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Nesta aula, aprenderemos como utilizar a integração para determinar o volume de um
sólido com uma secção transversal variável. Utilizaremos o chamado método das fatias e começaremos por nos lembrar de algumas das
ideias que precisaremos de utilizar. Discutiremos como e em que circunstâncias o método é utilizado. E a seguir, veremos alguns exemplos.
Sabemos que a área é uma medida do espaço coberto por uma forma ou região
bidimensional. Por exemplo, para um retângulo com lados de comprimentos 𝑎 e 𝑏, a área é 𝑎 vezes
𝑏. Para um círculo com raio 𝑟, a área é 𝜋𝑟 ao quadrado. E para um trapézio com lados de comprimentos 𝑎 e 𝑏 e altura ℎ, a área é ℎ sobre
dois vezes 𝑎 mais 𝑏. E lembre-se de que a área é medida em unidades quadradas.
O volume é uma medida que utilizamos para a quantidade de espaço tridimensional
ocupado por um sólido. Por exemplo, para um paralelepípedo com lados 𝑎, 𝑏 e ℎ, o volume é 𝑎 vezes 𝑏
vezes ℎ. Para uma esfera com raio 𝑟, o volume é quatro sobre três 𝜋𝑟 ao cubo. E para um cilindro com raio 𝑟 e altura ℎ, o volume é 𝜋𝑟 ao quadrado vezes ℎ. E lembre-se de que o volume é medido em unidades cúbicas.
Também sabemos que se tivermos duas curvas 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥, e queremos determinar
a área entre as duas curvas para valores de 𝑥 entre 𝑎 e 𝑏, então a área é o
integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Vamos estender esta ideia e utilizar integrais definidos para determinar volumes de
sólidos tridimensionais.
Fazemos isto dividindo o sólido num número infinito de secções transversais,
utilizando a integração para somar as áreas das secções transversais ou fatias. Portanto, para o volume de uma forma tridimensional, o volume é igual a um integral
definido da área das secções transversais em ordem a 𝑥. Antes de começarmos a integrar, no entanto, vamos dar uma olhadela em como isto pode
funcionar geometricamente.
Aqui, temos um cilindro com extremidades semicirculares paralelas entre si e
perpendiculares aos lados. Os lados são de comprimento ℎ. Se fizermos uma secção transversal em qualquer lugar ao longo de ℎ, a área de cada
secção transversal será a mesma. O volume é igual à área da secção transversal vezes o comprimento ℎ. Isto funciona bem se a área da secção transversal for constante, por isso temos uma
fórmula para a área. Mas se a área das secções transversais do nosso sólido não for constante, podemos
utilizar o método das fatias e um integral definido para calcular o volume. Vamos ver como isto funciona.
Suponha que temos uma circunferência definido por 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado
igual a 𝑟 ao quadrado com o centro na origem. O círculo deve ser a base do nosso sólido. Agora, suponha que as secções transversais sejam triângulos equilaterais com uma
aresta em cima da superfície do círculo. As secções transversais são perpendiculares ao eixo O𝑥. Para determinar o volume do sólido gerado por estes triângulos, onde a base é o
círculo, seja 𝐴 de 𝑥 a área do triângulo que interseta o eixo O𝑥 no ponto 𝑥. Então, ou seja, o valor de 𝑥 muda, assim como a área do triângulo.
Se dividirmos o nosso sólido em fatias transversais, onde cada fatia tem uma largura
de Δ𝑥, se identificarmos a nossa fatia 𝑆 𝑖, o volume dessa fatia é
aproximadamente igual à área da secção transversal em 𝑥 que é igual a 𝑥 𝑖 estrela
vezes Δ𝑥. Onde 𝑥 𝑖 estrela é um ponto amostra entre 𝑥 𝑖 menos um e 𝑥 𝑖. Uma estimativa para o volume total de um sólido é, portanto, a soma dos volumes
destas 𝑛 fatias transversais. Esta é apenas uma estimativa, é claro. E, à medida que o número de fatias transversais 𝑛 aumenta, e Δ𝑥 diminui, as fatias
ficam cada vez mais finas.
Definimos o volume de todo o sólido, portanto, como o limite desta soma quando 𝑛
tende para infinito. E reconhecemos isto como o limite da soma de Riemann, que é um integral definido. Agora, podemos definir o volume de um sólido 𝑆 entre 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual 𝑏 com
a área de secção transversal 𝐴 de 𝑥 perpendicular ao eixo O𝑥 onde 𝐴 é contínua
no integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 em ordem a 𝑥.
