Pop Video: O Triângulo de Potências

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Normalmente, eu não acho que a notação em matemática importe muito. Não me entendas mal. Eu gosto tanto de uma má notação quanto as deste tipo, e há claramente algumas mudanças simples nas nossas convenções que poderiam acelerar a aprendizagem de alunos de matemática em muitos sítios.

Mas no final do dia, notação, boa ou má, não é o grande objetivo da matemática. Mesmo os símbolos e a sintaxe mais cuidadosamente projetados não conseguirão capturar o visual subjacente que constitui a compreensão.

Então, eu acho que é melhor simplesmente dedicar tempo à essência subjacente e deixar que os símbolos sejam o que são em paz.

Mas dito isto, quando a notação não intuitiva barra ativamente as engrenagens da aprendizagem, então esta posição sobre o assunto endurece um pouco. Em particular, estou a pensar num trio de sintaxe, que, quando paras e pensas sobre ele, é uma notória fonte de atrito na educação matemática em muitos sítios.

Se considerares o facto de que dois multiplicado por si três vezes é igual a oito, por exemplo, temos três formas distintas de explicar esta relação. Dois ao cubo é oito, com escrita acima da linha. A raiz cúbica de oito é dois, com um símbolo para a raiz radical. E a base de log dois de oito é igual a três, que escrevemos utilizando a própria palavra “log”.

O que diabos estas três formas de escrever o mesmo facto têm a ver uma com a outra? Criar uma sintaxe para um conceito é bom, mas não faças isso de três formas completamente diferentes para o mesmo conceito e não forces os alunos a aprender todas as regras sobre esse conceito em três momentos distintos. É como se fosse uma língua diferente.

Essa forma de escrever as coisas não é apenas contra-intuitiva; é contra-matemática, pois em vez de fazer com que factos aparentemente diferentes pareçam iguais, que é o que a matemática deveria fazer, considera três factos, que obviamente devem ser os mesmos, e fazem-nos parecer artificialmente diferentes.

Basta pensar em como os logaritmos foram uma confusão a primeira vez que os aprendeste. Este é, obviamente, um problema conhecido, e a Internet não tem escassez de pessoas que levantam a mesma preocupação com sugestões para uma melhor notação.

Mas recentemente, eu tropecei num fórum de troca de posts de matemática com uma sugestão tão adorável, tão simétrica, tão absolutamente razoável que eu não tenho como não partilhá-lo.

Para uma relação como dois ao cubo igual a oito, pega num triângulo e escreve dois no canto inferior esquerdo, três no topo e oito no canto inferior direito.

Para escrever a operação dois ao cubo, remove o canto inferior direito. O símbolo como um todo representa o valor que deve estar no canto em branco.

Para escrever log de base dois de oito, que faz a pergunta “dois elevado a quê é igual a oito?”, remove o número em cima. O símbolo como um todo representa o valor que deve estar no canto em branco.

Para escrever a raiz cúbica de oito, que diz: “qual o número que elevado a três é igual a oito?”, remove o canto inferior esquerdo. O símbolo como um todo representa o valor que deve estar no canto em branco.

Por outras palavras, todas as três operações estão completamente representadas simetricamente. Este triângulo merece um nome, e um amigo meu da Khan Academy decidiu que deveríamos chamá-lo de triângulo de potências. A definição por si só é ligeiramente agradável, mas onde está a diversão é quando vês o quão mais suaves todas as operações se tornam.

Na nossa notação atual, existem seis formas diferentes de escrever as várias operações inversas. A maioria delas é memorizada como entidades separadas. Algumas nem são abordadas. E não há um padrão à vista, mesmo que todas descrevam a mesma ideia básica.

Mas os alunos ainda têm que esforço seis vezes para memorizar cada uma, são seis vezes mais propensos a cometer um erro, e têm seis oportunidades separadas para decidir que a matemática é estúpida, chata e propícia ao fracasso, e por que não vou estudar arte em vez disto?

Com o triângulo de potências, todas estas operações seguem o mesmo padrão. Os nossos cérebros são realmente bons a captar padrões como este e podes imaginar muito mais facilmente uma imagem mental fácil associada à propriedade.

