Pop Video: Visualização da Hipótese de Riemann e Continuação Analítica

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A função zeta de Riemann, esse é um daqueles objetos da matemática moderna que muitos de vocês já devem ter ouvido falar, mas que podem ser realmente difíceis de entender. Não se preocupe, vou explicar a animação que você acabou de ver em alguns minutos. Muitas pessoas conhecem essa função porque há um prêmio de um milhão de dólares para quem conseguir descobrir quando ela é igual a zero. Um problema em aberto conhecido como hipótese de Riemann. Alguns de vocês podem ter ouvido falar disso no contexto da soma divergente um mais dois mais três mais quatro, até o infinito. Veja bem, há um sentido em que a soma é igual a menos um doze avos, o que parece absurdo, se não obviamente errado. Mas uma maneira comum de definir o que esta equação está realmente dizendo usa a função zeta de Riemann.

Mas, como sabe qualquer entusiasta de matemática casual que começou a ler isso, sua definição faz referência a essa ideia chamada continuação analítica, que tem a ver com funções de valor complexo. E essa ideia pode ser frustrantemente opaca e não intuitiva. Então, o que eu gostaria de fazer aqui é apenas mostrar a você como é essa função zeta e explicar como é essa ideia de continuação analítica de uma maneira visual e mais intuitiva. Suponho que você conheça números complexos e que esteja confortável em trabalhar com eles. E sinto-me tentado a dizer que você deve saber cálculo, pois a continuação analítica tem tudo a ver com derivadas. Mas pela maneira como planejo apresentar as coisas, acho que você pode ficar bem sem isso.

Então, para ir direto ao assunto, vamos apenas definir o que é essa função zeta. Para uma determinada entrada, em que comumente usamos a variável 𝑠, a função é um sobre um elevado a 𝑠, que é sempre um, mais um sobre dois elevado a 𝑠 mais um sobre três elevado a 𝑠 mais um sobre quatro elevado a 𝑠, e assim por diante, resumindo todos os números naturais. Por exemplo, digamos que você insira um valor como 𝑠 igual a dois. Você recebe um mais um sobre quatro mais um sobre nove mais um dezesseis avos. E à medida que você continua adicionando mais e mais recíprocos de quadrados, isso se aproxima de 𝜋 ao quadrado sobre seis, que é em torno de 1.645. Há uma razão muito bonita para o porquê 𝜋 aparece aqui. E eu poderia fazer um vídeo mais tarde.

Mas essa é apenas a ponta do iceberg porque essa função é bonita. Você poderia fazer o mesmo com outras entradas 𝑠, como três ou quatro. E às vezes você obtém outros valores interessantes. E até agora, tudo parece bastante razoável. Você está adicionando quantidades cada vez menores, e essas somas se aproximam de alguns números. Ótimo, sem loucura aqui. No entanto, se você ler sobre isso, poderá ver algumas pessoas dizerem que zeta de menos um é igual a menos um doze avos. Mas olhando para essa soma infinita, isso não faz sentido. Quando você eleva cada termo a menos um, invertendo cada fração, obtém um mais dois mais três mais quatro, continuamente, sobre todos os números naturais. E, obviamente, isso não se aproxima de nada, certamente não é menos um doze avos, certo?

E, como qualquer mercenário que estuda a hipótese de Riemann sabe, dizem que essa função possui zeros triviais em números pares negativos. Então, por exemplo, isso significaria que zeta de menos dois é igual a zero. Mas quando você substitui menos dois, você obtém um mais quatro mais nove mais 16, e assim por diante, o que novamente obviamente não se aproxima de nada, muito menos zero, certo? Bem, chegaremos a valores negativos em alguns minutos. Mas, por enquanto, digamos apenas a única coisa que parece razoável. Esta função só faz sentido quando 𝑠 é maior que um, ou seja, quando essa soma converge. Até agora, ela simplesmente não está definida para outros valores.

