝑐 um e 𝑐 dois para tornar essa aproximação a melhor possível. Mas nada do que fazemos com eles vai mudar o fato de que o polinômio é igual a um em 𝑥 é igual a zero. Agora também seria bom se nossa aproximação tivesse a mesma inclinação tangente que cos 𝑥 nesse ponto de interesse. Caso contrário, a aproximação se afasta do gráfico de cosseno muito mais rapidamente do que o necessário.

A derivada do cosseno é menos seno. E em 𝑥 é igual a zero, isso é igual a zero, o que significa que a reta tangente é perfeitamente plana. Por outro lado, quando você calcula a derivada de nossa quadrática, obtém 𝑐 um mais duas vezes 𝑐 dois vezes 𝑥. Em 𝑥 é igual a zero, isso é igual ao que escolhemos para 𝑐 um. Portanto, essa constante 𝑐 um tem controle completo sobre a derivada de nossa aproximação em torno de 𝑥 é igual a zero. Definindo isso igual a zero garante que nossa aproximação também tenha uma reta tangente plana neste ponto. E isso nos deixa livres para mudar 𝑐 dois. Mas o valor e a inclinação do nosso polinômio em 𝑥 igual a zero estão bloqueados no lugar para coincidir com o do cosseno.

A última coisa a ser aproveitada é o fato de o gráfico de cosseno se curvar para baixo acima de 𝑥 igual a zero. Ele tem uma segunda derivada negativa. Ou, em outras palavras, mesmo que a taxa de variação seja zero nesse ponto, a taxa de variação em si está diminuindo em torno desse ponto. Especificamente, como sua derivada é menos sen de 𝑥, sua segunda derivada é menos cos de 𝑥. E em 𝑥 é igual a zero, isso é igual a menos um. Agora, da mesma maneira que queríamos que a derivada de nossa aproximação correspondesse à do cosseno, para que seus valores não se afastassem desnecessariamente rápidos, certificando-se de que suas segundas derivadas correspondessem para garantir suas curvas na mesma taxa, que a inclinação de nosso polinômio não se afasta da inclinação de cos 𝑥 mais rapidamente do que precisa.

Puxando a mesma derivada que tínhamos antes e depois tirando sua derivada, vemos que a segunda derivada desse polinômio é exatamente duas vezes 𝑐 dois. Portanto, para garantir que essa segunda derivada também seja igual a menos um em 𝑥 é igual a zero, duas vezes 𝑐 dois deve ser menos um. Significando que 𝑐 dois em si deve ser menos um meio. E isso nos dá a aproximação um mais zero 𝑥 menos um meio 𝑥 ao quadrado. E para ter uma ideia de como isso é bom, se você estimar cos de 0.1 usando esse polinômio, estima-se que seja 0.995. E este é o verdadeiro valor de cos de 0.1. É uma aproximação muito boa.

Reserve um momento para refletir sobre o que aconteceu. Você tinha três graus de liberdade com essa aproximação quadrática, as constantes 𝑐 zero, 𝑐 um e 𝑐 dois. 𝑐 zero foi responsável por garantir que a saída da aproximação corresponda à de cos 𝑥 em 𝑥 igual a zero. 𝑐 um era responsável por garantir que as derivadas correspondessem naquele ponto. E 𝑐 dois era responsável por garantir que as segundas derivadas se correspondessem. Isso garante que a maneira como sua aproximação muda à medida que você se afasta de 𝑥 igual a zero e a maneira como a taxa de variação em si é a mais semelhante possível ao comportamento de cos 𝑥, dada a quantidade de controle que você possui.

Você pode se dar mais controle, permitindo mais termos em seu polinômio e combinando derivadas de ordem superior. Por exemplo, digamos que você adicionou o termo 𝑐 três vezes 𝑥 ao cubo por uma constante 𝑐 três. Bem, nesse caso, se você usar a terceira derivada de um polinômio cúbico, qualquer coisa quadrática ou menor será zero. E quanto ao último termo, depois de três iterações da regra do potência, parece com um vezes dois vezes três vezes qualquer coisa que 𝑐 três é. Por outro lado, a terceira derivada de cos 𝑥 resulta em sen de 𝑥, que é igual a zero em 𝑥 é igual a zero. Portanto, para garantir que as terceiras derivadas correspondam, a constante 𝑐 três deve ser zero. Ou, em outras palavras, não apenas um menos um meio 𝑥 ao quadrado é a melhor aproximação quadrática possível do cosseno, mas também a melhor aproximação cúbica possível.

