Vídeo: Utilizando o Teorema da Bissetriz de um Ângulo para Encontrar um Termo Desconhecido

Na figura dada, 𝐴𝐵 = 35, 𝐴𝐶 = 30, e 𝐶𝐷 = 12. Se 𝐵𝐷 = 𝑥 + 10, qual é o valor de 𝑥?

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Na figura dada, 𝐴𝐵 é igual a 35, 𝐴𝐶 é igual a 30 e 𝐶𝐷 é igual a 12. Se 𝐵𝐷 for igual a 𝑥 mais 10, qual é o valor de 𝑥?

Recebemos um diagrama de um triângulo e o comprimento de várias retas dentro desse triângulo. Vamos primeiro marcar essas informações no diagrama. A questão nos pediu para encontrar o valor de 𝑥, que faz parte da expressão de 𝐵𝐷. Vamos pensar em como abordar esse problema.

A reta 𝐴𝐷 é uma bissetriz do ângulo 𝐶𝐴𝐵. Podemos ver isso porque as duas partes do ângulo foram marcadas com um único arco azul, indicando que são iguais. Portanto, precisamos abordar esse problema usando fatos sobre bissetrizes angulares. A bissetriz do ângulo divide o lado oposto do triângulo 𝐶𝐵 em duas partes, 𝐶𝐷 e 𝐷𝐵.

A relação entre os comprimentos dessas duas partes é a mesma que a razão dos comprimentos dos outros dois lados do triângulo. Ou, em outras palavras, para este triângulo, a razão que obtemos quando dividimos por 𝐵𝐷 por 𝐶𝐷 é a mesma que obtemos quando dividimos 𝐴𝐵 por 𝐴𝐶. Neste caso, isto é o lado rosa dividido pelo lado verde.

Podemos substituir os valores ou, no caso de 𝐵𝐷, a expressão para cada um desses lados para dar uma equação que podemos resolver para encontrar o valor de 𝑥. 𝐵𝐷 sobre 𝐶𝐷 é o mesmo que 𝑥 mais 10 sobre 12. 𝐴𝐵 sobre 𝐴𝐶 é o mesmo que 35 sobre 30. Esta fração pode ser simplificada dividindo-se o numerador e o denominador por cinco que dá a fração simplificada de sete sobre seis.

Agora vamos pensar em como resolver essa equação. Temos um 12 no denominador de uma fração e um seis no denominador da outra. Multiplicar ambos os lados da equação por 12 eliminará esses dois denominadores. Os 12 que agora aparecem no numerador no lado direito cancelarão com os seis no denominador para dar um fator geral de dois.

Então ficamos com 𝑥 mais 10 é igual a sete multiplicado por dois, que é 14. O passo final na solução dessa equação é que precisamos subtrair 10 de ambos os lados. Isso dá que 𝑥 é igual a quatro. Então encontramos o valor de 𝑥. Lembre-se, o fato chave que usamos nessa questão é que uma bissetriz de ângulo divide o lado oposto de um triângulo na mesma proporção que a relação que existe entre os outros dois lados do triângulo.

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