Vídeo: Trabalhando com Números em Notação Científica (ou Forma Padrão)

Aprenda a representar número muito grandes ou muito pequenos utilizando notação científica (também conhecida como forma padrão).

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos trabalhar com números em notação científica, e alguns de vocês podem conhecê-lo como forma padrão. Basicamente, estamos a falar de números na forma em que temos algo vezes 10 elevado a outra coisa. E é basicamente uma maneira de escrever números muito grandes ou muito pequenos numa forma mais compacta.

Assim, a notação científica é quando colocamos números nesta forma específica: um número multiplicado por 10 elevado a algum outro número. Agora este primeiro número, representado por 𝑎 nesta fórmula genérica, tem que estar entre um e dez; bem especificamente, pode ser igual a um por isso é maior ou igual a um, mas não pode ser tão grande quanto 10; poderia ser 9.999 infinitamente, mas não pode ser tão grande quanto 10. Então é um número entre um e 9.9 infinitamente. E o outro número, representado por este 𝑏, é um inteiro positivo ou negativo que representa o expoente de 10.

Bem, a melhor maneira de entender isto é vendo alguns exemplos, por isso vejamos um exemplo: 1.5 vezes 10 elevado três ou 10 ao cubo. Agora, multiplicar por 10 elevado a três ou 10 ao cubo é como multiplicar por 10 e multiplicar por 10 e multiplicar por 10 novamente. Então, isto fica 1.5 vezes 10 vezes 10 vezes. Agora, há uma maneira abreviada de pensar sobre nisto, o que torna muito fácil trabalhar com a notação científica. Não é estritamente matemático, mas este método abreviado facilita muito o trabalho.

Multiplicar por 10 é o mesmo que considerar a vírgula decimal e movê-la para uma casa para a direita, então 1.5 torna-se 15, bem 15.0. Agora, se multiplicarmos por 10 novamente, estamos a considerar a vírgula decimal e a movê-la uma casa para a direita. Bem, não temos um número lá, mas lembre-se 15 é o mesmo que 15.0. Então nesta posição aqui, haverá um zero, e podemos colocar uma vírgula aqui. Então, agora multiplicamos por 10 duas vezes; temos um cinco zero vírgula, ou seja, 150.

Nós só temos que multiplicar por 10 mais uma vez, e fazer isto move a vírgula mais outra casa para a direita. Então, isto move-se para aqui, e temos o zero que preenche aqui. Então, 1.5 vezes 10 vezes 10 vezes 10 é 1500. Agora é importante não deixar o seu número nesta forma, pois parece uma verdadeira bagunça; assim é melhor e claro. 1.5 vezes 10 elevado a três é 1500. Lembre-se que 1.5 vezes 10 era 15; 15 vezes 10 era 150; e 150 vezes 10 é 1500.

Ok, vamos ver outro exemplo: 9.09 vezes 10 elevado a cinco. Bem, multiplicar por 10 elevado a cinco é como multiplicar por 10, em seguida, por 10, em seguida, por 10, em seguida, por 10 e, em seguida, por 10 novamente. Então estamos a multiplicar por 10 cinco vezes. Assim, vamos olhar para a nossa forma abreviada de realmente resolver isso. Quando multiplicámos 1.5 vezes 10 elevado a três, acabamos com três destas pequenas setas aqui. Então multiplicar por 10 elevado a cinco, vamos acabar com cinco pequenas setas para aqui.

Isto significa que esta vírgula vai mover-se um, dois, três, quatro, cinco casas para a direita. E precisamos de preencher com alguns zeros; precisamos de um zero aqui, um zero aqui e um zero aqui. Poderíamos escrever um após a vírgula também, se quiser. Assim, a nossa resposta é 909000. Agora, quando está a trabalhar, não se costuma incomodar a escrever isto ou isto. Utilizaria apenas este tipo de notação curta, com a qual é difícil de trabalhar, e depois escreveria a sua resposta corretamente numa forma fácil e organizada.

Ok, esperemos que isto esteja bem claro. Vejamos alguns exemplos agora com potências negativas de 10. Por exemplo, 7.2 vezes 10 elevado a menos quatro. Agora, neste expoente, menos quatro, o quatro diz-nos que estamos a multiplicar por 10 quatro vezes e o menos diz-nos para inverter esta fração. Então, em vez de 10, é um sobre 10. Então, 7.2 vezes 10 elevado a menos quatro, significa 7.2 vezes um décimo vezes um décimo vezes um décimo vezes um décimo.

