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Neste vídeo, aprenderemos como calcular a soma de uma progressão geométrica infinita. Vamos começar lembrando o que sabemos sobre progressões geométricas.
Uma progressão geométrica é aquela que possui uma razão comum entre termos consecutivos. Nesses casos, para ir de um termo para o próximo, multiplicamos por essa razão comum. E podemos encontrar o valor de nossa razão comum, portanto, dividindo qualquer termo pelo termo que o precede. Agora, para uma progressão geométrica com um primeiro termo 𝑎 e uma razão comum 𝑟, o 𝑛-ésimo termo é dado por 𝑢 sub 𝑛 igual a 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Mas também podemos lembrar que podemos encontrar a soma de uma progressão geométrica finita. E quando somamos os termos em uma progressão, chamamos isso de série.
Para uma série geométrica com o primeiro termo 𝑎 e razão comum 𝑟, a soma dos primeiros 𝑛 termos é 𝑎 vezes um menos 𝑟 elevado a 𝑛-ésima potência sobre um menos 𝑟. Também vale a pena lembrar que isso equivale a 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛-ésima potência menos um sobre 𝑟 menos um. Agora, não é necessário alternar entre essas duas formas, mas pode ser útil se precisarmos realizar cálculos manualmente. Quando 𝑟 é maior que um, tendemos a usar essa forma. E se 𝑟 - a razão comum - for menor que um, tendemos a usar essa forma.
Agora, as fórmulas que demos até agora são realmente úteis para resolver problemas envolvendo séries geométricas. Mas o que nos interessa é ver como podemos usar essas últimas fórmulas para encontrar a soma de todos os termos em uma série geométrica. Agora, neste estágio, você pode estar pensando que isso não é possível. Certamente, uma série conterá termos infinitos e, portanto, esperamos que a soma seja um número infinitamente grande. E até certo ponto, isso é verdade. Por exemplo, pegue a progressão dois, quatro, oito, 16 e 32. A razão comum aqui é dois. E assim, à medida que avançamos nesta progressão, os termos ficam maiores e maiores. Segue-se então que a soma de todos os nossos termos não seria um número que poderíamos calcular.
Mas e essa sequência 32, 16, oito, quatro, dois e assim por diante? Desta vez, a razão comum é um meio. E assim, a cada vez os termos caem pela metade. Isso significa que nossos termos ficarão cada vez menores. De fato, à medida que o número de termos em nossa série geométrica se aproxima de ∞, os próprios termos se aproximam de zero. E isso significa que a soma desses termos se aproximará de um valor finito. Mas qual é a diferença aqui? Por que não podemos calcular a soma de todos os termos em nossa segunda progressão, mas não a primeira? Bem, é porque os termos ficam cada vez menores, e isso só acontece quando a razão comum é um número menor que um.
De fato, generalizaremos um pouco mais, e diremos que se o valor absoluto da razão comum for menor que um, a série geométrica é convergente, ou seja, se 𝑟 for maior que menos um e menor que um. E se a série for convergente, podemos encontrar a soma de ∞. Então, como podemos usar esse fato para encontrar a soma de todos os nossos termos? Vamos voltar a uma de nossas fórmulas 𝑆 sub 𝑛 e pensar sobre o que acontece quando 𝑛 se aproxima de ∞. Bem, como o módulo de 𝑟 é menor que um - em outras palavras, é um número entre menos um e um - à medida que 𝑛 aumenta, 𝑟 elevado a 𝑛 ficará menor. À medida que 𝑛 se aproxima de ∞, 𝑟 elevado a 𝑛 se aproxima de zero. E assim, isso significa que a soma de 𝑛 deve se aproximar de 𝑎 vezes um menos zero sobre um menos 𝑟, que é simplesmente 𝑎 sobre um menos 𝑟.
Vamos formalizar isso. E podemos dizer que, para uma série geométrica convergente, a soma até ∞ é igual a 𝑎 sobre um menos 𝑟. É muito, muito importante perceber que se a série não é convergente - em outras palavras, se o módulo da razão comum não é menor que um - não podemos encontrar a soma de um número infinito de termos. Agora que temos uma definição, vamos ver alguns exemplos. Em nossa primeira, decidiremos quais progressões podem ser somadas até ∞.
Qual das seguintes progressões geométricas podem ser somadas até ∞?
E então, temos cinco progressões para escolher. Começamos lembrando que uma progressão geométrica é aquela que tem uma razão comum entre os termos. O 𝑛-ésimo termo de uma progressão geométrica é 𝑎𝑟 elevado a 𝑛 menos um, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum. Agora, podemos somar uma progressão geométrica até ∞ se for convergente. E isso ocorre quando o módulo de 𝑟 ou o valor absoluto de 𝑟, onde 𝑟 é a razão comum, é menor que um.