Há até um certo prazer estético nisto e, quem sabe, talvez mais alunos com inclinação artística olhem favoravelmente para isto o tempo suficiente para ver o quão valiosas as suas intuições realmente são na ciência.

Tomemos outra propriedade, como a ideia de que 𝑎 elevado a 𝑥 vezes 𝑎 elevado a 𝑦 é igual a 𝑎 elevado a 𝑥 mais 𝑦. O facto correspondente para logaritmos é que o log de 𝑥 vezes 𝑦 é igual a log de 𝑥 mais log de 𝑦.

Quando escreves isto com o triângulo de potências, é um pouco mais fácil ver que ambas as expressões estão realmente a dizer a mesma coisa.

Lembra-te, o símbolo como um todo representa o número no canto em branco, portanto a expressão no topo diz que quando multiplicas dois números que pertencem ao canto inferior direito do triângulo, corresponde à adição dos números que pertencem ao topo, mas é também o que a expressão em baixo está a dizer: quando multiplicas os números no canto inferior direito, isso corresponde à adição de números que pertencem ao topo.

Para ajudar os alunos com isto, poderias desenhar dentro do triângulo, dizendo que quando o canto inferior esquerdo é constante, os números no topo gostam de adicionar, enquanto os números no canto inferior direito gostam de se multiplicar.

E o que acontece quando um canto diferente fica constante, como o do topo? Bem, nesse caso, escreverias um sinal de multiplicação nos dois cantos inferiores, porque, com expoentes e radicais, a multiplicação transforma-se em multiplicação.

A pergunta natural que um aluno pode fazer a partir daqui é se existe uma regra análoga para quando o canto inferior direito permanece constante. Há sim.

Tens que introduzir uma nova operação, que, por causa deste vídeo, eu chamá-lo-ei de O-mais, onde 𝑎 O-mais 𝑏 é igual a um sobre um sobre 𝑎 mais um sobre 𝑏.

Isto não é realmente uma coisa ridícula de se apresentar, já que surge em física a toda a hora, como quando estás a calcular resistências em paralelo. Com este símbolo, poderias dizer que quando o número inferior direito permanece constante, os números mais acima gostam de O-mais e os números do canto inferior esquerdo gostam de se multiplicar.

Esta é realmente uma ligação muito agradável entre logaritmos e raízes, e nunca é discutida, provavelmente porque a notação não é propícia a fazer a pergunta.

Eu poderia continuar aqui a mostrar muitas outras propriedades, mas sinceramente acho que o melhor que posso fazer aqui é encorajar-te a explorá-lo por ti mesmo. E observa que praticamente tudo que o envolve expoentes, logs e radicais se torna mais agradável quando utilizas o triângulo de potências.

A propósito, espero que não seja preciso dizer que, neste mundo perfeito, os alunos não aprenderiam estas operações apenas com os símbolos. Eles deverão perguntar por que é que é verdade e por que não segue um padrão diferente.

Mas o importante é que quando a notação reflete realmente a matemática, as perguntas que os alunos mais fazem naturalmente tendem a ser aquelas que vão ter à essência do que está a acontecer.

As assimetrias na notação correspondem a assimetrias reais na relação numérica 𝑎 elevado a 𝑏 igual a 𝑐, não nas assimetrias artificiais de rabiscos e palavras.

Quando um aluno pergunta por que é que o topo gosta de ser adicionado num contexto, mas passa a O-mais noutro, o professor pode apontar a propriedade de que refletindo o triângulo o topo inverte e, em seguida, podem começar a abordar de onde vem esse facto.

A minha sincera esperança é de que os alunos aprendam não por padrões simbólicos, mas por raciocínio substantivo e rederivação nas suas próprias cabeças. Mas o facto é que a maioria de nós aprende as coisas primeiro por meio da manipulação simbólica, então, quando há uma oportunidade de acelerar significativamente esse processo, deveríamos aproveitá-lo.

E se concordas comigo que o triângulo de potências é claramente melhor do que o que já temos, começa a usá-lo nas tuas anotações para ver como é. Espalha a palavra. E se és um professor, talvez comeces a ensinar isto aos teus alunos para que os possamos aliciar enquanto são jovens.