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Vídeo da aula: Resolvendo Inequações do Segundo Grau Matemática • 1º Ano

Este vídeo aborda a utilização de métodos gráficos para resolver inequações do segundo grau e depois aplicar uma abordagem algébrica por forma a determinar soluções exatas. Também nos focamos em apresentar cuidadosamente o trabalho realizado para evitar erros comuns.

17:40

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como resolver inequações do segundo grau. Primeiro, adotaremos uma abordagem simples para examinar os gráficos, mas, em seguida, adotaremos uma abordagem algébrica. Se já consegue determinar raízes de equações do segundo grau ou resolver equações do segundo grau, então consegue fazer isto. Mas precisa de apresentar o seu trabalho com cuidado para evitar cometer um erro comum no final. Vamos dar uma olhadela nalgumas questões agora.

Então, questão um.

Recorrendo ao gráfico, determine os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero. E nos é dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥. E também temos o gráfico que mostra 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, que na verdade corresponde a esta expressão quadrática. Portanto, esta é uma parábola simétrica, interseta o eixo O𝑥 em zero e cinco e também interseta o eixo O𝑦 em zero. Portanto, precisamos de descobrir quando 𝑓 de 𝑥 é maior que zero; por outras palavras, quando a coordenada em 𝑦 é maior ou igual a zero.

Então, com 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, e estamos à procura de quando 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero, estamos realmente — estamos à procura de todos os pontos nesta curva em que a coordenada em 𝑦 é maior ou igual a zero. Bem aqui em zero e aqui em cinco no eixo O𝑥, a coordenada em 𝑦 é zero. E em todos estes pontos no meio na curva, a coordenada em 𝑦 é maior que zero. Portanto, é nesta região que estamos interessados. Queremos saber as coordenadas em 𝑥 que as geram. Bem, zero, cinco, tudo entre estes em termos da coordenada em 𝑥, então de zero a cinco, e tudo fora desta região. Maior que cinco em diante ou menor que zero em diante até menos infinito, que não está incluído na nossa região porque estas partes da curva não são maiores ou iguais a zero. Então, podemos escrever assim, zero é menor ou igual a 𝑥 que é menor ou igual a cinco.

Mas também podemos escrevê-lo na forma de intervalo. Portanto, os valores extremos são zero e cinco. Esse é o final do intervalo. Agora, zero está incluído, portanto, precisamos incluir um parêntesis no final. E cinco está incluídos, então colocamos o parêntesis neste extremo. Então, isso está na forma de intervalo. Então, também podemos colocá-lo em notação de conjunto. Portanto, temos o conjunto dos 𝑥 tais que 𝑥 é um número real entre zero e cinco. Portanto, o processo foi observar o gráfico e identificar todos os pontos no gráfico que correspondem aos critérios que estamos à procura. Neste caso, era 𝑓 de 𝑥 maior ou igual a zero. Portanto, é uma questão de descobrir quais coordenadas em 𝑥 correspondem aos critérios e quais coordenadas em 𝑥 não correspondem a esses critérios e, em seguida, resumir isso numa destas formas: a forma apropriada, seja na forma de inequação, na forma de intervalo ou de conjunto, dependendo do que a questão solicitar.

Ok, vamos para a próxima questão então.

E precisamos de utilizar o gráfico para determinar os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 de 𝑥 é maior que zero, portanto, estritamente maior que, diferente de zero. Bem, neste caso, em 𝑥 igual a um, temos uma coordenada em 𝑦 de zero, então 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. Portanto, isso não estará na região que estamos à procura. E quando 𝑥 é quatro, temos uma coordenada em 𝑦 de zero ou 𝑓 de 𝑥 igual a zero. Portanto, isto novamente não estará na região que estamos à procura. No entanto, quando 𝑓 de 𝑥 é maior que zero; são todos estes pontos aqui no gráfico que vão para infinito nesta direção, e todos estes pontos aqui no gráfico que vão para infinito nesta direção.

Então, pensando nos valores de 𝑥 correspondentes, não incluiremos quatro, mas tudo à sua direita está incluído. Não vamos incluir um, mas tudo à sua esquerda está incluído. Portanto, as partes que não queremos quando a coordenada em 𝑦 é menor ou igual a zero aqui embaixo é tudo desde 𝑥 igual a um até 𝑥 igual a quatro, inclusive.

