Vídeo: Definições de Limites, Regra de L’Hopital e Delta Epsilon

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Definições de Limites, Regra de L’Hopital e Delta Epsilon

17:33

Transcrição do vídeo

Os últimos vídeos foram sobre a ideia de uma derivada. E antes de passar para integrais, quero levar algum tempo para falar sobre limites. Para ser honesto, a ideia de limite não é algo realmente novo. Se você sabe o que significa a palavra aproximação, já sabe o que é um limite. Você poderia dizer que é uma questão de atribuir notação sofisticada à ideia intuitiva de um valor que se aproxima de outro.

Mas existem alguns motivos para dedicar um vídeo completo a esse tópico. Por um lado, vale a pena mostrar como o modo como descrevi derivadas até agora se alinha com a definição formal de derivada, como é normalmente apresentado na maioria dos cursos e livros didáticos. Quero lhe dar um pouco de confiança de que pensar em termos de d𝑥 e d𝑓 como alterações concretas que não sejam zero não é apenas um truque para criar intuição. Na verdade, ela é apoiada pela definição formal de derivada em todo o seu rigor. Também quero esclarecer o que exatamente os matemáticos querem dizer quando dizem aproximação em termos de algo chamado definição de limites épsilon-delta. Em seguida, terminaremos com um truque inteligente para calcular os limites, chamado regra de L’Hôpital.

Então, para começar, vamos dar uma olhada na definição formal da derivada. Como lembrete, quando você tem alguma função 𝑓 de 𝑥, para pensar sobre sua derivada em uma entrada específica, talvez 𝑥 seja igual a dois. Você começa imaginando alterar essa entrada um pequeno d𝑥 de distância e observando a alteração resultante na saída, d𝑓. A razão d𝑓 dividida por d𝑥, que pode ser bem pensada como a inclinação entre o ponto inicial no gráfico e o ponto alterado, é quase o que é a derivada. A derivada real é o que quer que essa relação se aproxime, quando d𝑥 se aproxima de zero. E apenas para explicar um pouco o que significa lá. Esse deslocamento para a saída, d𝑓, é a diferença entre 𝑓 na entrada inicial mais d𝑥 e 𝑓 na entrada inicial, a alteração na saída causada por d𝑥.

Para expressar que você deseja encontrar, o que essa relação se aproxima quando d𝑥 se aproxima de zero, escreva lim, para limite, e d𝑥 com uma seta e zero abaixo dele. Agora, você quase nunca verá termos com um d minúsculo, como d𝑥, dentro de uma expressão de limite como esta. Em vez disso, o padrão é usar uma variável diferente, algo como Δ𝑥 ou comumente ℎ por qualquer motivo. A maneira como gosto de pensar é que termos com esse d minúsculo na expressão derivada típica incorporaram a eles essa ideia de limite. A ideia de que d𝑥 deve eventualmente chegar a zero. Então, de certa forma, esse lado esquerdo aqui, d𝑓 sobre d𝑥, a razão em que pensamos nos últimos vídeos, é apenas uma abreviação para o que o lado direito aqui descreve com mais detalhes. Escrever exatamente o que queremos dizer com d𝑓 e escrever explicitamente esse processo de limite. E esse lado direito aqui é a definição formal de uma derivada, como seria comum em qualquer livro de cálculo.

E se você me perdoar por um pequeno discurso aqui, quero enfatizar que nada neste lado direito faz referência à ideia paradoxal de uma mudança infinitamente pequena. O ponto dos limites é evitar isso. Esse valor ℎ é exatamente o mesmo que d𝑥 que eu referenciei ao longo da série. É uma alteração na entrada de 𝑓 com um tamanho pequeno finito e diferente de zero, como 0.001. Só estamos analisando o que acontece para escolhas arbitrariamente pequenas de ℎ. De fato, a única razão pela qual as pessoas que introduzem um novo nome de variável nessa definição formal — em vez de, você sabe, usar d𝑥 — é extremamente claro que essas alterações na entrada são apenas números comuns que não têm nada a ver com valores infinitesimais. Porque o fato é que existem outros que gostam de interpretar esse d𝑥 como uma mudança infinitamente pequena, o que quer que isso signifique. Ou apenas dizer que d𝑥 e d𝑓 nada mais são do que símbolos que não devemos levar muito a sério.

