Vídeo: O Teorema das Funções Enquadradas

Neste vídeo, vamos aprender como utilizar o teorema das funções enquadradas para calcular alguns limites quando as imagens de uma função estão limitadas pelas imagens de duas outras funções.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender sobre o teorema das funções enquadradas. O teorema das funções enquadradas é um teorema realmente útil e importante, porque nos ajuda a calcular limites muito úteis e importantes que não podem ser calculados utilizando técnicas mais básicas. Vamos começar por tentar entender o enunciado do teorema.

Se 𝑓 de 𝑥 for menor ou igual a 𝑔 de 𝑥, que por sua vez é menor ou igual a ℎ de 𝑥 quando 𝑥 está próximo de um valor 𝑎 e o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 é o mesmo que o limite de ℎ de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎. Chamamos este limite de 𝐿. Então, o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 também será 𝐿. Isto é melhor entendido utilizando um diagrama. Toda a ação ocorre quando 𝑥 está próximo de um determinado valor 𝑎. Então, vamos marcar este valor especial. Próximo de 𝑎, por outras palavras, nalgum intervalo em torno de 𝑎, é-nos dito que 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑔 de 𝑥, que é menor ou igual a ℎ de 𝑥. Porém, antes de começarmos a desenhar gráficos, devemos ter em mente que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é o mesmo que o limite de ℎ de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎.

Aqui está um esboço dos gráficos de duas funções 𝑓 e ℎ, que têm os mesmos limites de quando 𝑥 tende para 𝑎 e é necessário que também 𝑓 de 𝑥 seja sempre menor ou igual a ℎ de 𝑥 para qualquer valor de 𝑥 próximo de 𝑎, como é necessário. Mas ainda precisamos de esboçar o gráfico de 𝑔 de 𝑥, cujas imagens estão sempre entre as de 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥. Vamos tentar esboçar. Como 𝑔 de 𝑥 está entre 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥, o gráfico de 𝑔 de 𝑥 deve estar entre o gráfico de 𝑓 de 𝑥 e o gráfico de ℎ de 𝑥. Começamos com bastante espaço entre os gráficos de 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥. Mas, à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎 e os gráficos de 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥 se aproximarem, enquadrando-se neste ponto onde se encontram. É claro que, após este ponto, começamos a ter espaço novamente. Este é o referido enquadramento no nome do teorema das funções enquadradas.

E o teorema das funções enquadradas afirma exatamente o que descobrimos ao tentar esboçar um gráfico da função adequada 𝑔. Que o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 também deve ser 𝐿. Temos muitas opções de escolha sobre o valor de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 não está próximo de 𝑎. Mas como 𝑥 se aproxima de 𝑎, o valor de 𝑔 de 𝑥 deve aproximar-se de 𝐿. O teorema das funções enquadradas é um teorema muito geral. Não exigimos que as funções envolvidas sejam contínuas. Também se aplica a funções que não são contínuas. E podemos tornar este enunciado um pouco mais forte, não exigindo que 𝑓 de 𝑥 seja menor ou igual a 𝑔 de 𝑥 que é menor ou igual a ℎ de 𝑥 quando 𝑥 é exatamente 𝑎, desde que esta desigualdade se mantenha em qualquer região próxima de 𝑎.

Felizmente, entendemos melhor o enunciado do teorema das funções enquadradas do que no início do vídeo. Não vamos provar o teorema das funções enquadradas neste vídeo. O que vamos fazer é aplicá-lo a vários problemas para ver por que é útil e fortalecer nosso entendimento. A figura mostra os gráficos das funções 𝐴 e 𝐵 com 𝐴 de 𝑥 menor ou igual a 𝐵 de 𝑥 para 𝑥 entre dois e 3.8. Observando o diagrama, vemos que este deve ser 𝐴 de 𝑥 e este deve ser 𝐵 de 𝑥.

Perguntamos o que o teorema das funções enquadradas nos diz sobre uma função contínua 𝑓 cujo gráfico está na região sombreada no intervalo de dois a 3.8. Bem, o que diz o teorema das funções enquadradas? Diz que se 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑔 de 𝑥 que é menor que ou igual a ℎ de 𝑥 quando 𝑥 está próximo de 𝑎 e o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 é igual ao limite de ℎ de 𝑥 como 𝑥 se aproxima de 𝑎 que é igual a 𝐿. Então o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 também é igual a 𝐿. Como isso nos ajuda com a nossa questão?