Ok, então, como vamos escrever isto? Bem, temos uma região não contínua. Então, temos tudo à esquerda de um e tudo à direita de quatro. Então, temos que colocar isto como duas inequações separadas. Então, 𝑥 é menor que um ou 𝑥 é maior que quatro. Então, pensando no equivalente na forma de intervalo, vamos desde menos infinito até, mas não incluído, um. E estamos a ir de, não incluído, quatro até mais infinito.

Portanto, os valores extremos são menos infinito e um e quatro e infinito. Portanto, infinito tem sempre o parêntesis redondo nele. Como não incluímos um na região, colocamos parêntesis redondo nele. Não incluímos quatro, portanto, entre parêntesis redondo. E, em seguida, vamos para mais infinito, que novamente tem um parêntesis redondo. E ambas as duas regiões são válidas, mas nada no meio. Então, é a união destas duas regiões. E na forma de intervalo, escreveríamos assim. E podemos escrever a nossa resposta na notação de conjunto, de modo que o conjunto de 𝑥 tal que 𝑥 é real, onde 𝑥 é menor que um ou 𝑥 é maior que quatro.

Mas outra maneira de escrever é que basicamente, sabe, o conjunto dos números reais são todos estes números aqui, ao longo do eixo O𝑥, a reta numérica, se quiser. Mas queremos excluir esta região aqui de 𝑥 igual a uma até 𝑥 igual a quatro, ou seja, esta região aqui. Então, podemos dizer que são todos os números reais menos esta região. Então, colocamos apenas nesta forma, os números reais e subtraímos este intervalo aqui de um a quatro, inclusive, porque não queremos que um e não queremos que quatro estejam na nossa região. Queremos exclui-los da nossa região de soluções, pelo que há muitas maneiras diferentes de apresentar a nossa solução.

Então, com o número três, adotámos uma abordagem puramente algébrica.

Determine os valores de 𝑥 que satisfazem 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos dez menor ou igual a zero. Ora, o que vamos fazer é dizer que vamos considerar a equação 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos dez. Então, basicamente estamos a colocar todo este lote igual à nossa coordenada em 𝑦. Isso é uma expressão quadrática, e o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um, então é positivo. Portanto, sabemos que esta será uma curva positiva feliz. Também sabemos que o termo constante no final é menos dez, então 𝐶 é igual a menos dez. E é aí que interseta o eixo O 𝑦. E interseta o eixo O𝑥 quando a coordenada em 𝑦 é igual a zero. Portanto, como 𝑦 é igual a 𝑥 quadrado menos três 𝑥 menos dez, o que estamos a dizer é que interseta o eixo O𝑥 quando 𝑥 quadrado menos três 𝑥 menos dez é igual a zero.

E estes fatores, 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos dez fatorizam em 𝑥 mais dois vezes 𝑥 menos cinco. E agora temo-lo na forma. Temos algo vezes algo igual a zero, portanto, uma destas coisas deve ser igual a zero para obter o resultado deste produto igual a zero. Portanto, 𝑥 mais dois é igual a zero ou 𝑥 menos cinco é igual a zero. E isso significa que 𝑥 deve ser igual a menos dois para igualar a zero ou 𝑥 deve ser igual a cinco para igualar zero.

Portanto, agora temos informações suficientes para podermos esboçar a curva de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos dez. Bem, interseta o eixo O𝑦 em menos dez, e interseta o eixo O𝑥 em menos dois e mais cinco. Talvez seja por aqui, menos dois; e cinco positivo está aqui. Agora, é uma expressão quadrática, então será uma parábola simétrica. E o eixo de simetria, porque vai estar a meio caminho entre menos dois e cinco, estará aqui nalgum lugar. E a curva vai parecer-se com algo assim. Agora, como dissemos no início, 𝑦 igual a todas essas coisas, e o que estamos a tentar encontrar são os valores de 𝑥 para os quais isto é menor ou igual a zero. Então, estamos a olhar para este gráfico em específico onde 𝑦 é menor ou igual a zero.

Bem, 𝑦 igual a zero aqui e 𝑦 igual a zero aqui, então menos dois e menos cinco são os valores de 𝑥 que geram uma coordenada em 𝑦 de zero. E também estamos à procura da região na qual 𝑦 é menor que zero, que será tudo o que está no meio. Então, isto é tudo até aqui. Portanto, em termos dos valores de 𝑥 que geram estas coordenadas em 𝑦, bem 𝑥 é menos dois, 𝑥 é cinco e tudo o mais. São as coordenadas em 𝑥 válidas. E para as coordenadas em 𝑥 que não estamos interessados, veja bem, pode ver que a coordenada em 𝑦 é maior que zero, portanto não estamos interessados nisto. Portanto, em termos da região em que não estamos interessados, é esta aqui até infinito; e não inclui menos dois, mas é esta região até menos infinito.

