Vídeo: Calculando a Probabilidade da União de Dois Eventos

Neste vídeo, estamos calculando a probabilidade de que um ou outro ou ambos os eventos não mutuamente exclusivos ocorram considerando a probabilidade de sua interseção.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver os eventos, que não são necessariamente mutuamente exclusivos, e examinar a probabilidade de um ou outro ou ambos ocorrerem. Isso pode levar um pouco de tempo para pensar sobre.

Vamos pensar em uma turma de trinta crianças. Digamos que quinze deles tocam regularmente um instrumento musical, e vinte deles jogam algum tipo de esporte para um time. Agora, quinze mais vinte são trinta e cinco, o que é mais do que trinta. Então, algumas das crianças devem tocar um instrumento e praticar um esporte. Agora, se eu disser que doze deles jogam ambos, um instrumento e um esporte, podemos criar um diagrama que decompõe nossos números. Então, vamos fazer um diagrama de Venn. Antes de começarmos, vamos ter 𝐼 o número de crianças que tocam um instrumento e 𝑆 o número de crianças que praticam um esporte. Então, temos na turma um total de trinta alunos, então trinta alunos são representados no diagrama. E nós temos aqueles que tocam um instrumento no círculo da esquerda, e aqueles que jogam um esporte no círculo da direita. Certo. Agora sabemos que doze alunos jogam os dois. Portanto, nessa área de interseção no meio, há doze alunos que estão dentro do círculo de instrumentos e também dentro do círculo de esportes. Agora, quinze deles tocam um instrumento no total, mas doze deles também praticam um esporte, porque é o que dissemos aqui, depois quinze tiram doze ficam três alunos que tocam um instrumento somente, mas não praticam um esporte. E sabemos que vinte jogam um esporte no total. Doze deles também tocam um instrumento, então vinte tiram doze, oito deles que praticam esportes, mas não tocam um instrumento.

Portanto, a turma é formada por trinta alunos, três, somente, tocam um instrumento, doze tocam um instrumento e praticam esporte e oito somente praticam um esporte. Então, se tirarmos esses números de trinta, isso nos dá uma resposta de sete. Diz-nos que sete dos alunos não tocam um instrumento ou praticam um esporte. Agora podemos usar nossa técnica de contagem de casos para nos ajudar a calcular as várias probabilidades, se escolhermos uma criança aleatoriamente. Então, se fizermos isso, cada criança terá a mesma probabilidade de ser escolhida. Então, a probabilidade de que eles tocam um instrumento, 𝑃𝐼, é simplesmente igual a - bem, há três que tocam apenas um instrumento e doze que também praticam um esporte, então, se somarmos, são quinze no total que tocam um instrumento das trinta pessoas da turma - então a probabilidade de elas tocarem um instrumento é de quinze em trinta, quinze trinta avos. Para praticar um esporte, novamente, temos doze que jogam um esporte e um instrumento e oito que apenas praticam um esporte, então adicionando os dois teremos a proporção dos trinta praticantes de esportes. E isso nos tranquiliza pois é, de fato, o que nos disseram no início da pergunta. E então, finalmente, nós já fizemos os cálculos, a probabilidade de eles não tocarem um instrumento e eles não praticarem um esporte, havia sete nessa categoria entre os trinta alunos da classe, então o a probabilidade de não tocarem um instrumento ou um esporte é sete sobre trinta.

Agora vamos apresentar um pouco de notação. 𝐼 interseção 𝑆, esse símbolo aqui é o grupo de alunos na interseção. Então eles estão em ambos os grupos, neste grupo aqui. São os doze alunos que estão no grupo de instrumentos e também no grupo de esportes. Então, desde que eu esteja escolhendo um aluno aleatoriamente da classe, todos eles são igualmente prováveis ​​de serem escolhidos, a probabilidade de 𝐼 interseção 𝑆, a probabilidade de que eles tocam tanto um instrumento quanto pratiquem um esporte, é doze de trinta porque são doze nessa categoria de trinta pessoas no total da classe.

Agora, este símbolo aqui significa 𝐼 união 𝑆 e é uma contagem dos vinte e três alunos que tocam um instrumento, praticam um esporte ou praticam os dois. Então eles estão nas categorias 𝐼, ou 𝑆, ou em ambas. Agora note que temos que ter muito cuidado com a maneira como resolvemos isso. Se eu somasse os quinze que tocam um instrumento com os vinte que praticavam esporte, eu teria contado esses doze aqui em ambos os grupos. Então, eu os contaria duas vezes e receberia uma resposta muito maior que doze. Novamente, contanto que eu esteja pegando os estudantes aleatoriamente e todos tenham a mesma probabilidade de serem escolhidos, para calcular 𝐼 união 𝑆, eu só tenho que somar todos esses três números aqui para obter o total de alunos que estão naqueles três - nessas duas categorias.