Você pode realmente fazer uma melhoria adicionando um termo de quarta ordem, 𝑐 quatro vezes 𝑥 elevado a quatro. A quarta derivada do cosseno é na verdade ela mesma, que é igual a um em 𝑥 igual a zero. E qual é a quarta derivada do nosso polinômio com este novo termo? Bem, quando você continua aplicando a regra de potência repetidamente, com todos os expoentes pulando para frente e para trás, você termina com um vezes dois vezes três vezes quatro vezes 𝑐 quatro, que é 24 vezes 𝑐 quatro. Portanto, se queremos que isso corresponda à quarta derivada de cos 𝑥, que é um, 𝑐 quatro deve ser um sobre 24. E, de fato, o polinômio um menos um meio 𝑥 ao quadrado mais um vinte e quatro avos vezes 𝑥 elevado a quatro, que se parece com isso, é uma aproximação muito próxima de cos 𝑥 em torno de 𝑥 igual a zero.

Em qualquer problema de física que envolva o cosseno de um ângulo pequeno, por exemplo, as previsões seriam quase imperceptivelmente diferentes se você substituísse esse polinômio por cos de 𝑥. Agora, dê um passo atrás e observe algumas coisas acontecendo com esse processo. Antes de tudo, os termos fatoriais surgem muito naturalmente nesse processo. Quando você pega 𝑛 derivadas sucessivas da função 𝑥 elevado a 𝑛, deixando a regra de energia continuar em cascata, o que lhe resta é um vezes dois vezes três vezes e assim por diante, o que quer que seja 𝑛. Portanto, você simplesmente não define os coeficientes do polinômio iguais a qualquer derivada que deseja, mas é necessário dividir pelo fatorial apropriado para cancelar esse efeito.

Por exemplo, que 𝑥 elevado ao quarto coeficiente era a quarta derivada do cosseno, um, mas dividido por quatro fatorial, 24. A segunda coisa a se notar é que adicionar novos termos, como esse 𝑐 quatro vezes 𝑥 elevado a quatro, não atrapalhe quais devem ser os termos antigos. E isso é realmente importante. Por exemplo, a segunda derivada desse polinômio em 𝑥 é igual a zero ainda é igual a duas vezes o segundo coeficiente, mesmo após a introdução de termos de ordem superior. E é porque estamos substituindo em 𝑥 é igual a zero. Portanto, a segunda derivada de qualquer termo de ordem superior, que inclui um 𝑥, será lavada. E o mesmo vale para qualquer outra derivada, e é por isso que cada derivada de um polinômio em 𝑥 é igual a zero é controlada por um e apenas um dos coeficientes.

Se, em vez disso, você estivesse se aproximando de uma entrada diferente de zero, como talvez 𝑥 igual a 𝜋, para obter o mesmo efeito, seria necessário escrever seu polinômio em termos de potências de 𝑥 menos 𝜋 ou qualquer outra entrada que estivermos procurando. Isso faz com que pareça visivelmente mais complicado. Mas tudo o que estamos fazendo é apenas garantir que o ponto 𝜋 pareça e se comporte como zero, para que substituindo em 𝑥 igual 𝜋 resulte em um bom cancelamento, deixando apenas uma constante. E, finalmente, em um nível mais filosófico, observe como o que estamos fazendo aqui é basicamente obter informações sobre derivadas de ordem superior de uma função em um único ponto. E então traduzindo isso em informações sobre o valor da função próximo a esse ponto.

Você pode tomar quantas derivadas de cosseno quiser. Segue este belo padrão cíclico: cos de 𝑥, menos sen de 𝑥, menos cos, sen e, em seguida, repita. E o valor de cada um deles é fácil de calcular em 𝑥 igual a zero. Ele fornece esse padrão cíclico: um, zero, menos um, zero e depois repita. E conhecendo os valores de todas essas derivadas de ordem superior é muita informação sobre cos de 𝑥, mesmo que envolva apenas a substituição de um único número, 𝑥 é igual a zero. Então, o que estamos fazendo é aproveitar essas informações para obter uma aproximação sobre essa entrada. E você faz isso criando um polinômio cujas derivadas de ordem superior são projetadas para combinar com as do cosseno, seguindo o mesmo padrão cíclico, zero, menos um, zero.