Portanto, os valores de 𝑥 que procuramos para gerar que a coordenada em 𝑦 menor ou igual a zero são menos dois menor ou igual a 𝑥 menor ou igual a cinco. E está na forma de inequação. Na forma do intervalo, o final do intervalo que estamos à procura de menos dois e cinco e ambos estão incluídos. Então, precisamos de colocar os parêntesis retos à volta deles. E isto está na forma de intervalo. E utilizando a notação de conjunto, podemos dizer que obtivemos o conjunto dos 𝑥 tais que 𝑥 é real onde menos dois é menor ou igual a 𝑥 que é menor ou igual a cinco.

Então, o processo pelo qual passámos aqui foi, em primeiro lugar, criámos uma equação para 𝑦 igual a alguma combinação de 𝑥, alguma função de 𝑥, e depois trabalhámos onde esta gerava um valor de zero. E depois estávamos a tentar pensar, ok, estávamos à procura da função que é menor ou igual a zero neste caso, ou pode ser igual a zero ou maior que zero nos outros casos. Então, estávamos a fazer estas comparações. Agora, a parte que é realmente importante e sobre a qual eu falava no início é em termos do seu trabalho é fazer este esboço. Se fizer o esboço, fica claro se está à procura dos pontos acima do eixo O𝑥 ou dos pontos abaixo do eixo O𝑥. Se não o fizer, muitas pessoas passam por estas questões e descobrem estes valores críticos de 𝑥, mas depois adivinham se estamos entre os valores de 𝑥 ou fora dos valores de 𝑥. Portanto, este esboço final aqui é realmente útil para esclarecer a sua mente, quer esteja à procura dos pontos para coordenadas em 𝑦 acima da reta ou abaixo desta reta, o eixo O𝑥.

Ok, no nosso último exemplo, então, vamos determinar os valores de 𝑥 que satisfazem menos 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menor que menos doze. Agora, vou reorganizar esse problema. Ora, na verdade, resolveremos um problema equivalente com as mesmas respostas, mas será um pouco mais fácil de o fazer. Não gosto de trabalhar com estes menos 𝑥 ao quadrados e não quero que tenha algumas coisas num membro da inequação e outras noutro. É muito mais fácil ter uma igualdade — uma inequação em comparada a zero, para que possamos olhar acima e abaixo do eixo O𝑥. Então, o que vou fazer é adicionar 𝑥 ao quadrado aos dois membros e adicionar 𝑥 aos dois membros desta inequação. Então, tenho algo maior que zero.

E, primeiro, vamos adicionar 𝑥 ao quadrado aos dois membros. E no primeiro membro, se eu tivesse 𝑥 ao quadrado, ficaria apenas com menos 𝑥 porque menos 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado é zero. Anulam-se. E a seguir, no segundo membro, tenho 𝑥 quadrado, então mais 𝑥 quadrado menos doze. Poderia dizer menos doze mais 𝑥 ao quadrado, mas acho que é mais fácil escrever desta maneira. Então, agora vamos adicionar 𝑥 a ambos os membros, e isso dá-nos zero menor que 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos doze.

E este é o problema que vamos resolver; zero menor que 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos doze. E gera um conjunto totalmente equivalente de valores de 𝑥 como soluções do problema original. Então, vamos considerar a equação do segundo grau 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos doze. E, efetivamente, o que estamos a tentar fazer é com que este lote aqui seja a nossa coordenada e, 𝑦 e tentemos que dizer quando é que esta coordenada em 𝑦 é maior que zero. Portanto, se isto for 𝑦, lembre-se de que temos o maior que; que está no lado maior do maior que na inequação para zero. Então, estamos a falar de quando 𝑦 é maior que zero. É importante fazer o caminho certo nesta fase.

Então, olhando para esta expressão quadrática, obviamente é um 𝑥 quadrado, então o nosso valor é positivo. Portanto, esta é mais uma daquelas curvas felizes. E o termo constante no final é menos doze, o que significa que interseta o eixo O𝑦 em menos doze. E, em seguida, o gráfico desta quadrática intersetará o eixo O𝑥 quando 𝑦 for igual a zero; definição do eixo O𝑥: a coordenada em 𝑦 é zero. Então é quando 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos doze é igual a zero. Agora, novamente, eu posso fatorizar 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos doze, 𝑥 mais quatro vezes 𝑥 menos três, e agora novamente temos duas coisas multiplicadas que nos dão zero. A única maneira de obter uma resposta de zero ao multiplicar duas coisas é se uma delas for de facto zero.