Agora, por último, um pouquinho mais de anotação, o complemento ou linha. Isso aqui, você poderia pronunciá-lo, 𝐼 linha ou 𝐼 complementar; significa “não 𝐼”. Então, são os alunos que não tocam um instrumento. Eles podem ser um desses oito que não tocam um instrumento, mas praticam um esporte, ou podem ser também um desses sete que não tocam um instrumento e não praticam um esporte. Então, como os alunos tocam um instrumento ou não tocam um instrumento, podemos dizer isso. É absolutamente certo, uma probabilidade de um, que eles tocam ou não tocam um instrumento. Então, se somarmos a probabilidade de que eles tocam um instrumento com a probabilidade de que eles não tocam um instrumento, eles devem somar um. E se você quisesse calcular a probabilidade de um aluno não tocar um instrumento, podemos apenas reorganizar a fórmula 𝑃𝐼 linha é igual a um menos 𝑃𝐼, a probabilidade de que eles toquem um instrumento. Então, relembrando, nós descobrimos a probabilidade de eles tocarem um instrumento, era quinze em trinta. De fato, nos foi dado isso na pergunta. Então, a probabilidade de que eles não toquem um instrumento é um menos aquela, o que também se torna quinze sobre trinta.

E aplicando o mesmo princípio àqueles que praticam ou não praticam esportes, a probabilidade de que alguém não pratique esporte é um menos a probabilidade de que aqueles que praticam esporte. E nos disseram que a probabilidade de eles praticarem esporte é vinte sobre trinta, porque vinte dos trinta alunos praticam esporte. Assim, um menos vinte sobre trinta nos dá uma resposta de dez trigésimos ou um terço. Então a probabilidade de eles não praticarem esporte é dez trigésimos.

OK. Só mais uma coisa então. Vamos experimentar algumas dessas pequenas técnicas juntas. O que achamos que isso significa, 𝐼 união 𝑆, linha? Bem 𝐼 união 𝑆 é o inteiro - é o conjunto completo de estudantes que praticam um esporte ou um instrumento ou ambos. Então são todas essas pessoas aqui. E isso é 𝐼 união 𝑆. Agora queremos o conjunto linha, o complemento disso. Então são todas as pessoas fora desse grupo. São esses sete estudantes aqui. O diagrama de Venn realmente nos ajuda a realmente visualizar o que isso significa. Então vamos apenas formalizar isso um pouco. A probabilidade, se todos os estudantes são escolhidos aleatoriamente, de 𝐼 união 𝑆 linha, são todos aqueles que não estão nesse grupo, é um menos a probabilidade de 𝐼 união 𝑆. E como há vinte e três estudantes que estão em 𝐼 união 𝑆, que praticam um instrumento ou um esporte ou ambos, a probabilidade de escolher um deles seria vinte e três trigésimos. Então a probabilidade de escolher alguém que não pratica um instrumento ou um esporte é um menos vinte e três trigésimos, o que é sete trigésimos. E novamente, isso é ótimo. Essa é a resposta que poderíamos ter obtido apenas por análise visual. Mas agora temos maneiras diferentes de resolver a mesma coisa. Assim, podemos verificar nossas respostas e podemos abordar as coisas de maneiras diferentes quando temos perguntas diferentes.

Então vamos resumir o que aprendemos até agora. E agora este é o resultado realmente que estamos tentando encontrar. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Então, como isso funciona? A probabilidade de 𝐴 é essa região aqui, então todas essas pessoas que estão no grupo 𝐴. E a probabilidade de 𝐵 são todas essas pessoas aqui. Agora o que podemos ver é nesta região de interseção aqui, nós realmente contamos essas pessoas duas vezes. Nós as contamos uma vez pelo grupo 𝐵 e também uma vez pelo grupo 𝐴. Então é por isso que estamos subtraindo 𝐴 interseção 𝐵 desse total, porque estamos basicamente removendo as pessoas que contamos duas vezes para fazer esse cálculo. Então, agora que entendemos isso, às vezes, não precisamos desenhar um diagrama de Venn para cada pergunta, podemos usar essa fórmula imediatamente para fazer alguns desses cálculos para algumas de nossas perguntas. Então, vamos dar uma olhada no caso em que fazemos isso.

Portanto, a questão é, encontrar a probabilidade de obter um número que é ímpar ou primo ao rolar um dado justo de seis lados. Então, se é ímpar ou primo, isso nos diz que estamos tentando encontrar a união de ímpar e primo. Por isso pode ser ímpar ou primo ou talvez até ambos, quando jogamos este dado.

Então vamos apenas escrever as definições dos nossos eventos. Estamos definindo um evento ímpar como um número ímpar, então é um, três ou cinco. Todos os quais são igualmente prováveis quando jogamos um dado. Ou o evento primo é quando obtemos um número primo, então os números primos entre um e seis são dois, três e cinco. E a questão é a probabilidade de obter um ímpar ou um primo, que é o mesmo que primo união ímpar. E como temos resultados igualmente prováveis ​​para lançar um dado, por ser um dado justo, podemos dizer que a probabilidade de obter um número ímpar, podemos usar nossa técnica de contagem, portanto, três maneiras de seis no total. E o mesmo para os números primos, existem três maneiras de obter um número primo dos seis resultados possíveis que você pode obter quando lança um dado de seis lados.

