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Neste vídeo, aprenderemos como calcular o desvio padrão de variáveis aleatórias discretas.
O desvio padrão de uma variável aleatória é uma medida de propagação da distribuição de probabilidade. Dada uma variável aleatória 𝑋, o desvio padrão é denotado 𝜎 ou 𝜎 sub 𝑋. Seu quadrado, que é chamado de variância, ou var de 𝑋, é definido como segue: 𝜎 ao quadrado, ou a variância de 𝑋, é igual a 𝐸 de 𝑋 menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado, onde 𝐸 de 𝑋 denota o valor esperado da variável aleatória 𝑋. O desvio padrão 𝜎 é, portanto, obtido tomando a raiz quadrada positiva da variância.
Olhando para essa fórmula um pouco mais de perto, vemos que a variância de 𝑋 é o valor médio da distância ao quadrado dos pontos de dados do valor esperado. Em suma, o desvio padrão representa o quão longe, em média, os resultados da variável aleatória estão do valor esperado. Isso pode ser demonstrado graficamente. Na figura mostrada, a distribuição de probabilidade da variável aleatória 𝑋 é dada, onde 𝐸 de 𝑋 denota o valor esperado ou média e 𝜎 denota o desvio padrão. Essa fórmula é complicada de usar na prática, então apresentamos uma variante dessa fórmula, que veremos em breve. Como essa fórmula alternativa é mais simples de usar, vamos usá-la como definição.
Dada uma variável aleatória 𝑋, a variância de 𝑋 é dada por var de 𝑋 é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado onde 𝐸 de 𝑋 é o valor esperado ou média. O desvio padrão 𝜎 ou 𝜎 sub 𝑋 pode, portanto, ser calculado fazendo a raiz quadrada dessa variância de 𝑋. O processo de calcular o desvio padrão de uma variável aleatória discreta pode, portanto, ser resumido em quatro etapas.
O primeiro passo é calcular 𝐸 de 𝑋. Para qualquer variável aleatória discreta 𝑋, tomando valores 𝑥 sub um, 𝑥 sub dois e assim por diante até 𝑥 sub 𝑛, o valor esperado é igual a 𝑥 sub um multiplicado pela probabilidade de que 𝑋 é igual a 𝑥 sub um mais 𝑥 sub dois multiplicado pela probabilidade de que 𝑋 seja igual a 𝑥 sub dois e assim por diante até 𝑥 sub 𝑛 multiplicado pela probabilidade de que 𝑋 seja igual a 𝑥 sub 𝑛. Nosso segundo passo é calcular 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. Isso pode ser calculado de maneira semelhante a 𝐸 de 𝑋, exceto que usamos 𝑥 sub um ao quadrado, 𝑥 sub dois ao quadrado e assim por diante. Nós elevamos ao quadrado os valores de 𝑥 individuais antes de multiplicá-los pelas probabilidades correspondentes.
Nosso terceiro passo é calcular a variância de 𝑋. Fazemos isso usando a fórmula acima. A variância de 𝑋 é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Finalmente, estamos em condições de calcular o desvio padrão 𝜎 fazendo a raiz quadrada da variância de 𝑋. Vamos agora ver alguns exemplos em que precisamos seguir essas quatro etapas em diferentes contextos.
A função na tabela é uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋 encontre o desvio padrão de 𝑋. Dê sua resposta para duas casas decimais.
Para responder a essa pergunta, lembramos o processo de quatro etapas usado para obter o desvio padrão 𝜎. Em primeiro lugar, calculamos a média ou valor esperado 𝐸 de 𝑋. Em segundo lugar, calculamos 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. Em terceiro lugar, calculamos a variância ou var de 𝑋. Isso é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos o 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Nosso quarto e último passo é calcular o desvio padrão 𝜎, que lembramos ser igual à raiz quadrada da var de 𝑋.
Vamos começar lembrando como calculamos o 𝐸 de 𝑋. Fazemos isso multiplicando cada valor de 𝑋 por sua probabilidade correspondente e, em seguida, encontrando a soma desses valores. Nós multiplicamos menos cinco por um terço. Em seguida, adicionamos o produto de menos quatro e um oitavo, menos três e um quarto e, finalmente, menos um e sete vinte e quatro avos. Embora pudéssemos calcular cada um dos quatro produtos individualmente, digitar todo o cálculo em nossa calculadora nos dá menos 77 sobre 24.