Agora multiplicar por um décimo é o mesmo que dividir por 10, o que significa que começamos com 7.2 e depois dividimo-lo por 10, dividindo por 10 novamente, dividindo por 10 novamente e dividindo por 10 novamente. Vamos saltar diretos para a nossa notação abreviada para o fazer. 7.2 dividido por 10 será 0.72, então efetivamente esta vírgula decimal está a mover-se para a esquerda uma casa. Agora tem que fazer isto quatro vezes, ou seja, um, dois, três, quatro. Assim, a nossa vírgula termina aqui. Precisamos de colocar alguns zeros aqui nos espaços reservados e um zero à frente da vírgula, para sabermos que é 0.00072.

Agora, estes zeros aqui eram muito importantes porque eram marcadores de posição que nos diziam que o sete deverá estar na coluna das décimas de milésimas e o dois deverá estar na coluna das centésimas de milésimas. E, novamente, é importante escrever a nossa resposta de forma clara, sem todo aquele horrível rabiscado por toda parte, ou seja, 0.00072. Agora lembre-se, tudo isto de mover a vírgula não é necessariamente matematicamente correto da forma como a estamos a abordar, mas é uma maneira abreviada de elaborar a resposta a estas perguntas.

Ok, vamos ver mais um exemplo: 3.05 vezes 10 elevado a menos seis. Bem, vezes 10 elevado a menos seis, lembre-se, significa que estamos a dividir pela potência negativa, significa que estamos a dividir por 10 seis vezes. Então começamos com 3.005 [3.05] dividimos por 10, dividimos por 10, dividimos por 10, dividimos por 10, dividimos por 10 e dividimos por 10 novamente. Então, estou a dividir por 10 muitas vezes. Eu preciso de deixar um pouco de espaço no lado esquerdo do meu número aqui.

Ok, divida por 10 uma vez, a vírgula move-se para aqui, duas vezes, três vezes, quatro vezes, cinco vezes, seis vezes, o que significa que a nossa vírgula é movida para cá. Agora eu posso preencher com os zeros; tem um aqui; tem um aqui; tem um aqui; um aqui; um aqui; e vamos colocar um zero à frente da vírgula também. Assim, é 0.00000305, e esta é a nossa resposta escrita de forma clara e agradável. Ok, então do que é se trata esta notação científica?

Nos exemplos que lhe mostrámos, não há uma grande diferença entre escrever isto e escrever isto. Isto porque os exemplos que lhe dei foram relativamente fáceis apenas para transmitir a ideia. E se eu perguntasse qual é a distância da Terra até a Proxima Centauri, a estrela mais próxima que não seja o Sol? Bem, é mais de 40 quatrilhões de metros da Terra. Este é um número grande de se escrever. E uma vez que começámos a falar em escala astronómica, há números ainda maiores do que este para se tratar.

Agora começa a tornar-se mais eficiente escrever algo como 4.0208 vezes 10 elevado a algo metros. Mas o que é isto? Bem, se tivermos uma vírgula decimal aqui, para movê-la para o final deste número aqui, esta tem que saltar uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, 11, 12, 13, 14, 15, 16 casas. Então, fica 4.0208 vezes 10 elevado a 16 metros. E ao trabalhar isto, lembre-se, este número aqui tem que ser maior ou igual a um, mas deve ser menor que 10. Assim, fizemos quatro vírgula algo e, neste caso, deixou-nos com 10 elevado a 16.

E no outro extremo do espectro, temos coisas muito pequenas. Assim, por exemplo, o diâmetro de um protão é cerca de um milionésimo de um nanômetro ou 0.000000000000001 metros. Deve haver uma maneira mais rápida e fácil de escrevê-lo. Bem, o algarismo no final é um, então podemos escrevê-lo como um vezes 10 elevado a menos algo metros. Então, o que será? Bem, se escrevêssemos um com uma vírgula depois, teríamos que mover essa vírgula uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, 10, 11, 12, 13, 14, 15, casas para a esquerda, então podemos escrever o número como um vezes 10 elevado a menos 15 metros.

Ok, vamos abordar algumas questões típicas que poderá ver num teste. Escreva 3.141579265 vezes 10 elevado a quatro como um número na forma normal. Agora, se reside num lugar onde chamam esta forma de padrão, um número que não esteja escrito na forma padrão será chamado de número normal. Mas se reside num lugar onde estes se chamem de notação científica, então chamam de forma padrão ao número normal. Que confusão?! De qualquer forma, não vamos preocupar-nos com isto por enquanto. Sabe onde reside; sabe ao que chamar estas coisas, espero.