Agora, somos informados de que todas essas progressões são progressões geométricas e, portanto, nosso trabalho é encontrar a razão comum. Vamos começar com a progressão (A). São oito vezes seis elevado a 𝑛 menos cinco. Vamos precisar escrever isso desta forma: 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. E podemos usar uma de nossas regras para expoentes para fazer isso. Sabemos que quando multiplicamos dois termos exponenciais que têm a mesma base, simplesmente adicionamos seus expoentes. E assim, podemos reverter isso e dizer que “Bem, seis elevado a 𝑛 menos cinco é o mesmo que seis elevado a menos quatro vezes seis elevado a 𝑛 menos um”. Seis elevado a menos quatro, porém, é um sobre seis elevado a quatro. E assim, podemos reescrever isso como oito sobre seis elevado a quatro vezes seis elevado a 𝑛 menos um.
Se compararmos isso com o 𝑛-ésimo termo geral de uma progressão geométrica, vemos que 𝑎, que é o primeiro termo dessa progressão, é oito sobre seis elevado a quatro. 𝑟, no entanto, é seis. Agora, está bem claro para nós que seis não é menor que um. Podemos, portanto, dizer que a progressão (A) não é convergente e, portanto, não podemos somar até ∞.
E assim, passamos para a progressão (B). Desta vez, lembramos que podemos encontrar a razão comum dividindo qualquer termo pelo termo que o precede. E assim, neste caso, podemos dividir três vinte e oito oitavos por um vinte e oito avos. E como os denominadores dessas frações são os mesmos, são três dividido por um, que é três. Mais uma vez, três não é menor que um. E assim, a sequência (B) não é convergente e não pode ser somada até ∞.
Vamos dar uma olhada na progressão (C) agora. Mais uma vez, encontraremos a razão comum dividindo o segundo termo pelo primeiro. Lembre-se, obteríamos a mesma resposta se dividíssemos o terceiro termo pelo segundo e assim por diante. Um método que temos para dividir as frações é criar um denominador comum. Agora, se multiplicarmos 263 por cinco, obtemos 1315. Então, 263 é equivalente a mil trezentos e quinze quintos. E assim, dividimos os numeradores. E descobrimos que 𝑟 é igual a menos 789 sobre 1315. Este valor para 𝑟 está entre menos um e um. E assim, podemos dizer que o valor absoluto da razão comum nesta sequência é menor que um. Isso significa que é convergente e pode ser somado até ∞.
Vamos verificar as outras duas progressões. Dividindo o segundo termo pelo primeiro na progressão (D), podemos ver que o valor absoluto da razão comum não é menor que um e, portanto, não pode ser (D). E, de fato, obtemos o mesmo valor para a razão comum na progressão (E). E isso nos confirma que a única progressão geométrica nesta lista que pode ser somada até ∞ é a (C).
Em nosso próximo exemplo, encontraremos a soma de uma série geométrica.
Encontre a soma da série geométrica 13 sobre dois mais 13 sobre quatro mais 13 sobre oito e assim por diante.
Não nos é dito o número de termos para encontrar a soma nesta série geométrica. E assim, precisamos assumir que vamos encontrar a soma de todos os termos. Em outras palavras, precisamos encontrar a soma até ∞ dessa série. Então, lembramos que, para uma série geométrica com primeiro termo 𝑎 e razão comum 𝑟, a soma até ∞ é 𝑎 sobre um menos 𝑟. Mas essa fórmula só pode ser aplicada se o valor absoluto da razão comum for menor que um. E assim, a primeira coisa que vamos fazer é apenas verificar se essa série geométrica é convergente, se o valor absoluto de 𝑟 é menor que um.
Agora, sabemos que, para uma progressão geométrica, podemos encontrar o valor da razão comum dividindo qualquer termo pelo termo que o precede. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro. Portanto, a proporção comum é 13 sobre quatro dividido por 13 sobre dois. E uma técnica que temos para dividir as frações é fazer com que os denominadores dessas frações sejam iguais. Se multiplicarmos o numerador e o denominador de 13 sobre dois por dois, obtemos 26 sobre quatro. E então, uma vez que os denominadores são os mesmos, nós simplesmente dividimos os numeradores. Portanto, a razão comum é de 13 sobre 26, o que equivale à um meio. Agora, o valor absoluto de um meio é apenas um meio, e isso é de fato menor que um. Isso significa que nossa série geométrica é de fato convergente e podemos encontrar a soma até ∞.
𝑎, o primeiro termo em nossa série, é claramente 13 sobre dois. E acabamos de calcular 𝑟 igual a um meio. Isso significa que a soma de ∞ de nossa série é 13 sobre dois dividido por um menos um meio. Agora, um menos um meio é um meio. Então, estamos trabalhando em 13 sobre dois dividido por um meio. E como os denominadores são os mesmos, simplesmente dividimos os numeradores. Isso nos diz que a soma até ∞ é 13 dividido por um, mas são 13. Agora, como a soma até ∞ é a soma de todos os termos de nossa série geométrica, terminamos. A soma das séries geométricas dadas é 13.
Vamos agora considerar como encontrar a soma de uma progressão geométrica infinita, dados dois de seus termos.
Encontre a soma de uma progressão geométrica infinita, dado que o primeiro termo é 171 e o quarto termo é 171 sobre 64.