Nosso segundo passo é calcular 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. Para fazer isso, vale a pena adicionar uma linha extra à nossa tabela para calcular os valores de 𝑋 ao quadrado. Menos cinco ao quadrado é 25, pois multiplicar um número negativo por um número negativo dá uma resposta positiva. Da mesma forma, elevar ao quadrado menos quatro, menos três e menos um nos dá valores de 16, nove e um. Agora podemos repetir o processo que usamos para calcular 𝐸 de 𝑋. Desta vez, multiplicamos os valores de 𝑋 ao quadrado por suas probabilidades correspondentes. Isso nos dá 25 multiplicado por um terço mais 16 multiplicado por um oitavo mais nove multiplicado por um quarto mais um multiplicado por sete vinte e quatro avos. Mais uma vez, podemos digitar isso diretamente em nossa calculadora, dando-nos 103 sobre oito.
A terceira etapa do nosso processo é calcular a variância ou var de 𝑋. Isso é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Substituindo os valores que calculamos, temos 103 sobre oito menos menos 77 sobre 24 ao quadrado. Digitando isso em nossa calculadora nos dá 1487 sobre 576. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, podemos calcular isso fazendo a raiz quadrada de 1487 sobre 576. Observando que precisamos dar nossa resposta a duas casas decimais, isso é aproximadamente igual a 1,61. O desvio padrão de nossa função para duas casas decimais é 1,61.
Em nossa próxima pergunta, um dos valores de 𝑋 em nossa tabela será desconhecido.
A função na tabela dada é uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Dado que o valor esperado de 𝑋 é 6,5, encontre o desvio padrão de 𝑋. Dê sua resposta para duas casas decimais.
Nesta questão, recebemos o valor esperado 𝐸 de 𝑋, que é igual a 6,5. Podemos usar isso para nos ajudar a identificar o parâmetro desconhecido 𝐴. Lembramos que podemos calcular o valor esperado multiplicando cada um dos nossos valores de 𝑋 pelas probabilidades correspondentes. Em seguida, encontramos a soma de todos esses valores. Isso significa que 𝐸 de 𝑋 é igual a três multiplicado por 0,2 mais 𝐴 multiplicado por 0,1 mais seis multiplicado por 0,1 mais oito multiplicado por 0,6. Simplificando esse lado direito, temos 0,6 mais 0,1𝐴 mais 0,6 mais 4,8. E sabemos que isso é igual a 6,5. Subtraindo 0,6, 0,6 e 4,8 de ambos os lados da nossa equação nos dá 0,5 é igual a 0,1𝐴. Podemos então dividir ambos os lados dessa equação por 0,1, dando-nos 𝐴 é igual a cinco. O valor ausente em nossa tabela é cinco, de modo que a probabilidade de 𝑋 ser igual a cinco é 0,1.
Em seguida, lembramos que para calcular o desvio padrão, precisamos seguir quatro etapas. Em primeiro lugar, calculamos 𝐸 de 𝑋. Em segundo lugar, calculamos 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. Nosso terceiro passo é calcular a variância ou var de 𝑋 que é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos o 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Finalmente, podemos calcular o desvio padrão 𝜎 fazendo a raiz quadrada da variância de 𝑋.
Limpando algum espaço, já sabemos que o valor esperado ou média 𝐸 de 𝑋 é igual a 6,5. Calculamos 𝐸 de 𝑋 ao quadrado de maneira semelhante a 𝐸 de 𝑋. Isso é igual a três ao quadrado multiplicado por 0,2 mais cinco ao quadrado multiplicado por 0,1 mais seis ao quadrado multiplicado por 0,1 mais oito ao quadrado multiplicado por 0,6. Digitando isso em nossa calculadora nos dá 46,3. Agora temos valores de 𝐸 de 𝑋 e 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. A var de 𝑋 é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos o 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Então, neste caso, temos 46,3 menos 6,5 ao quadrado. Isso é igual a 4,05. Finalmente, podemos calcular o desvio padrão fazendo a raiz quadrada dessa variância. Para duas casas decimais, isso é igual a 2,01. O desvio padrão da função na tabela dada para duas casas decimais é 2,01.
Antes de olhar para um exemplo final, consideraremos o coeficiente de variação. O coeficiente de variação, escrito 𝐶 sub 𝑉, fornece o desvio padrão como uma porcentagem do valor esperado. Se deixarmos 𝑋 ser uma variável aleatória discreta com média 𝐸 de 𝑋 e desvio padrão 𝜎 sub 𝑋, se assumirmos ainda que 𝜇 não é igual a zero, então o coeficiente de variação 𝐶 sub 𝑉 é dado por 𝐶 sub 𝑉 de 𝑋 é igual a 𝜎 sub 𝑋 dividido por 𝐸 de 𝑋 multiplicado por 100. Assumimos que 𝜇 não é igual a zero, pois 𝐶 sub 𝑉 não é definido quando a média é igual a zero. Como o desvio padrão é sempre positivo, o coeficiente de variação será negativo quando 𝐸 de 𝑋 for negativo e positivo quando 𝐸 de 𝑋 for positivo.
