Vídeo: Cálculos que Envolvem Valores Esperados

Um experimento que produz a variável aleatória discreta 𝑋 tem a distribuição de probabilidade dada. Calcule 𝐸(𝑋). Calcule 𝐸(𝑋²). A variância de 𝑋 pode ser calculada utilizando a fórmula Var (𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋)². Calcule Var (𝑋) aproximada a 2 casas decimais.

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Um experimento que produz a variável aleatória discreta 𝑋 tem a distribuição de probabilidade dada. Calcule 𝐸 de 𝑋, o valor esperado de 𝑋.

Esse valor aqui é o valor esperado de 𝑋, para o qual temos uma fórmula. É a soma dos produtos dos valores de 𝑋 com a probabilidade de 𝑋 tomar esse valor. Portanto, em nosso problema, 𝐸 de 𝑋 é duas vezes a probabilidade de que 𝑋 é dois, 0.1, mais três vezes a probabilidade de que 𝑋 é três, ou seja, 0.3, mais quatro vezes 0.2 mais cinco vezes 0.4. Cada resultado possível de 𝑋 contribui com um termo para essa soma. Calculando esta soma, obtemos 3.9. Este valor é o valor esperado de 𝑋 porque dá o tipo do valor médio de 𝑋 que seria de se esperar. Se repetíssemos a experiência 𝑛 vezes, a soma dos nossos resultados seria em torno de 3.9 vezes 𝑛.

A próxima parte da nossa questão é calcular o valor esperado de 𝑋 ao quadrado.

Essa quantidade nos diz o que devemos esperar que o quadrado do resultado dos experimentos seja em média. É importante observar que o valor esperado de 𝑋 ao quadrado não é a mesma coisa que o valor esperado de 𝑋, ao quadrado. Adicionamos a definição do valor esperado de 𝑋 ao quadrado para a definição do valor esperado de 𝑋. Usamos a definição do valor esperado de 𝑋 ao quadrado para calcular isso para o nosso exemplo. O primeiro resultado, que é dois, contribui com dois ao quadrado vezes 0.1. O segundo contribui com três ao quadrado vezes 0.3. Acrescentamos quatro ao quadrado vezes 0.2 e cinco ao quadrado vezes 0.4. Colocando isso em nossas calculadoras, obtemos 16.3. Podemos ver que, como afirmado, esse valor é diferente do valor esperado de 𝑋, que encontramos ser de 3.9 ao quadrado.

A parte final desta questão é: A variância de 𝑋 pode ser calculada usando a fórmula Var de 𝑋, ou a variância de 𝑋, é igual ao valor esperado de 𝑋 ao quadrado menos o valor esperado de 𝑋, ao quadrado. Calcule Var de 𝑋, a variância de 𝑋, para duas casas decimais.

Já calculamos o valor esperado de 𝑋 ao quadrado. São 16.3. E a partir disso, temos que subtrair o valor esperado de 𝑋, ao quadrado. Então, isso é 3.9 ao quadrado. Colocando isso em nossas calculadoras, obtemos 1.09. Portanto, não há necessidade de arredondar este valor para duas casas decimais, porque ele já tem apenas duas casas decimais. E esta é a nossa resposta: a variância de 𝑋 é 1.09.

Bem, o valor esperado da variável aleatória discreta 𝑋 fornece um tipo de resultado representativo ou médio da variável aleatória. A variância de 𝑋 diz-lhe como se espalham os resultados. Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta 𝑋, você não precisa apenas do valor esperado de 𝑋, você também precisa do valor esperado de 𝑋 ao quadrado. É importante saber que isso não é o mesmo que o valor esperado de 𝑋, ao quadrado. Se fosse, então a variância de uma variável 𝑋 aleatória discreta seria sempre zero, a partir da definição. A variância de uma variável aleatória discreta 𝑋 é a segunda mais importante depois do valor esperado. E assim a variância aumentará muito nas estatísticas de alto nível.

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