Agora, com isso dito, Bernhard Riemann era o pai de uma análise complexa, que é o estudo de funções que têm números complexos como entradas e saídas. Então, ao invés de pensar em como essa soma leva um número 𝑠 na reta de número real para outro número na reta de número real, seu foco principal era entender o que acontece quando você insere um valor complexo para 𝑠. Então, por exemplo, talvez em vez de substituir dois, você substitua dois mais 𝑖. Agora, se você nunca viu a ideia de elevar um número a potência de um valor complexo, pode se sentir meio estranho a princípio. Porque não tem mais nada a ver com multiplicação repetida. Mas os matemáticos descobriram que existe uma maneira muito agradável e muito natural de estender a definição de expoentes além de seu território familiar de números reais e para o domínio de valores complexos.

Não é super crucial entender expoentes complexos para onde estou indo com este vídeo. Mas acho que ainda será legal se resumirmos aqui a essência. A ideia básica é que, quando você escreve algo como um meio à potência de um número complexo, você o divide como metade da parte real vezes a metade da parte imaginária pura. Somos bons na metade da parte real; não há problemas lá. Mas e quanto a elevar algo a um número imaginário puro? Bem, o resultado será um número complexo no círculo unitário no plano complexo. À medida que você deixa a entrada imaginária pura subir e descer a reta imaginária, a saída resultante percorre o círculo unitário.

Para uma base como um meio, a saída percorre o círculo da unidade um pouco lentamente. Mas para uma base mais distante de um, como um nono, então, quando você deixar essa entrada subir e descer o eixo imaginário, a saída correspondente passará pelo círculo da unidade mais rapidamente. Se você nunca viu isso e está se perguntando por que isso acontece, deixei alguns links para bons recursos na descrição. Por aqui, vou seguir em frente com o quê sem o porquê. O principal argumento é que quando você eleva algo como um meio à potência de dois mais 𝑖, que é um meio ao quadrado vezes um meio elevado a 𝑖. Esse um meio da parte 𝑖 estará no círculo unitário, o que significa que tem um valor absoluto de um.

Então, quando você o multiplica, não muda o tamanho do número; leva apenas um quarto e rotaciona um pouco. Portanto, se você substituir dois mais 𝑖 à função zeta, uma maneira de pensar sobre o que ela faz é começar com todos os termos elevados à potência de dois. Você pode pensar em juntar linhas cujos comprimentos são os recíprocos dos quadrados dos números que, como eu disse antes, converge para 𝜋 ao quadrado sobre seis. Então, quando você altera essa entrada de dois para dois mais 𝑖, cada uma dessas retas é rotacionada em alguma quantidade. Mas o mais importante é que o comprimento dessas retas não muda, portanto, a soma ainda converge. Apenas o faz em espiral para algum ponto específico do plano complexo.

Aqui, deixe-me mostrar como é a aparência quando vario a entrada 𝑠 representada com esse ponto amarelo no plano complexo. Onde essa soma espiral sempre mostrará o valor convergente para zeta de 𝑠.

O que isso significa é que zeta de 𝑠, definido como essa soma infinita, é uma função complexa perfeitamente razoável, desde que a parte real da entrada seja maior que um. Ou seja, a entrada 𝑠 fica em algum lugar nesta metade direita do plano complexo. Novamente, isso ocorre porque é a parte real de 𝑠 que determina o tamanho de cada número, enquanto a parte imaginária apenas determina alguma rotação. Então agora o que eu quero fazer é visualizar essa função. Ela recebe entradas na metade direita do plano complexo e lança saídas em outro lugar do plano complexo. Uma maneira super agradável de entender funções complexas é visualizá-las como transformações. Ou seja, você analisa todas as entradas possíveis para a função e apenas a deixa mover sobre a saída correspondente.