Bem, disseram-nos que o gráfico de 𝑓 está na região sombreada. Isso está entre os gráficos de 𝐴 de 𝑥 e 𝐵 de 𝑥. E assim, para todos os valores de 𝑥 em 𝐵 de 𝑥 no intervalo aberto de dois a 3.8, a imagem de 𝑓 de 𝑥 deve estar entre as imagens de 𝐴 de 𝑥 e 𝐵 de 𝑥. Podemos mudar os nomes das funções no teorema das funções enquadradas. Ao fazer isso, de facto temos 𝐴 de 𝑥 é menor ou igual que 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual que 𝐵 de 𝑥 quando 𝑥 está próximo de 𝑎 ou pelo menos nalgum intervalo. Agora, também precisamos que os limites de 𝐴 de 𝑥 e 𝐵 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 minúsculo sejam os mesmos.

Observando o gráfico, podemos ver quando os limites de 𝐴 de 𝑥 e 𝐵 de 𝑥 são iguais. À medida que 𝑥 se aproxima de três quando o limite é um. Portanto, esta condição também é satisfeita com 𝑎 igual a três e 𝐿 igual a um. E assim, podemos concluir que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é igual a 𝐿. Utilizando o facto de que 𝑎 é três e 𝐿 é um, obtemos que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para três é um. Esta é a nossa resposta. É isso que o teorema das funções enquadradas nos diz sobre a função contínua 𝑓 cujo gráfico se encontra na região sombreada.

Este resultado deve fazer sentido. Se tentar desenhar qualquer gráfico na região sombreada, acabará por passar por este ponto três, um. Portanto, faz sentido que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de três seja um. De facto, como nos dizem que 𝑓 é uma função contínua, podemos ir além e dizer que o valor de 𝑓 de três é igual ao limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de três deve ser um. Vamos agora ver um exemplo em que o teorema das funções enquadradas ajuda-nos a calcular um limite importante.

Considere o seguinte arco de uma circunferência unitária, em que o raio 𝑂𝑃 está inclinado 𝜃 radianos. Parte um) Quais são, em termos de 𝜃, as coordenadas de 𝑃?

Bem, aqui está 𝑃. E se considerarmos que o ângulo 𝑂𝑇𝑃 é um ângulo reto, podemos ver que 𝑃 está logo acima do ponto 𝑇 com as coordenadas um, zero. E assim, a coordenada em 𝑥 de 𝑃 deve ser um. Mas e a coordenada em 𝑦? Bem, a coordenada em 𝑦 de 𝑃 é apenas o comprimento 𝑇𝑃. Determinamos este comprimento considerando o triângulo retângulo 𝑂𝑇𝑃. A origem 𝑂 tem coordenadas zero, zero. E assim, podemos ver que o comprimento 𝑂𝑇 é apenas um.

Ora, sabemos o comprimento do lado adjacente ao ângulo 𝜃. E gostaríamos de saber o comprimento do lado oposto. Bem, então devemos utilizar tan 𝜃, que é a razão entre o comprimento do lado oposto ao ângulo 𝜃. É 𝑇𝑃 dividido pelo comprimento do lado adjacente ao lado 𝑂𝑇, que sabemos que tem comprimento um. 𝑇𝑃, lembra-te, que é a coordenada em 𝑦 de 𝑃 é, portanto, tan 𝜃. E assim, as coordenadas de 𝑃 são um, tan 𝜃.

Parte dois) Escreva as seguintes desigualdades em termos de sen 𝜃, 𝜃 e cos 𝜃. O comprimento de 𝑄𝑅 é menor que o comprimento do arco de 𝑇 a 𝑄, que é menor que o comprimento 𝑇𝑃.

Vamos começar com 𝑄𝑅. Novamente, é melhor determinar isto considerando um triângulo retângulo, neste caso o triângulo retângulo 𝑂𝑅𝑄. Agora, como 𝑄 está na circunferência unitária, a sua distância da origem é um. E assim, 𝑂𝑄 é um. Temos o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo. E queremos determinar o comprimento do lado oposto ao ângulo 𝜃. Este é o comprimento 𝑄𝑅. Então, como gostaríamos de determinar o lado oposto e a hipotenusa, utilizamos o seno. O sen de 𝜃 é o oposto — é 𝑄𝑅 — sobre a hipotenusa um. E assim, é sen 𝜃.