E para fazer isso, basta fazer com que cada coeficiente do polinômio siga o mesmo padrão. Mas você precisa dividir cada um pelo fatorial apropriado. Como mencionei antes, é isso que cancela os efeitos em cascata de muitas aplicações da regra de potência. Os polinômios que você obtém ao parar este processo a qualquer momento são chamados polinômios de Taylor para cos de 𝑥. De maneira mais geral e, portanto, mais abstrata, se estivéssemos lidando com alguma outra função que não o cosseno, você calcularia sua derivada, sua segunda derivada e assim por diante, obtendo quantos termos desejar. E você avaliaria cada um deles em 𝑥 igual a zero. Então, para a aproximação polinomial, o coeficiente de cada termo 𝑥 elevado a 𝑛 deve ser o valor da 𝑛-ésima derivada da função calculada em zero, mas dividida por 𝑛 fatorial.

E toda essa fórmula bastante abstrata é algo que você provavelmente verá em qualquer texto ou curso que toque nos polinômios de Taylor. E quando você vê, quero que pense que esse termo constante garante que o valor do polinômio corresponda ao valor de 𝑓. O próximo termo garante que a inclinação do polinômio corresponda à inclinação da função em 𝑥 igual a zero. O próximo termo garante que a taxa na qual a inclinação muda seja a mesma nesse ponto e assim por diante, dependendo de quantos termos você deseja. E quanto mais termos você escolher, mais próxima será a aproximação. Mas a desvantagem é que o polinômio que você obteria seria mais complicado.

E para tornar as coisas ainda mais gerais, se você quiser aproximar perto de alguma entrada diferente de zero, que chamaremos de 𝑎, você escreveria esse polinômio em termos de potências de 𝑥 menos 𝑎. E você calcularia todas as derivadas de 𝑓 nessa entrada, 𝑎. É assim que os polinômios de Taylor se parecem em sua maior generalidade. Alterar o valor de 𝑎 muda onde esta aproximação está abraçando a função original, onde suas derivadas de ordem superior serão iguais às da função original.

Um dos exemplos significativos mais simples disso é a função 𝑒 elevado a 𝑥, ao redor da entrada 𝑥 igual a zero. Calculando as derivadas é super agradável, o mais agradável possível, porque a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é ela mesma. Portanto, a segunda derivada também é 𝑒 elevado a 𝑥, assim como sua terceira, e assim por diante. Portanto, no ponto 𝑥 é igual a zero, todos são iguais a um. E o que isso significa é que nossa aproximação polinomial deve parecer um mais um vezes 𝑥 mais um sobre dois vezes 𝑥 ao quadrado mais um sobre três fatorial vezes 𝑥 ao cubo e assim por diante, dependendo de quantos termos você deseja. Estes são os polinômios de Taylor para 𝑒 elevado a 𝑥.

Ok, então, com isso, como base, com o objetivo de mostrar o quanto todos os tópicos de cálculo estão conectados, deixe-me ver algo divertido, uma maneira completamente diferente de entender esse termo de segunda ordem dos polinômios de Taylor, mas geometricamente. Está relacionado ao teorema fundamental do cálculo, sobre o qual falei nos capítulos um e oito, se você precisar de uma atualização rápida. Como fizemos nesses vídeos, considere uma função que fornece a área sob algum gráfico entre um ponto esquerdo fixo e um ponto direito variável. O que faremos aqui é pensar em como aproximar essa função de área, não a função do gráfico em si, como já fizemos antes. Focar nessa área é o que fará o termo de segunda ordem aparecer.

Lembre-se, o teorema fundamental do cálculo é que esse próprio gráfico representa a derivada da função área. E é porque um leve empurrão, d𝑥, para o limite direito da área fornece uma nova parte da área que é aproximadamente igual à altura do gráfico vezes d𝑥. E essa aproximação é cada vez mais precisa para escolhas cada vez menores de d𝑥. Mas se você quiser ser mais preciso sobre essa alteração na área, com alguma alteração em 𝑥 que não se aproxime de zero, será necessário levar em consideração essa parte aqui, que é aproximadamente um triângulo.

Vamos nomear a entrada inicial 𝑎 e a entrada pressionada acima dela 𝑥 para que essa alteração seja 𝑥 menos 𝑎. A base desse pequeno triângulo é essa mudança, 𝑥 menos 𝑎. E sua altura é a inclinação do gráfico vezes 𝑥 menos 𝑎. Como esse gráfico é a derivada da função de área, sua inclinação é a segunda derivada da função de área, calculada na entrada 𝑎. Portanto, a área desse triângulo, metade da base vezes a altura, é metade da segunda derivada dessa função de área, calculada em 𝑎, multiplicada por 𝑥 menos 𝑎 ao quadrado. E é exatamente isso que você veria com um polinômio de Taylor. Se você conhecesse as várias informações derivadas sobre essa área no ponto 𝑎, como você aproximaria a área no ponto 𝑥?