Por exemplo, vamos tirar um momento e tentar visualizar algo um pouco mais fácil do que a função zeta, digamos que 𝑓 de 𝑠 é igual a 𝑠 ao quadrado. Quando você substitui 𝑠 é igual a dois, você recebe quatro. Então, acabaremos movendo esse ponto em dois sobre o ponto em quatro. Quando você substitui menos um, você recebe um. Então, o ponto aqui em menos um vai acabar se movendo para o ponto em um. Quando você substitui 𝑖, por definição, o quadrado é menos um, então ele passa aqui por menos um. Agora vou adicionar uma grade mais colorida. E isso é apenas porque as coisas estão prestes a começar a se mover. E é bom ter algo para distinguir linhas de grade durante esse movimento. A partir daqui, direi ao computador para mover todos os pontos dessa grade para a saída correspondente, sob a função 𝑓 de 𝑠 igual a 𝑠 ao quadrado. Aqui está o que parece.

Isso pode ser muito difícil de entender, então vou em frente e reproduzi-lo novamente. E desta vez, concentre-se em um dos pontos marcados. E observe como ele se move para o ponto correspondente ao seu quadrado. Pode ser um pouco complicado ver todos os pontos se movendo ao mesmo tempo. Mas a recompensa é que isso nos dá uma imagem muito rica do que a função complexa está realmente fazendo. E tudo acontece em apenas duas dimensões. Então, voltando à função zeta, temos essa soma infinita, que é uma função de algum número complexo 𝑠. E nos sentimos bem e felizes ao inserir valores de 𝑠 cuja parte real é maior que um. E obtendo uma saída significativa através da soma espiral convergente.

Então, para visualizar esta função, vou pegar a parte da grade que fica no lado direito do plano complexo aqui, onde a parte real dos números é maior que um. E vou dizer ao computador para mover cada ponto dessa grade para a saída apropriada. Na verdade, ajuda se eu adicionar mais algumas linhas de grade ao redor do número um. Desde que a região se estende um pouco.

Tudo bem, então, primeiro de tudo, vamos apenas apreciar o quão bonito é isso. Quero dizer, droga, isso não faz você querer aprender mais sobre funções complexas, você não tem coração. Mas também, essa grade transformada está apenas implorando para ser ampliada um pouco. Por exemplo, vamos destacar essas linhas aqui, que representam todos os números complexos com a parte imaginária 𝑖 ou menos 𝑖. Após a transformação, essas linhas produzem arcos adoráveis ​​antes que parem abruptamente. Você não quer apenas continuar com esses arcos? De fato, você pode imaginar como alguma versão alterada da função com uma definição que se estende até a metade esquerda do plano possa concluir esta imagem com algo bastante bonito.

Bem, é exatamente isso que os matemáticos que trabalham com funções complexas fazem. Eles continuam a função além do domínio original em que foi definida. Agora, assim que ramificamos para entradas em que a parte real é menor que um, essa soma infinita que usamos originalmente para definir a função não faz mais sentido. Você terá bobagens como adicionar um mais dois mais três mais quatro, até o infinito. Mas apenas olhando para esta versão transformada da metade direita do plano, onde a soma faz sentido. Está apenas nos implorando para estender o conjunto de pontos que estamos considerando como entradas. Mesmo que isso signifique definir a função estendida de alguma forma que não use necessariamente essa soma.

Obviamente, isso nos deixa com a pergunta: como você definiria essa função no resto do plano? Você pode pensar que poderia estendê-lo de várias maneiras. Talvez você defina uma extensão que faça com que o ponto em, digamos, 𝑠 igual a menos um se move para menos um doze avos. Mas talvez você goste de alguma extensão que a faça cair em qualquer outro valor. Quero dizer, assim que você se abre para a ideia de definir a função de maneira diferente para valores fora desse domínio de convergência - ou seja, não com base nessa soma infinita - o mundo é sua ostra. E você pode ter qualquer número de extensões, certo? Bem, não exatamente. Quero dizer, sim, você pode dar um marcador a qualquer criança e fazer com que elas estendam essas linhas de qualquer maneira. Mas se você adicionar a restrição de que essa nova função estendida precisa ter uma derivada em todos os lugares, ela nos trancará em uma e apenas uma extensão possível.