Sabemos que podemos encontrar a soma de uma progressão geométrica convergente usando a fórmula soma até ∞ é 𝑎 sobre um menos 𝑟. E a progressão é considerada convergente se o valor absoluto de sua razão for menor que um. Agora, 𝑎 é o primeiro termo na progressão, e nos é dito que o primeiro termo é 171. Mas qual é a razão comum? Bem, vamos usar a fórmula geral para o 𝑛-ésimo termo em uma progressão geométrica para encontrar isso.
Isso é 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um, onde mais uma vez 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum. Vamos combinar isso com o fato de que o quarto termo na progressão é 171 sobre 64. E isso significa que 𝑢 sub quatro é 171, que é 𝑎, vezes 𝑟 elevado a quatro menos um ou 𝑟 ao cubo. Mas, na verdade, sabemos o valor de 𝑢 sub quatro. É 171 sobre 64. E assim, nossa equação é 171 sobre 64 é igual a 171 vezes 𝑟 ao cubo. Vamos dividir os dois lados dessa equação por 171. E assim, 𝑟 ao cubo é igual a um sobre 64.
Podemos resolver 𝑟 calculando a raiz cúbica de ambos os lados e descobrimos que 𝑟 é a raiz cúbica de um sobre 64, que é simplesmente igual a um quarto. O valor absoluto de um quarto é apenas um quarto; é menor que um. E assim, confirmamos que a progressão geométrica é de fato convergente. E agora sabemos o valor de 𝑎, que é 171 e 𝑟.
Vamos substituir tudo o que sabemos na fórmula. Obtemos 171 sobre um menos um quarto como sendo a soma até ∞, em outras palavras, a soma de todos os termos em nossa progressão. São 171 sobre três quartos. Agora, é claro, podemos dividir por uma fração multiplicando pelo inverso dessa fração. Isso é o mesmo que 171 vezes quatro sobre três. Em seguida, cancelamos em cruz dividindo 171 e três por três, o que significa que ficamos com 57 vezes quatro sobre um, o que é apenas 57 vezes quatro. E isso é igual a 228. E podemos, portanto, dizer que a soma de uma progressão geométrica infinita com um primeiro termo de 171 e um quarto termo de 171 sobre 64 é 228.
Em nosso exemplo final, veremos como podemos usar esse mesmo processo para converter uma dízima periódica em uma fração.
Expresse a dízima 0,375 como uma fração comum.
Agora, à primeira vista, pode parecer que isso não tem nada a ver com encontrar a soma de uma série geométrica. No entanto, vamos olhar para a dízima periódica 0,375 e encontrar uma maneira alternativa de escrevê-la. Sabemos que cada um dos algarismos três sete cinco se repete. Então, é 0,375375375 e assim por diante. E então, podemos dividir esse decimal, e podemos dizer que é a soma de 0,375, 0,000375 e 0,000000375. Pode até ajudar escrever cada um deles como uma fração, então 375 sobre 1000, 375 sobre um milhão e assim por diante.
De fato, agora temos uma série geométrica. A razão comum nesta série é um milésimo. Agora, poderíamos nos convencer de que é verdade dividindo qualquer termo pelo termo que o precede. E como o valor absoluto de um milésimo é apenas um milésimo e isso é menor que um, podemos dizer que a série geométrica que criamos é convergente. E como é convergente, podemos calcular a soma até ∞. Em outras palavras, podemos somar todos os seus termos. A fórmula que usamos é 𝑎 sobre um menos 𝑟, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum.
Agora, vemos que o primeiro termo em nossa série é 375 sobre 1000 e 𝑟 é um sobre 1000. E assim, nossa soma até ∞ deve ser 375 sobre 1000 dividido por um menos um sobre 1000. O denominador dessa fração simplifica apenas para 999 sobre 1000. E vemos que estamos dividindo um par de frações cujo denominador é igual. Nesse caso, podemos simplesmente calcular o quociente dividindo seus numeradores. São 375 sobre 999. Sempre que possível, devemos simplificar nossa fração. E podemos realmente dividir o numerador e o denominador do nosso quociente por três. Quando o fazemos, descobrimos que 375 dividido por três é 125 e 999 dividido por três é 333. A soma de nossas séries geométricas, então, que dissemos ser igual a dízima 0,375, é 125 sobre 333. E assim, escrevemos nossa dízima periódica como uma fração comum.
Vamos recapitular os pontos principais desta aula. Nesta aula, aprendemos que se o valor absoluto da razão comum 𝑟 de uma progressão geométrica for menor que um, então dizemos que essa progressão é convergente. Vimos que quando encontramos a soma de todos os termos em uma progressão geométrica, chamamos isso de série. E se for esse o caso, se o valor absoluto de 𝑟 for menor que um para esta série, podemos calcular sua soma. Em outras palavras, podemos encontrar a soma de todos os seus termos. Chamamos isso de soma até ∞ da série. E é calculado dividindo 𝑟 , 𝑎 que é o primeiro termo, por um menos 𝑟, onde 𝑟, é claro, é a razão comum. Por fim, vimos que, escrevendo uma dízima periódica como uma série geométrica, podemos usar esse processo para convertê-lo em uma fração.