Bem, você deve incluir toda essa área até 𝑎, 𝑓 de 𝑎, mais a área desse retângulo aqui, que é a primeira derivada vezes 𝑥 menos 𝑎, mais a área desse pequeno triângulo, que é um meio vezes a segunda derivada vezes 𝑥 menos 𝑎 ao quadrado. Eu realmente gosto disso porque, embora pareça um pouco bagunçado, todos os termos têm um significado muito claro que você pode apontar no diagrama. Se você quiser, poderíamos terminar aqui. E você teria uma ferramenta fenomenalmente útil para aproximações com esses polinômios de Taylor. Mas, se você está pensando como um matemático, uma pergunta que você pode fazer é se faz sentido ou não parar e adicionar apenas termos infinitos.

Em matemática, uma soma infinita é chamada de série. Portanto, mesmo que uma dessas aproximações com muitos termos finitos seja chamada de polinômio de Taylor, adicionar todos os termos infinitamente múltiplos dá o que é chamado de série de Taylor. Você precisa ter muito cuidado com a ideia de uma série infinita, porque não faz sentido adicionar infinitamente muitas coisas. Você só pode pressionar o botão mais na calculadora muitas vezes. Mas se você tem uma série em que adicionar cada vez mais termos, que fazem sentido a cada etapa, aproxima cada vez mais um valor específico, o que você diz é que a série converge para esse valor. Ou, se você se sente confortável em estender a definição de igualdade para incluir esse tipo de série convergente, diria que a série como um todo, essa soma infinita, é igual ao valor para o qual está convergindo.

Por exemplo, observe o polinômio Taylor de 𝑒 elevado a 𝑥 e insira alguma entrada como 𝑥 igual a um. À medida que você adiciona mais e mais termos polinomiais, a soma total se aproxima cada vez mais do valor 𝑒. Então você diz que essa série infinita converge para o número 𝑒. Ou, o que está dizendo a mesma coisa, é igual ao número 𝑒. De fato, acontece que se você inserir qualquer outro valor de 𝑥, como 𝑥 igual a dois, e observar o valor dos polinômios de Taylor de ordem superior nesse valor, eles convergirão para 𝑒 elevado a 𝑥, que neste caso seria 𝑒 ao quadrado. E isso é verdade para qualquer entrada, não importa o quão longe esteja do zero, mesmo que esses polinômios de Taylor sejam construídos apenas a partir de informações derivadas coletadas na entrada zero.

Em um caso como esse, dizemos que 𝑒 elevado a 𝑥 é igual a sua própria série de Taylor em todas as entradas 𝑥, o que é uma coisa mágica de acontecer. E mesmo que isso também ocorra em algumas outras funções importantes, como seno e cosseno, algumas vezes essas séries convergem apenas dentro de um certo intervalo em torno da entrada cujas informações derivadas você está usando. Se você calcular a série de Taylor para o log natural de 𝑥 em torno da entrada 𝑥 é igual a um, que é construído calculando as derivadas de ordem superior do log natural de 𝑥 em 𝑥 igual a um, é assim que seria. Quando você insere uma entrada entre zero e dois, adicionar cada vez mais termos desta série a aproximará cada vez mais do log natural dessa entrada.

Mas fora desse intervalo, mesmo que apenas um pouquinho, essa série não consegue abordar nada. À medida que você adiciona mais e mais termos, a soma meio que salta de um lado para outro descontroladamente. Como você pode esperar, ele não se aproxima o log natural desse valor, mesmo que o log natural de 𝑥 esteja perfeitamente bem definido para entradas acima de dois. Em certo sentido, as informações derivadas de ln de 𝑥 em 𝑥 igual a um que não se propaga tão longe. Em um caso como esse em que adicionar mais termos da série não se aproxima de nada, você diz que a série diverge. E essa distância máxima entre a entrada que você está aproximando e os pontos onde as saídas desses polinômios realmente convergem é chamada de raio de convergência para a série de Taylor.

Ainda resta aprender mais sobre a série de Taylor. Existem muitos casos de uso, táticas para colocar limites no erro dessas aproximações, testes para entender quando as séries convergem e não convergem. E, por falar nisso, ainda resta aprender mais sobre o cálculo como um todo e os inúmeros tópicos não abordados nesta série. O objetivo desses vídeos é fornecer as intuições fundamentais que fazem você se sentir confiante e eficiente em aprender mais por conta própria e potencialmente até redescobrir mais o tópico por si mesmo. No caso das séries de Taylor, a intuição fundamental a ter em mente ao explorar mais do que existe é que elas traduzem informações derivadas em um único ponto para informações de aproximação em torno desse ponto.