Eu sei, eu disse que você não precisaria saber sobre derivadas para este vídeo. E mesmo que você saiba cálculo, talvez ainda precise aprender a interpretar derivadas para funções complexas. Mas, felizmente para nós, há uma intuição geométrica muito boa que você pode ter em mente quando digo uma frase como “tem uma derivada em todos os lugares”. Aqui, para mostrar o que eu quero dizer, vamos olhar para trás em que 𝑓 de 𝑠 igual a 𝑠 ao quadrado, por exemplo. Mais uma vez, pensamos nessa função como uma transformação movendo todos os pontos 𝑠 do plano complexo para o ponto 𝑠 ao quadrado.

Para aqueles que conhecem cálculo, você sabe que pode derivar essa função em qualquer entrada. Mas há uma propriedade interessante dessa transformação que acaba por ser relacionada e quase equivalente a esse fato. Se você observar quaisquer duas linhas no espaço de entrada que se cruzam em algum ângulo e considerar o que elas se transformam após a transformação, elas ainda se cruzarão no mesmo ângulo. As linhas podem ficar curvas e tudo bem. Mas a parte importante é que o ângulo no qual elas se cruzam permanece inalterado. E isso é verdade para qualquer par de linhas que você escolher.

Então, quando digo que uma função tem uma derivada em todos os lugares, quero que você pense sobre essa propriedade de preservação de ângulo. Que sempre que duas linhas se cruzam, o ângulo entre elas permanece inalterado após a transformação. À primeira vista, é mais fácil perceber isso ao observar como todas as curvas nas quais as linhas de grade se transformam ainda se interceptam em ângulos retos. Funções complexas que têm uma derivada em toda parte são chamadas analíticas. Assim, você pode pensar neste termo analítico como significando preservação de ângulo. É verdade que estou mentindo um pouco para você aqui, mas só um pouquinho. Uma pequena ressalva para quem deseja obter todos os detalhes é que, nas entradas em que a derivada de uma função é zero, em vez de os ângulos serem preservados, eles são multiplicados por algum número inteiro. Mas esses pontos são de longe a minoria. E para quase todas as entradas de uma função analítica, os ângulos são preservados.

Então, quando digo analítico, você pensa em preservar o ângulo, acho que é uma boa intuição. Agora, se você pensar por um momento, e esse é um ponto que eu realmente quero que você aprecie, essa é uma propriedade muito restritiva. O ângulo entre qualquer par de retas que se cruzam deve permanecer inalterado. E, no entanto, praticamente qualquer função que tem um nome acaba sendo analítica. O campo da análise complexa, que Riemann ajudou a estabelecer em sua forma moderna, é quase inteiramente sobre alavancar as propriedades das funções analíticas para entender os resultados e padrões em outros campos da matemática e da ciência.

A função zeta definida por essa soma infinita na metade direita do plano é uma função analítica. Observe como todas essas curvas nas quais as linhas de grade se transformam ainda se cruzam em ângulos retos. Portanto, o fato surpreendente sobre funções complexas é que, se você deseja estender uma função analítica para além do domínio em que foi originalmente definida. Por exemplo, estendendo essa função zeta para a metade esquerda do plano. Então, se você precisar que a nova função estendida ainda seja analítica - ou seja, que ainda preserve ângulos em todos os lugares - ela o força a apenas uma extensão possível, se houver alguma. É como um quebra-cabeça infinito e contínuo, onde esse requisito de preservar ângulos o leva a uma e apenas uma opção de como estendê-lo.

