Vídeo: Determinando o Limite de uma Função a partir do Seu Gráfico num Ponto de Descontinuidade Removível, Se o Limite Existir

Sabendo que o gráfico seguinte representa a função 𝑓(𝑥) = (𝑥² − 4)/(𝑥 + 2), determine lim_(𝑥 → −2) 𝑓(𝑥).

02:42

Transcrição do vídeo

Sabendo que o gráfico seguinte representa a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro sobre 𝑥 mais dois, determine o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de menos dois.

Vamos ver no nosso gráfico. E podemos ver que se parece muito com o gráfico de uma reta. E, de facto, é-o com uma pequena diferença, esta bola aberta aqui com coordenadas menos dois e menos quatro. Esta bola aberta representa um buraco no gráfico ou uma lacuna na reta. Então, 𝑓 de menos dois não é menos quatro.

Há uma lacuna no gráfico de onde estivemos a ler. E como não há bola fechada no gráfico com coordenada em 𝑥 de menos dois, então 𝑓 de menos dois não está definido. Utilizámos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 para determinar isso. Mas também podemos utilizar a expressão algébrica que define 𝑓 de 𝑥 na questão.

𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro sobre 𝑥 mais dois. Podemos substituir menos dois nesta expressão. E simplificando esta expressão no lado direito, temos zero sobre zero. Aqui utilizamos o facto de que menos dois ao quadrado é quatro. E assim o numerador quatro menos quatro é zero. E da mesma forma, o denominador menos dois mais dois é apenas zero.

Zero sobre zero é uma indeterminação, que não está definida. E assim a nossa expressão algébrica concorda com nosso gráfico. 𝑓 de menos dois não está definido. Como é que isto afeta o valor do limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois?

O valor de 𝑓 de menos dois não afeta este limite. Assim, 𝑓 de menos dois pode ser menos quatro ou três ou um bilhão ou como está aqui, não definido. E isso não afeta o limite para 𝑥 a tender para menos dois de 𝑓 de 𝑥. O que é importante é os valores de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 está muito próximo de menos dois.

O limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a aproximar-se de menos dois é o valor de que 𝑓 de 𝑥 se aproxima à medida que 𝑥 se aproxima de menos dois. Podemos ver no gráfico que 𝑓 de menos três é menos cinco. E à medida que o 𝑥 se aproxima de menos dois, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se mais e mais de menos quatro.

O mesmo é verdadeiro se nos aproximamos de 𝑥 igual a menos dois pela direita. 𝑓 de 𝑥 aproxima-se cada vez mais de menos quatro. E então este é o valor do nosso limite. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois é menos quatro.

Ao escolher um valor 𝑥 próximo o suficiente de menos dois, pode fazer 𝑓 de 𝑥 o mais próximo possível de menos quatro. O facto de que a função 𝑓 não esteja na verdade definida em menos dois não é importante.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.