Vídeo: Encontrando a Equação da Tangente a uma Curva Definida Implicitamente em um Ponto Dado Utilizando Derivação Implícita

Encontre a equação da tangente à curva 9𝑥³ − 6𝑥² + 6𝑥 − 𝑦² − 𝑦 + 2 = 0 no ponto (0, 1).

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Encontre a equação da tangente à curva nove 𝑥 ao cubo menos seis 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado menos 𝑦 mais dois igual a zero no ponto zero, um.

Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva, o que requer o conhecimento de sua inclinação que encontramos ao derivar a equação dada. E conhecer a inclinação da reta tangente não é suficiente para saber qual é a sua equação. Mas nos foi dado o ponto em que a reta é tangente à curva. E então a reta tangente passa por este ponto. E assim, tendo encontrado a inclinação da reta tangente, podemos usar este ponto para encontrar a equação do coeficiente angular da reta tangente.

Ok, primeiro vamos encontrar a inclinação. Fazemos isso derivando a equação da curva implicitamente em relação a 𝑥. Em outras palavras, derivamos os dois lados da equação em relação a 𝑥. Encontrando as derivadas dos três primeiros termos é simples. Usamos o fato de que a derivada de 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é 𝑎 vezes 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. E assim, temos 27𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais seis.

A derivada de 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑥, no entanto é um pouco mais complicada. Temos que aplicar a regra da cadeia. Agora tomando 𝑓 para ser 𝑦 ao quadrado, obtemos 𝑑 por 𝑑𝑦 de 𝑦 ao quadrado vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 e 𝑑 por 𝑑𝑦 de 𝑦 ao quadrado é dois 𝑦. Então, colocando tudo junto, temos dois 𝑦 vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. A derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é muito mais fácil. É só 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. E a derivada de dois em relação a 𝑥 é zero, assim como a derivada de zero em relação a 𝑥.

Agora, temos uma equação envolvendo 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. Podemos rearranjá-la para isolar 𝑑𝑦 ​​por 𝑑𝑥. Fazemos isso tirando o fator comum de 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 dos dois termos que o contêm, lembrando-nos aqui de ser um pouco cuidadosos com os sinais de menos. Agora, queremos subtrair os outros termos para obtê-los do outro lado. E finalmente, nós dividimos por menos dois 𝑦 mais um. E temos 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 em termos de 𝑥 e 𝑦.

Estamos procurando a equação da tangente no ponto zero, um. Portanto, o valor de 𝑥 é zero e o valor de 𝑦 é um. E substituindo, obtemos o seguinte. Simplificando, temos menos seis sobre menos três, que é dois. Então a inclinação da nossa reta tangente é dois. Tendo encontrado a inclinação da tangente, nós a usamos e o fato de que a tangente passa pelo ponto zero, um para encontrar a equação da tangente.

Aqui está a equação geral da reta, que passa pelo ponto 𝑥 zero, 𝑦 zero e tem inclinação 𝑚. Substituindo nossos valores, obtemos que 𝑦 menos um é igual a duas vezes 𝑥 menos zero. Assim, 𝑦 menos um é igual a dois 𝑥 ou rearranjando-se ligeiramente, 𝑦 menos dois 𝑥 menos um é igual a zero.

Como de costume, encontramos a equação da reta tangente à curva derivando primeiro a equação da curva para encontrar a inclinação da tangente. E então, usamos esse valor da inclinação junto com o ponto de contato da curva com a tangente na equação do coeficiente angular de uma reta.

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