Esse processo de estender uma função analítica da única maneira possível que ainda é analítica é chamado, como você deve ter adivinhado, continuação analítica. É assim que a função zeta completa de Riemann é definida. Para valores de 𝑠 na metade direita do plano, onde a parte real é maior que um, basta substituí-los a essa soma e ver para onde converge. E essa convergência pode parecer algum tipo de espiral. Como elevar cada um desses termos a uma potência complexa, tem o efeito de rotacionar cada um. Então, para o resto do plano, sabemos que existe uma e apenas uma maneira de estender essa definição para que a função ainda seja analítica. Ou seja, para que ela ainda preserve ângulos em todos os pontos. Então, apenas dizemos que, por definição, a função zeta na metade esquerda do plano é o que quer que seja essa extensão. E essa é uma definição válida porque há apenas uma possível continuação analítica.

Observe que essa é uma definição muito implícita. Diz apenas: use a solução desse quebra-cabeça, que, por meio de derivações mais abstratas, sabemos que deve existir. Mas não especifica exatamente como resolvê-lo. Os matemáticos têm uma noção muito boa de como é essa extensão. Mas algumas partes importantes dela permanecem um mistério, um mistério de um milhão de dólares. Vamos tirar um momento e falar sobre a hipótese de Riemann, o problema de um milhão de dólares.

Os lugares onde essa função é igual a zero são bastante importantes. Ou seja, quais pontos são mapeados para a origem após a transformação? Uma coisa que sabemos sobre essa extensão é que os números pares negativos são mapeados para zero. Estes são comumente chamados de zeros triviais. A nomeação aqui deriva de uma longa tradição de matemáticos de chamar as coisas de triviais quando a entendem muito bem. Mesmo quando é um fato que não é de todo óbvio do lado de fora. Também sabemos que o restante dos pontos mapeados para zero fica em algum lugar nessa faixa vertical, chamada faixa crítica.

E o posicionamento específico desses zeros não triviais codifica uma informação surpreendente sobre números primos. Na verdade, é bastante interessante o motivo pelo qual essa função carrega tanta informação sobre números primos. E definitivamente acho que farei um vídeo sobre isso mais tarde. Mas agora, as coisas são longas o suficiente, então vou deixar inexplicável. Riemann levantou a hipótese de que todos esses zeros não triviais ficam bem no meio da faixa na reta de números 𝑠 cuja parte real é um meio. Isso é chamado de reta crítica. Se isso é verdade, nos dá uma compreensão notavelmente estreita do padrão dos números primos, bem como de muitos outros padrões em matemática que derivam disso.

Até agora, quando mostrei como é a função zeta, só mostrei a parte da grade na tela. E esse tipo reduzido tem sua complexidade. Portanto, se eu destacasse essa linha crítica e aplicasse a transformação, talvez não parecesse cruzar a origem. No entanto, eis a aparência da versão transformada de mais e mais dessa linha. Observe como está passando pelo número zero muitas e muitas vezes. Se você puder provar que todos os zeros não triviais estão em algum lugar nessa linha, o Clay Math Institute oferece um milhão de dólares. E você também estaria provando centenas, senão milhares de resultados matemáticos modernos que já foram mostrados, dependendo da hipótese ser verdadeira.

Outra coisa que sabemos sobre essa função estendida é que ela mapeia o ponto menos um para menos um doze avos. E se você substituir isso à soma original, parece que estamos dizendo que um mais dois mais três mais quatro, até o infinito, é igual a menos um doze avos. Agora, pode parecer falso ainda chamar isso de soma. Como a definição da função zeta na metade esquerda do plano não é definida diretamente a partir dessa soma. Em vez disso, provém da continuação analítica da soma além do domínio para o qual converge. Ou seja, resolver o quebra-cabeça que começou na metade direita do plano.

Dito isto, você deve admitir que a singularidade dessa continuação analítica, o fato de o quebra-cabeça ter apenas uma solução, é muito sugestivo de alguma conexão intrínseca entre esses valores estendidos e a soma original. Para a última animação, e isso é realmente muito legal, eu vou mostrar para vocês como é a derivada da função zeta.