É importante observar que, embora o desvio padrão seja uma medida absoluta de dispersão, o coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão. Isso é útil, pois quando lidamos com variáveis com valores esperados maiores, é mais provável que elas estejam mais espalhadas. Portanto, faz sentido usar uma medida relativa ao comparar as propagações. O coeficiente de variação também é útil ao comparar conjuntos de dados com diferentes médias e desvios padrão. O coeficiente de variação, portanto, representa o quão longe, em média, os pontos de dados estão da média em relação ao tamanho da média. Vamos agora ver um exemplo em que precisamos calcular esse coeficiente de variação.
Calcule o coeficiente de variação da variável aleatória 𝑋 cuja distribuição de probabilidade é mostrada. Dê sua resposta para a porcentagem mais próxima.
Sabemos que nossa figura é um gráfico de distribuição de probabilidade. E lembramos que o coeficiente de variação, escrito 𝐶 sub 𝑉, é igual ao desvio padrão 𝜎 dividido pelo valor esperado ou média 𝐸 de 𝑋 multiplicada por 100 por cento. Esse coeficiente de variação representa a distância, em média, dos pontos de dados da média em relação ao tamanho da média. Começaremos calculando a média ou valor esperado 𝐸 de 𝑋. Fazemos isso multiplicando cada um dos nossos valores de 𝑋 pelo valor ou probabilidade de 𝑓 correspondente. Em seguida, encontramos a soma de todos esses produtos.
A partir do gráfico, começamos multiplicando um por um décimo. Em seguida, multiplicamos três por dois décimos. Também precisamos multiplicar cinco por três décimos e sete por quatro décimos. O cálculo de cada um desses produtos nos dá 0,1, 0,6, 1,5 e 2,8. 𝐸 de 𝑋 é, portanto, igual a cinco. Como também precisamos calcular o desvio padrão, nosso próximo passo é calcular 𝐸 de 𝑋 ao quadrado. Isso é igual a um quadrado multiplicado por um décimo mais três ao quadrado multiplicado por dois décimos mais cinco ao quadrado multiplicado por três décimos mais sete ao quadrado multiplicado por quatro décimos. Isso é igual a 0,1 mais 1,8 mais 7,5 mais 19,6. 𝐸 de 𝑋 ao quadrado é, portanto, igual a 29.
Em seguida, lembramos que a variância ou var de 𝑋 é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado. Nesta questão, temos 29 menos cinco ao quadrado. Isso é igual a quatro. Limpando algum espaço, temos os três valores a seguir. Sabemos que o desvio padrão 𝜎 é igual à raiz quadrada positiva da variância de 𝑋. Isso significa que, nesta questão, o desvio padrão é a raiz quadrada positiva de quatro, que é igual a dois. Agora podemos substituir nossos valores na fórmula do coeficiente de variação. Precisamos multiplicar dois quintos ou 0,4 por 100. Isso é igual a 40 por cento. O coeficiente de variação da variável aleatória 𝑋 mostrado no gráfico é de 40 por cento.
Vamos agora terminar este vídeo resumindo os pontos principais. Dada a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória 𝑋, podemos calcular o desvio padrão 𝜎 usando as seguintes etapas. (i) Calcule a média ou valor esperado 𝐸 de 𝑋, (ii) calcule 𝐸 de 𝑋 ao quadrado, (iii) calcule a variância, a var, de 𝑋, que é igual a 𝐸 de 𝑋 ao quadrado menos 𝐸 de 𝑋 tudo ao quadrado, e (iv) calcule 𝜎 o desvio padrão encontrando a raiz quadrada positiva da var de 𝑋.
Também vimos que o coeficiente de variação, 𝐶 sub 𝑉, representa o desvio padrão 𝜎 como uma porcentagem de 𝐸 de 𝑋, o valor esperado, de modo que 𝐶 sub 𝑉 é igual a 𝜎 dividido por 𝐸 de 𝑋 multiplicado por 100 por cento. Observamos que o desvio padrão é uma medida absoluta de dispersão e o coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão.