É importante lembrar que este é o volume de um sólido em que a área da secção
transversal é perpendicular ao eixo O𝑥. Se as secções transversais fossem perpendiculares ao eixo O𝑦, os nossos limites
mudariam para valores 𝑦 e as nossas áreas seriam as nossas funções de 𝑦, de modo
que o próprio integral seria em ordem a 𝑦. Antes de começar um exemplo, vamos registar a nossa estratégia.
Ao determinar volumes de sólidos por fatias, a primeira coisa a fazer é determinar a
base do sólido. Em seguida, determinamos a forma das secções transversais e tentamos esboçar uma
imagem do que temos. Precisamos, então, de determinar uma fórmula para a área da secção transversal. E lembre-se, se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑥, a área será uma
função de 𝑥. Se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑦, a área será uma função de
𝑦. Da mesma forma, se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑧, a área será
uma função de 𝑧. Então, para o volume do sólido, integramos a área da secção transversal num intervalo
adequado. O intervalo de integração será definido pela base do sólido. Agora, vamos ver um exemplo.
Utilize o método das fatias para determinar o volume do sólido cuja base é a região
dentro do círculo 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a dois centrado na
origem, se as secções transversais forem triângulos equilaterais perpendiculares ao
eixo O𝑥.
Somos solicitados determinar o volume de um sólido cuja base é a região dentro do
círculo 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a dois centrado na origem em que as
secções transversais são triângulos equilaterais perpendiculares ao eixo O𝑥. Vamos primeiro esboçar a nossa base e as nossas secções transversais. A nossa base é o círculo 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a dois. Isso significa que o raio 𝑟 ao quadrado é igual a dois, o que significa que o raio
𝑟 é igual a mais ou menos a raiz quadrada de dois.
As nossas secções transversais são triângulos equilaterais perpendiculares ao eixo
O𝑥. O pico do nosso sólido será traçado pelos vértices destes triângulos. Lembre-se, queremos calcular o volume do sólido. E este é igual ao integral definido das áreas das secções transversais entre os
limites definidos pelos limites da base. A nossa primeira tarefa é calcular a área dos triângulos.
Lembre-se de que a área de um triângulo é metade da base vezes a altura. No nosso caso, a base é dois 𝑦, pois é dividida ao meio pelo eixo O𝑥. E como este é um triângulo equilátero, cada lado tem de comprimento dois 𝑦. Agora, lembre-se de que, como as secções transversais são perpendiculares ao eixo
O𝑥, precisamos de determinar a área em função de 𝑥. Para fazer isso, primeiro determinaremos a altura ℎ em termos de 𝑦. E utilizando a equação para a nossa base, podemos determinar a área em função de
𝑥.
Para determinar a altura ℎ, vamos utilizar o teorema de Pitágoras. Este diz que, para um triângulo retângulo com os lados 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎 ao quadrado
mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. No nosso caso, isso significa que ℎ ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a dois 𝑦
tudo ao quadrado. Isto é igual a quatro 𝑦 ao quadrado. Então, ℎ ao quadrado é quatro 𝑦 ao quadrado menos 𝑦 ao quadrado, que é três 𝑦 ao
quadrado, o que nos dá que ℎ, já que é um comprimento, é a raiz quadrada positiva de
três vezes 𝑦.
Agora, utilizando a nossa fórmula para a área de um triângulo, temos a área do nosso
triângulo de secção transversal igual a um meio vezes dois 𝑦 vezes a raiz quadrada
de três vezes 𝑦. Anulando o nosso dois, isto dá-nos a área igual à raiz quadrada de três vezes 𝑦 ao
quadrado. Agora, a partir da equação do nosso círculo, temos 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado
igual a dois. Isso significa que 𝑦 ao quadrado é dois menos 𝑥 ao quadrado. Portanto, se substituirmos isto na nossa área, obtemos áreas de função de 𝑥 pelo que
a nossa área seja a raiz quadrada de três vezes dois menos 𝑥 ao quadrado.
Lembre-se de que o volume é o integral da área onde os limites estão definidos pelos
limites da nossa base. No nosso caso, os limites são menos raiz de dois para a raiz de dois. Portanto, o nosso volume é o integral entre menos raiz de dois e raiz de dois da raiz
quadrada de três vezes dois menos 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥. Como a raiz de três é uma constante, podemos levá-la para fora. Portanto, o nosso integral fica a raiz de três vezes o integral entre menos raiz de
dois e raiz dois de dois menos 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥.