Então, para calcular a probabilidade de primo união ímpar, vamos somar a probabilidade de ímpar mais a probabilidade de primo. E então vamos subtrair a intersecção desses dois, a probabilidade da intersecção desses dois. Então, a próxima coisa que precisamos descobrir é qual é a probabilidade de obter um número que seja ao mesmo tempo ímpar e primo. Bem, se olharmos para esses dois conjuntos, um é ímpar, mas não é primo, o segundo é primo, mas não é ímpar. Então, três e cinco são os únicos dois elementos desse conjunto. Portanto, existem duas maneiras de obter um número que é ímpar e primo dos seis resultados totais possíveis. Em seguida, usando o resultado padrão, a probabilidade de ímpar união primo é a probabilidade de ímpar mais a probabilidade de primo menos a probabilidade da interseção de ímpar e primo. Então, vamos apenas inserir os números que encontramos, de modo que três sextos mais três sextos tiram dois sextos, o que equivale a quatro sextos.

E apenas uma checagem mental rápida, isso faz sentido, porque quatro dos seis números de um a seis são ímpares ou primos ou ambos. Então é um, dois, três e cinco.

OK. Então aqui está uma questão então. Em uma pesquisa com pessoas que compram sorvete em um café, sessenta por cento disseram que gostavam de morango e quarenta por cento disseram que gostavam de pistache. A análise mostrou que setenta por cento gostavam de morango ou pistache ou ambos. Que proporção gostava de ambos, e que proporção gostava apenas de morango?

Primeiro de tudo, vamos definir nossos eventos. Então seja 𝑆 o evento que a pessoa gosta de morango, seja 𝑃 o evento que a pessoa gosta de pistache. Vamos apenas preenchendo com os números da pergunta, a probabilidade de que eles gostassem de morango era sessenta por cento, que era zero ponto seis, a probabilidade de que eles gostassem de pistache era quarenta por cento, que era zero ponto quatro, e a probabilidade que eles gostassem de um ou ambos era de zero ponto sete, então setenta por cento, então esta probabilidade é de zero ponto sete.

Agora nosso resultado geral nos diz que a união - a probabilidade de 𝑆 união 𝑃, então a probabilidade de que eles gostassem de morango ou pistache ou ambos, é igual à probabilidade que eles gostavam de morango mais a probabilidade de gostarem de pistache menos a interseção daqueles dois, porque lembre-se, nós contamos duas vezes os dois eventos naquela união. Então, precisamos retirá-los novamente. Agora, o que estamos procurando é, que proporção gostou de ambos. Então essa é essa proporção aqui. A probabilidade de 𝑆 interseção 𝑃, que eles gostassem tanto de morango quanto de pistache. Portanto, podemos reorganizar essa equação aqui, adicionando a probabilidade de 𝑆 interseção 𝑃 a ambos os lados e subtraindo a probabilidade de 𝑆 união 𝑃 de ambos os lados. E agora podemos substituir os valores que temos. Então, zero ponto seis mais zero ponto quatro menos zero ponto sete, o que nos dá uma resposta de zero ponto três. Em outras palavras, trinta por cento das pessoas pesquisadas gostam tanto de sorvete de morango quanto de pistache.

Agora a última parte da questão, que proporção só gostava de morango. Em outras palavras, não gostava de pistache. Bem, acabamos de descobrir que essa área de interseção aqui é zero ponto três. E a pergunta nos disse que a probabilidade de gostar de morango é de zero ponto seis. Então, zero ponto três é contabilizado aqui. Temos que tirar isso do zero ponto seis para descobrir o que sobrou aqui. Então essa região é, vamos chamá-la de 𝑆 interseção 𝑃 linha, que é a interseção de quem gosta de morango e não gosta de pistache. E essa é a probabilidade de eles gostarem de morango menos a probabilidade de gostarem de ambos. Temos que, zero ponto seis menos zero ponto três, o que de novo é zero ponto três. Então, esse é o resultado final, trinta por cento deles, então, zero ponto três pessoas gostam do sorvete de morango. Então, zero ponto seis menos zero ponto três é zero ponto três. Então, trinta por cento das pessoas pesquisadas gostavam de morango, mas não gostavam de pistache. Então, podemos escrever isso como nossa resposta também.

Portanto, as principais dicas estão aqui, uma definindo nossos eventos, duas usando o resultado padrão de que a união de dois eventos é igual a probabilidade de 𝑆 mais probabilidade de 𝑃 menos a interseção desses dois eventos. Além disso, essa técnica de apenas usar o diagrama de Venn para nos ajudar a reunir nossos pensamentos é realmente útil. E certifique-se de deixar sua resposta agradável e clara no final.

OK. Então, se há uma coisa para você lembrar desse vídeo, que seja isso. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a informação que contamos duas vezes, a interseção dessas duas áreas lá.

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