Agora determinamos o comprimento do arco de 𝑇 a 𝑄. Que é este comprimento aqui. Bem, podemos ver que este arco subtende um ângulo de 𝜃 no centro desta circunferência unitária. E disseram-nos que 𝜃 na questão é medido em radianos. Por definição, então, o comprimento do arco de 𝑇 a 𝑄 é 𝜃. Em alternativa, pode determinar 𝜃 em radianos como a razão entre o comprimento do arco e o raio. Mas, como estamos na circunferência unitária, o raio é um. E assim, 𝜃 é apenas o comprimento do arco 𝑇𝑄. E o comprimento 𝑇𝑃?

Bem, se se lembra da primeira parte da questão, determinámos que era tan 𝜃. 𝑇𝑃 era a coordenada em 𝑦 do ponto 𝑃. Mas somos solicitados a dar a nossa resposta em termos de sen 𝜃, 𝜃 e cos 𝜃 apenas. Então, reescrevemos tan 𝜃 como sen 𝜃 sobre cos 𝜃. A nossa desigualdade passa a ser que o sen 𝜃 é menor que 𝜃 que é menor que o sen 𝜃 sobre cos 𝜃.

Finalmente, parte três), dividindo as suas desigualdades por sen 𝜃, utilizando o teorema das funções enquadradas e o facto de que o limite de cos 𝜃 quando 𝜃 se aproxima de zero é um, qual das seguintes conclusões pode tirar? Que A) o limite de 𝜃 sobre sen 𝜃 quando 𝜃 tende para zero é zero, B) que este limite não existe, ou C) que este limite tem o valor um.

Começamos por dividir as desigualdades obtidas na segunda parte da questão pelo sen 𝜃. Sen 𝜃 dividido por sen 𝜃 é um. 𝜃 dividido por sen 𝜃 não pode ser mais simplificado. Mas sen 𝜃 sobre cos 𝜃 dividido por sen 𝜃 pode. Temos um sobre cos 𝜃. Agora, utilizamos o teorema das funções enquadradas. Mas como devemos utilizá-lo? Bem, as opções dão-nos uma pista. Basicamente, pedem-nos os limites de 𝜃 sobre sen 𝜃 à medida que 𝜃 tende para zero. Então, quanto é este limite? Bem, temos duas funções em ambos os lados de 𝜃 sobre sen 𝜃. O limite de um é, obviamente, apenas um. O limite de um sobre cos 𝜃 é um pouco mais complicado. Temos que utilizar o facto de que o limite de um quociente é o quociente do limite.

Mas, tendo feito isto, sabemos qual é o limite de cos 𝜃 quando 𝜃 se aproxima de zero. Disseram-nos isto na questão. Este valor é um. E assim, o limite de um sobre cos 𝜃 quando 𝜃 se aproxima de zero é um sobre um que é um. Portanto, tanto a função um quanto a função um sobre cos 𝜃 têm o mesmo limite: o limite um quando 𝜃 tende para zero. E assim, como 𝜃 sobre sen 𝜃 se encontra entre estas duas funções para valores de 𝜃 próximos de zero, podemos aplicar o teorema das funções enquadradas. O limite de 𝜃 sobre sen 𝜃 quando 𝜃 se aproxima de zero também deve ser um, o mesmo que os outros dois limites. Esta é a nossa resposta que corresponde à opção C.

Como corolário, podemos tomar o recíproco e dizer que o limite do sen 𝜃 sobre 𝜃 quando 𝜃 tende para zero é um. Este é um limite realmente importante de se saber. Porque, juntamente com o limite correspondente de cosseno, permite-nos diferenciar funções trigonométricas. O facto de termos uma resposta simples e agradável pode ser surpreendente. Na verdade, só obtemos o valor um porque medimos 𝜃 em radianos. Se medirmos 𝜃 em graus, a nossa resposta será 𝜋 dividida por 180, muito menos elegante. A razão pela qual utilizamos radianos em vez de outras unidades para ângulos é para tornar este limite um. Vamos agora ver o nosso exemplo final.

Calcule o limite de 𝑥 ao quadrado vezes cos de dois sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para zero utilizando o teorema das funções enquadradas.