Também podemos utilizar a simetria do círculo para tornar isto um pouco mais
fácil. Pela simetria do círculo, podemos alterar o limite inferior para zero e multiplicar o
integral por dois. Portanto, agora temos o volume igual a dois vezes a raiz quadrada de três vezes o
integral entre zero e a raiz quadrada de dois vezes dois menos 𝑥 ao quadrado em
ordem a 𝑥. O integral de dois em ordem a 𝑥 é dois 𝑥 calculado entre zero e a raiz quadrada de
dois. E o integral de 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥 é um sobre três 𝑥 ao cubo calculado
entre os limites zero e a raiz de dois.
O nosso volume é, portanto, duas vezes a raiz quadrada de três vezes dois 𝑥 menos 𝑥
ao cubo sobre três calculado entre zero e raiz de dois. Isto dá-nos dois vezes a raiz quadrada de três vezes dois raiz de dois menos raiz
dois ao cubo sobre três menos zero menos zero. Calculado isto, obtemos oito vezes a raiz quadrada de seis sobre três.
O volume do sólido cuja base é a região dentro do círculo 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao
quadrado é dois centrado na origem em que as secções transversais são triângulos
equilaterais perpendiculares ao eixo O𝑥 é oito vezes a raiz de seis sobre três
unidades cúbicas. Determinámos este volume determinando as áreas dos triângulos transversais em termos
de 𝑥. Em seguida, integrámos esta área num intervalo definido pela base.
Vamos tentar isto num exemplo diferente.
Utilize o método das fatias para determinar o volume do sólido cuja base é a região
sob a parábola 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado no primeiro quadrante e cujas
fatias da secção transversal são quadrados perpendiculares ao eixo O𝑥 com uma
aresta na plano O𝑥𝑦.
Queremos determinar o volume de um sólido cuja base é a região sob a parábola 𝑦
igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado. Estamos a olhar para o primeiro quadrante. E onde o sólido possui fatias de secção transversal que são quadrados perpendiculares
ao eixo O𝑥 com uma aresta no plano O𝑥𝑦. A primeira coisa que podemos fazer é desenhar a nossa parábola 𝑦 igual a quatro
menos 𝑥 ao quadrado. E 𝑦 igual a zero, na nossa equação, dá-nos 𝑥 ao quadrado igual a quatro. Assim, a nossa parábola interseta o eixo O𝑥 em 𝑥 igual a dois e menos dois. Quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é igual a quatro. Assim, a nossa parábola interseta o eixo O𝑦 em 𝑦 igual a quatro.
A base do nosso sólido é a região sob a parábola no primeiro quadrante. As secções transversais do nosso sólido são quadrados perpendiculares ao eixo O𝑥 com
uma aresta no plano O𝑥𝑦. Para determinar o nosso volume, integramos as áreas da secção transversal em que os
limites de integração são definidos pela nossa parábola, o limite inferior é zero e
o limite superior é dois.
Sabemos que a área de um quadrado com comprimento lateral 𝑎 é igual a 𝑎 ao
quadrado. No nosso caso, o comprimento dos lados de cada quadrado é 𝑦. E o valor de 𝑦 depende de onde o quadrado encontra o eixo O𝑥. A área de cada quadrado é, portanto, 𝑦 ao quadrado. E como 𝑦 é igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado, temos a área da secção transversal
igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado tudo ao quadrado. Portanto, temos a área da secção transversal em função de 𝑥. O nosso volume é, então, o integral entre zero e dois de quatro menos 𝑥 ao quadrado
tudo ao quadrado em ordem a 𝑥.
Para tornar o integral um pouco mais fácil, podemos desembaraçar os parêntesis. Isto dá-nos o integral entre zero e dois de 16 menos oito 𝑥 ao quadrado mais 𝑥
elevado a quatro em ordem a 𝑥. O integral de 16 em ordem a 𝑥 entre zero e dois é 16𝑥 entre zero e dois. O integral de menos oito 𝑥 ao quadrado em ordem ao 𝑥 é menos oito vezes 𝑥 elevado
a três dividido por três entre zero e dois. E o integral de 𝑥 elevado a quatro é 𝑥 elevado a cinco dividido por cinco calculado
entre zero e dois.
Calculando isto, temos 16 vezes dois menos oito vezes oito sobre três mais dois
elevado a cinco sobre cinco menos zero. Calculando isto, obtemos 256 dividido por 15. O volume do sólido cuja base é a região sob a parábola 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao
quadrado no primeiro quadrante em que as fatias da secção transversal são quadrados
perpendiculares ao eixo O𝑥 com uma aresta no plano O𝑥𝑦 é igual a 256 dividido por
15 unidades cúbicas.
Neste exemplo, as nossas fatias eram quadrados perpendiculares ao eixo O𝑥 com uma
aresta no plano O𝑥𝑦. Vejamos mais um exemplo em que, neste caso, as secções transversais são
perpendiculares ao eixo O𝑦.
