Vídeo: Encontrando a Taxa de Variação de uma Função Polinomial em um Contexto do Mundo Real

O tamanho da população após 𝑡 dias é dado por 𝑓(𝑡) = 11𝑡² + 35923. Encontre a taxa de variação da população quando 𝑡 = 12.

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Transcrição do vídeo

O tamanho de uma população após 𝑡 dias é dado por 𝑓 de 𝑡 é igual a 11𝑡 ao quadrado mais 35923. Encontre a taxa de variação da população quando 𝑡 é igual a 12.

Pedimos a taxa de variação da população. E, como não temos um período para medir essa variação, presumimos que essa seja a taxa instantânea de variação. E somos solicitados a encontrar isso quando 𝑡 é igual a 12. Isso significa que a derivada da função de população 𝑓 de 𝑡 em relação a 𝑡 quando 𝑡 é 12. Queremos encontrar 𝑓 linha de 12, que por definição é o limite de 𝑓 de 12 mais ℎ menos 𝑓 de 12 tudo sobre ℎ quando ℎ se aproxima de zero.

Agora, usamos nossa expressão para 𝑓 de 𝑡. 𝑓 de 𝑡 é 11𝑡 ao quadrado mais 35923. Então 𝑓 de 12 mais ℎ é 11 vezes 12 mais ℎ ao quadrado mais 35923. E a partir disso, substituímos 𝑓 de 12, que substituindo 12 por 𝑡, temos 11 vezes 12 ao quadrado mais 35923.

A última coisa a fazer aqui é dividir por ℎ. Agora, adicionamos 35923 e subtraímos quase imediatamente de novo. Então, estes cancelam. Podemos simplificar ainda mais expandindo o primeiro termo no numerador. E agora, podemos notar dois termos, que cancelam. E os dois termos restantes no numerador têm um fator de ℎ, que cancela com o ℎ no denominador para deixar o limite de 264. Isso é 11 vezes 24 mais 11ℎ conforme ℎ se aproxima de zero. E quando se aproxima de zero, 264 mais 11ℎ se aproximam de 264. Então essa é a nossa resposta.

A taxa de variação da população quando 𝑡 é igual a 12 é de 264.

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