Vamos lembrar-nos do teorema das funções enquadradas. Diz que se 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑔 de 𝑥 que é menor ou igual a ℎ de 𝑥 quando 𝑥 está próximo de 𝑎 e o limite de 𝑓 de 𝑥 é igual ao limite de ℎ de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎. Vamos chamar este limite de 𝐿. Então, o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 também é 𝐿. Agora, como utilizamos o teorema para calcular este limite aqui? Bem, seja 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo vezes cos de dois sobre 𝑥 e seja 𝑎 igual a zero, então o limite que precisamos de determinar é o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎.

Agora, se pudermos determinar funções 𝑓 e ℎ que limitam inferiormente e superiormente a função 𝑔, respetivamente, e que têm o mesmo limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, que é zero. Então, o limite que estamos à procura também terá esse valor. Escrevemos esta ideia para nos lembrar disto. Agora, tudo o que precisamos de fazer é determinar um limite inferior 𝑓 de 𝑥 e um limite superior ℎ de 𝑥 para a nossa função que têm o mesmo limite quando 𝑥 tende para zero. Como vamos fazer isso?

Bem, a parte difícil da nossa função é o fator cos dois sobre 𝑥. Esta é a parte da função que significa que não podemos simplesmente fazer a substituição direta. De facto, o limite de cos de dois sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para zero é não está definido pode ver isso representando graficamente a função utilizando um computador ou calculadora gráfica. No entanto, não há assíntotas aqui. O contradomínio de cosseno é de menos um para um. O cosseno de qualquer número terá que ficar entre menos um e um. E isso permanece verdadeiro mesmo que esse número seja dois sobre 𝑥. Outra maneira de dizer isto é que o módulo do cosseno de dois sobre 𝑥 é sempre menor ou igual a um. Como resultado, o módulo da nossa função 𝑔 de 𝑥 é menor ou igual ao módulo de 𝑥 ao cubo. Outra maneira de dizer isto é 𝑥 ao cubo cos de dois sobre 𝑥 está entre menos o módulo de 𝑥 ao cubo e o módulo de 𝑥 ao cubo.

Determinámos então as nossas funções 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥? Bem, talvez. Mas precisamos de verificar se seus limites quando 𝑥 se aproxima de zero são os mesmos. Vamos abrir espaço para isso. Precisamos de determinar o limite de 𝑓 de 𝑥 — que é menos o módulo de 𝑥 ao cubo quando 𝑥 tende para zero — e o limite de ℎ de 𝑥. Este é o módulo de 𝑥 ao cubo quando 𝑥 tende para zero. Ambas as funções são contínuas. E assim, estes limites podem ser calculados utilizando substituição direta. Menos o módulo de zero ao cubo é apenas zero, assim como o módulo de zero ao cubo. Então sim, os limites de 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥 quando 𝑥 tende para zero são iguais.

O valor do limite 𝐿 é zero. E assim, pelo teorema das funções enquadradas, o limite de 𝑥 ao cubo vezes cos de dois sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para zero também é zero. Esta é a nossa resposta. Olhando para este diagrama, pode ver como o gráfico da função 𝑥 ao cubo vezes cos de dois sobre 𝑥 é enquadrado entre os gráficos do módulo de 𝑥 ao cubo e o simétrico. E assim, o seu limite quando 𝑥 tende para zero deve ser zero, embora a função em si não esteja definida para 𝑥 igual a zero.

Ok, então vamos recapitular o que aprendemos neste vídeo. Vimos o enunciado do teorema se 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑔 de 𝑥, que por sua vez é menor ou igual a ℎ de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 e o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é igual ao limite de ℎ 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 que é 𝐿. Então, o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 também é 𝐿. Podemos calcular o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 determinando as funções 𝑓 de 𝑥 e ℎ de 𝑥 de modo que 𝑓 de 𝑥 seja menor ou igual a 𝑔 de 𝑥 que é menor ou igual a ℎ de 𝑥 próximo de 𝑎 e o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 igual ao limite de ℎ de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎. Vamos chamá-los de 𝐿 e aplicar o teorema das funções enquadradas. Ao aplicar o teorema das funções enquadradas, descobrimos que o limite de 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 também é 𝐿. O método acima permite determinar limites de funções que combinam polinómios, funções trigonométricas e quocientes. Alguns destes limites são muito importantes.

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