Portanto, 𝑥 mais quatro é igual a zero ou 𝑥 menos três deve ser igual a zero. Portanto, quando 𝑦 é zero, quando interseta o eixo O𝑥, deve ser quando 𝑥 é igual a menos quatro ou 𝑥 é igual a três. E agora temos informações suficientes para fazer um esboço. Podemos ver que interseta o eixo O𝑦 em menos doze e interseta o eixo O𝑥 em menos quatro e mais três. E o eixo de simetria, lembre-se de que as quadráticas são sempre estas parábolas simétricas, fica um pouco à esquerda do eixo O𝑦, porque fica a meio do caminho entre os dois pontos em que intersetam o eixo O𝑥; menos quatro está mais longe de zero do que três, então o eixo de simetria fica levemente à esquerda do eixo O𝑦.

Portanto, o gráfico parece-se com isto, um pouco tremido, mas não precisa de ser cem por cento exato. E podemos ver que a coordenada em 𝑦 em cada ponto deste gráfico é igual ao quadrado da coordenada em 𝑥 mais a coordenada 𝑥 menos doze. Portanto, neste problema, procuramos quando a coordenada em 𝑦 neste gráfico é maior que zero, que coordenadas em 𝑥 geram uma coordenada em 𝑦 maior que zero.

Bem, quando 𝑥 é igual a menos quatro, a coordenada em 𝑦 é igual a zero, de modo que não é maior que zero. Portanto, esta não é a região que procuramos. E quando 𝑥 é três, isso gera uma coordenada em 𝑦 igual a zero. Portanto, esta não é a região que procuramos. E entre estes pontos aqui embaixo, podemos ver que a coordenada em 𝑦 é menor que zero, então não é isto. Então, as partes que procuramos estão aqui em cima e para infinito nesta direção, menos infinito. E aqui em cima e para mais infinito nesta direção, é aqui que 𝑦 é maior que zero.

Então, vamos considerar as coordenadas em 𝑥 correspondentes. Dissemos que três não está incluído, porque gera uma coordenada em 𝑦 zero. Mas tudo à direita de três até mais infinito está incluído na nossa região porque gera coordenadas em 𝑦 que estão acima de zero. Menos quatro não está incluído porque é uma coordenada em 𝑦 de zero. Mas tudo à esquerda deste está incluído porque, novamente, as nossas coordenadas em 𝑦 correspondentes serão maiores que zero.

Para a região em que não estamos interessados; lembre-se de que dissemos que todos esses pontos aqui são menores que zero, têm uma coordenada em 𝑦 menor que zero, então é menos quatro não incluído, é três não incluído e tudo entre os dois — ups — tudo entre os dois não incluídos na região que estamos à procura. Então, novamente, a nossa região verde foi dividida em duas. É uma região não contínua. Portanto, em termos de inequações, 𝑥 é menor que menos quatro ou 𝑥 é maior que três. Lembre-se, em menos quatro e três, estamos a gerar coordenadas em 𝑦 iguais a zero. Portanto, não é nesta região que estamos interessados.

Em termos de intervalos, estamos a ir desde menos infinito até menos quatro. E estamos a ir de três a mais infinitos. Então, só precisamos de pensar nos parêntesis retos ou parênteses curvos; bem, os infinitos sempre têm parênteses curvos. E lembre-se, menos quatro não está incluído na região; portanto, utilizamos o parêntesis curvo; e três não está incluído na região, por isso utilizamos o parêntesis curvo. E estamos a olhar para a união destas duas regiões.

Na notação de conjunto, podemos dizer que é o conjunto dos 𝑥 tais que 𝑥 é real onde 𝑥 é menor que menos quatro ou 𝑥 é maior que três. Ou então, podemos dizer, olhe, são todos os valores reais dos quais 𝑥 poderia estar separado nesta região aqui e, portanto, poderíamos excluir isto da nossa resposta. Portanto, outra maneira de escrever é o conjunto de números reais subtrair a região de menos quatro a três. E a região que estamos a excluir inclui menos quatro e inclui três.

Portanto, neste caso, tivemos que reorganizar um pouco o problema para encontrar um problema equivalente, que era relativamente fácil de resolver. Fizemos algumas análises básicas sobre interseções em O𝑥 e O 𝑦, fizemos o gráfico novamente porque realmente nos ajudou a entender as soluções e, em seguida, apresentámos várias maneiras diferentes de dar a sua resposta.

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