Utilize o método das fatias para determinar o volume do sólido cuja base é a região
sob a parábola 𝑦 igual a nove menos 𝑥 ao quadrado e acima do eixo O𝑥 e onde as
fatias perpendiculares ao eixo O𝑦 são quadrados.
Somos solicitados determinar o volume de um sólido cuja base é definida pela parábola
𝑦 igual a nove menos 𝑥 ao quadrado e acima do eixo O𝑥. As fatias do sólido são perpendiculares ao eixo O𝑦 e são quadrados. Vamos primeiro desenhar a região da base do nosso sólido. A nossa parábola é 𝑦 igual a nove menos 𝑥 ao quadrado, de modo que quando 𝑦 é
igual a zero, 𝑥 ao quadrado é igual a nove, de modo que 𝑥 é igual a mais ou menos
três. Quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é igual a nove. E é aqui que a nossa função interseta o eixo O𝑦.
A região sob esta curva e acima do eixo O𝑥 forma a base do nosso sólido. As nossas secções transversais são quadrados. E estes são perpendiculares ao eixo O𝑦. O comprimento dos lados de cada quadrado é de dois 𝑥. E o valor de 𝑥 depende de onde o quadrado interseta o eixo O𝑦. A área de um quadrado da secção transversal é, portanto, dois 𝑥 vezes dois 𝑥, que é
quatro vezes 𝑥 ao quadrado. O volume do nosso sólido, no entanto, é um integral ao longo do eixo O𝑦 entre 𝑦
igual a zero e nove da área dos quadrados da secção transversal em função de 𝑦. Portanto, precisamos de converter a nossa área numa função de 𝑦.
Sabemos que 𝑦 é igual a nove menos 𝑥 ao quadrado, o que nos dá 𝑥 ao quadrado igual
a nove menos 𝑦. A nossa área em função de 𝑥 é quatro 𝑥 ao quadrado que é quatro 𝑥 ao quadrado
igual a nove menos 𝑦 vezes quatro. Por outras palavras, quatro 𝑥 ao quadrado é igual a quatro vezes nove menos 𝑦, de
modo que a nossa área, de facto, é quatro vezes nove menos 𝑦. E agora podemos calcular o nosso volume, que é o integral entre zero e nove de quatro
vezes nove menos 𝑦 em ordem a 𝑦.
Podemos levar o quatro para fora, pois este é uma constante. Sabemos que o integral de nove em ordem a 𝑦 é nove vezes 𝑦. E sabemos que o integral de menos 𝑦 em ordem a 𝑦 é menos 𝑦 ao quadrado sobre
dois. Então, o nosso volume é quatro vezes nove 𝑦 menos 𝑦 ao quadrado sobre dois
calculado entre zero e nove. Isto é quatro vezes nove vezes nove menos nove ao quadrado sobre dois menos zero. Isto dá-nos quatro vezes 81 menos 40.5, o que é 162. O volume do sólido cuja base é a região sob a parábola 𝑦 nove menos 𝑥 ao quadrado e
acima do eixo O𝑥 onde as fatias são perpendiculares ao eixo O𝑦 e são quadrados é,
portanto, 162 unidades cúbicas.
Agora, vamos lembrar-nos dos pontos-chave para determinar o volume de um sólido pelo
método das fatias. A primeira coisa que precisamos de fazer é determinar a base do nosso sólido. Em seguida, determinamos a forma da secção transversal do sólido e, em seguida,
esboçamos a secção transversal e a base. Em seguida, determinamos uma fórmula para a área da nossa secção transversal. Se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑥, esta será uma função de
𝑥. Se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑦, a área será uma função de
𝑦. E se a secção transversal for perpendicular ao eixo O𝑧, a área será uma função de
𝑧.
Para determinar o nosso volume, integramos a área da secção transversal num intervalo
definido pela região base. Se as nossas secções transversais são perpendiculares ao eixo O𝑥, então o nosso
volume é igual ao integral entre 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏 da área, que é uma
função de 𝑥 em ordem a 𝑥. Se as secções transversais são perpendiculares ao eixo O𝑦, então os nossos limites
mudam para valores de 𝑦, a nossa área é uma função de 𝑦 e integramos em ordem a
𝑦. Se as nossas secções transversais são perpendiculares ao eixo O𝑧, então os nossos
limites tornam-se valores de 𝑧, a nossa área de função é uma função de 𝑧 e
integramos em ordem a 𝑧. Portanto, a chave para determinar o volume é determinar a base do sólido, a forma da
secção transversal e a localização dessa seção em ordem aos eixos.
