Vídeo: Encontrando o Conjunto Solução de Equações Logarítmicas sobre o Conjunto de Números Reais

Determine o conjunto solução da equação log₈ (𝑥 - 6) + log₈ (𝑥 + 6) = log ₈ 64 em ℝ.

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Determine o conjunto-solução da equação log de base oito de 𝑥 menos seis mais log de base oito de 𝑥 mais seis igual a log de base oito de 64 no conjunto dos números reais.

Para nos permitir começar a resolver este problema e efetivamente resolver a equação, tudo o que precisaremos de fazer é aplicar uma propriedade dos logaritmos. E a propriedade dos logaritmos que vamos utilizar é o log de base 𝑎 de 𝑚𝑛, em que 𝑚 multiplica por 𝑛, é igual a log de base 𝑎 de 𝑚 mais log para base 𝑎 de 𝑛.

Portanto, se olharmos para a nossa equação, podemos ver que, na verdade, todos têm a mesma base, porque o oito é a nossa base. É o mesmo que o nosso 𝑎 na nossa propriedade dos logaritmos. Assim podemos dizer que o nosso log de base oito de 𝑥 menos seis mais log de base oito de 𝑥 mais seis igual a log de base oito de 64 é igual a 𝑥 menos seis multiplicado por 𝑥 mais seis igual a 64. E isto acontece porque se olharmos para a nossa propriedade dos logaritmos, podemos ver que, bem, o 𝑥 menos seis é como o nosso 𝑚. E o 𝑥 mais seis é como o nosso 𝑛. E se efetivamente os multiplicarmos, será igual ao nosso 64, que foi nosso 𝑚𝑛.

E agora podemos resolver esta equação. E a primeira coisa que precisamos de fazer é expandir os parênteses. Então temos 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos seis 𝑥 menos 36 igual a 64. E então podemos juntar os nossos termos aqui.

Uma coisa importante aqui também é observar o facto de que estes dois parênteses são na verdade a diferença de dois quadrados. Então, o que isto significa é que, na verdade, os nossos 𝑥 termos anulam-se. Então, ficamos com o nosso 𝑥 ao quadrado menos 36. E isto é igual a 64.

Mais uma vez, dizemos que se anulam. Isto significa que, se tivermos mais seis 𝑥 e, em seguida, menos seis 𝑥, isso é apenas zero. Ok, agora o nosso próximo passo. Bem, para o nosso próximo passo, adicionamos 36. Então, temos 𝑥 ao quadrado igual a 100. E a seguir se aplicarmos a raiz em cada membro, obtemos 𝑥 igual a 10. Assim, podemos efetivamente dizer que o conjunto-solução da equação log de base oito de 𝑥 menos seis mais log de base oito 𝑥 mais seis igual a log de base oito de 64 é 10.

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