Vídeo: Simplificando Expressões Racionais com Expoentes Fracionários

Expresse √9𝑥²/100𝑦⁶𝑧⁴ na sua forma mais simples.

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Transcrição do vídeo

Expresse a raiz quadrada de nove 𝑥 ao quadrado sobre 100 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro em sua forma mais simples.

Para resolver esse problema, vamos dar uma olhada em algumas propriedades de raízes. A primeira propriedade que vamos usar é que raiz de 𝑎 sobre 𝑏 é igual a raiz de 𝑎 sobre raiz de 𝑏. Eu vou usar isso para expressar a raiz quadrada em nossa pergunta de uma forma diferente. Agora você pode ver que na verdade expressamos nossa raiz quadrada como raiz nove 𝑥 sobre raiz de 100 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro. Vamos dar uma olhada em duas partes.

Eu vou começar com o raiz de nove 𝑥 ao quadrado. Para simplificar a raiz de nove 𝑥 ao quadrado, podemos usar essa propriedade de raiz, que é a raiz de 𝑎 multiplicada pela raiz de 𝑏 igual à raiz de 𝑎𝑏. Assim, podemos expressar a raiz de nove 𝑥 ao quadrado como raiz de nove multiplicada pela raiz de 𝑥 ao quadrado. Agora, isso sugere que você precise usar essa etapa toda vez, mas eu só queria dividi-la em etapas para ver como chegar à resposta final. Isso nos dá a resposta de três 𝑥, obtemos o três porque a raiz quadrada de nove é igual a três. E obtemos o 𝑥 porque a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é igual a 𝑥.

E estritamente, a raiz quadrada significa apenas a raiz positiva. Então, para garantir que este é o caso, você coloca essas linhas verticais em ambos os lados da nossa resposta. E o que essas linhas significam é o módulo ou valor absoluto, o que nos dará apenas o valor positivo.

Podemos agora dar uma olhada no denominador, que é a raiz de 100 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro. Mais uma vez, para nos permitir mostrar como simplificamos isso, na verdade, divido-o em raiz de 100 multiplicado por raiz de 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro. Novamente, eu uso raiz de 𝑎 multiplicado por raiz de 𝑏 é igual a raiz de 𝑎𝑏 para me permitir fazer isso.

Para simplificar ainda mais, vamos apresentar algumas propriedades de expoente. A primeira das quais é a 𝑚ª raiz de 𝑎 é igual a 𝑎 elevado a um sobre 𝑛, que podemos usar para nos dar 10 multiplicado por 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro entre parênteses elevado a um meio. Podemos então usar a segunda propriedade de expoente, que é 𝑎 elevado a 𝑚 entre parênteses elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚𝑛, o que significa que nós multiplicamos os expoentes.

Então isso nos permitirá simplificar ainda mais. Então, vamos ter 10𝑦. E depois temos o 𝑦 elevado a seis multiplicado por um meio, o que dá 𝑦 ao cubo ou 𝑦 elevado a três. E então temos 𝑧 elevado a quatro multiplicado por um meio, o que dá 𝑧 ao quadrado. E, novamente, incluímos nossas linhas verticais em ambos os lados, pois queremos o valor absoluto ou o módulo.

Então, agora, podemos voltar para o lado esquerdo, onde vamos obter uma resposta final, onde podemos dizer que, se expressarmos a raiz quadrada de nove 𝑥 ao quadrado sobre 100 𝑦 elevado a seis 𝑧 elevado a quatro em sua forma mais simples, nós vamos obter o módulo de três 𝑥 sobre 10 𝑦 ao cubo 𝑧 ao quadrado.

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