Então 3.141579265 vezes 10 elevado a quatro, neste caso, estamos a multiplicar por 10 quatro vezes. Estamos a multiplicar por 10 quatro vezes, de forma que a vírgula terá que se mover uma, duas, três, quatro casas para a direita. E depois de multiplicarmos este número por 10 quatro vezes, obtemos 31415.79265. Que tal este? Escreva 6.2 vezes 10 elevado a sete como um número comum.

Bem, vamos anotar o 6.2, e depois vamos multiplicar por 10 sete vezes. Então é uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete. Então, isto vai ser 62000000,0. Bem, obviamente, neste caso podemos abandonar vírgula zero, e dá-nos uma resposta de 62 milhões. Agora escreva 9.603 vezes 10 elevado a menos três como um número comum. Então, vamos tomar 9.603, e vamos multiplicar por 1 sobre 10 três vezes, o que é dividir por 10 três vezes.

Então, esta vírgula vai mover-se para a esquerda; vai diminuir esse número. Divida por 10 uma vez, duas vezes, três vezes, então a minha vírgula vai para ali. Posso colocar os meus zeros e podemos ver que a resposta é 0.009603. Agora, vamos ver uma ou duas questões um pouco mais desafiadoras: calcule o valor de três vezes 10 elevado a quatro vezes 1.2 vezes 10 elevado a sete, dando a sua resposta em notação científica.

Bem, com a multiplicação, na verdade não importa a ordem em que multiplicamos os números, para que eu me possa livrar destes parênteses imediatamente. Então, isto é o mesmo que três vezes 10 elevado a quatro vezes 1.2 vezes 10 elevado a sete. Agora, podemos multiplicar o 10 elevado quatro e o 10 elevado a sete, e podemos multiplicar os três por 1.2. Agora, três vezes 1.2 é 3.6. E se eu multiplicar por 10 quatro vezes e depois mais sete vezes, multiplicarei por 10 11 vezes; isso é 10 elevado a 11. Então, é igual a 3.6 vezes 10 elevado a 11.

Agora lembre-se, para estar em notação científica adequada, o número deve estar nesta forma: 𝑎 vezes 10 elevado 𝑏, onde 𝑎 é um número entre um e 10 — pode ser igual a um, mas não pode ser igual a 10 — e 𝑏 é um expoente positivo ou negativo de potências de 10. Agora, no nosso caso, o valor de 𝑎, que é 3.6, está no intervalo certo; é maior ou igual a um, mas é menor que 10. E temos, neste caso, um expoente positivo de uma potência de 10. Portanto, a nossa resposta é 3.6 vezes 10 elevado a 11.

Aqui, apenas uma questão final antes de terminarmos: calcule o valor de cinco vezes 10 elevado a 5 vezes 8.2 vezes 10 elevado 11, dando a sua resposta em notação científica. Bem, novamente, a multiplicação é comutativa, então não importa se temos os parênteses e por que ordem os escrevemos. Então, eu vou fazer cinco vezes 8.2 vezes 10 elevado a cinco vezes 10 elevado a 11, nesta ordem.

Agora cinco vezes 8.2 é 41. E se eu multiplicar por 10 elevado a cinco — que é multiplicar por 10 cinco vezes — e a seguir por 10 elevado a 11 — que é multiplicar por 10 outras 11 vezes, dá um total de 16 vezes. Então, é vezes 10 elevado a 16, isto equivale a 41 vezes 10 elevado a 16. Mas espere um minuto! Esta não é a nossa resposta!

Este número aqui tem que estar entre um e 10. 41 não está entre um e 10. Mas olha, eu poderia escrever como 4.1 vezes 10 elevado a alguma coisa. Bem, na verdade, neste caso, seria vezes 10 elevado a um porque eu preciso multiplicar 4.1 por 10 elevado a um para transformá-lo em 41. Assim, 41 é igual a 4.1 vezes 10 elevado a um. E este é o número que tem que ser multiplicado por 10 elevado a 16. Bem, podemos ver que temos 4.1 vezes 10 uma vez, vezes 10 mais 16 vezes, o que significa que são dezassete vezes dez no total. E aqui temos! Agora temos o nosso número em notação científica; este primeiro termo 4.1 está entre um e 10, e temos 10 elevado a 17.

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