Mas agora, na série, você sabe que não sou realmente fã de nenhuma dessas visões. Acho que você pode e deve interpretar d𝑥 como uma alteração concreta e finitamente pequena, desde que se lembre de perguntar o que acontece quando essa coisa se aproxima de zero. Por um lado, e espero que os últimos vídeos tenham ajudado a convencê-lo disso, que ajuda a criar uma intuição mais forte sobre a origem das regras do cálculo. Mas não é apenas um truque para criar intuições. Tudo o que venho dizendo sobre derivadas com essa filosofia concreta de alterações finitamente pequenas é apenas uma tradução dessa definição formal que estamos observando agora. Para encurtar a história, a grande discussão sobre os limites é que eles nos permitem evitar falar de mudanças infinitamente pequenas. Ao invés disso, perguntam o que acontece quando o tamanho de uma pequena alteração em nossa variável se aproxima de zero.

E isso nos leva à meta número dois, entender exatamente o que significa para um valor se aproximar de outro. Por exemplo, considere a função dois mais ℎ ao cubo menos dois ao cubo, todos divididos por ℎ. Essa é a expressão que aparece quando você desdobra a definição de uma derivada de 𝑥 ao cubo calculada em 𝑥 igual a dois. Mas vamos pensar nisso como qualquer função com uma entrada ℎ. Seu gráfico é essa agradável parábola de aparência contínua. O que faria sentido porque é um termo cúbico dividido por um termo linear. Mas, na verdade, se você pensar sobre o que está acontecendo em ℎ é igual a zero, substituindo-o, você receberá zero dividido por zero, o que não está definido. Realmente, este gráfico tem um buraco nesse ponto. e você tem que exagerar para desenhar esse buraco, geralmente com um pequeno círculo vazio como esse.

Mas lembre-se, a função está perfeitamente bem definida para entradas tão próximas de zero quanto você desejar. E você não concorda que quando ℎ se aproxima de zero, a saída correspondente, a altura deste gráfico, aproxima-se de 12? E não importa de que lado isso vem. Esse limite dessa razão quando ℎ se aproxima de zero é igual a 12. Mas imagine que você é um matemático que está inventando o cálculo e alguém lhe pergunta com ceticismo: “Bem, o que exatamente você quer dizer com aproximação?” Essa seria uma pergunta irritante. Quero dizer, vamos lá, todos sabemos o que significa um valor se aproximar de outro. Mas vamos começar a pensar em maneiras pelas quais você pode responder a essa pessoa de maneira totalmente sem ambiguidade.

Para um determinado intervalo de entradas a alguma distância de zero, excluindo o próprio ponto proibido zero. Observe todas as saídas correspondentes, todas as alturas possíveis do gráfico acima desse intervalo. À medida que a faixa de valores de entrada se fecha cada vez mais firmemente em torno de zero. Esse intervalo de valores de saída se aproxima cada vez mais de cerca de 12. E, o mais importante, o tamanho desse intervalo de valores de saída pode ser tão pequeno quanto você desejar. Como um contraexemplo, considere uma função que se parece com isso. O que também não é definida em zero, mas meio que salta nesse ponto. Quando você aproxima ℎ é igual a zero pela direita, a função se aproxima do valor dois. Mas quando você se aproxima pela esquerda, ele se aproxima de um. Como não há um único valor claro e inequívoco que essa função se aproxime como ℎ se aproxima de zero. O limite simplesmente não está definido nesse ponto.

Uma maneira de pensar nisso é que, quando você olha para qualquer faixa de entradas em torno de zero e considera a faixa correspondente de saídas. À medida que você reduz esse intervalo de entrada, as saídas correspondentes não diminuem em nenhum valor específico. Em vez disso, essas saídas abrangem um intervalo que nunca encolhe menor que um. Mesmo quando você faz esse intervalo de entrada tão pequeno quanto você pode imaginar. E essa perspectiva de diminuir um intervalo de entrada em torno do ponto limite. E ver se você está restrito ou não e quanto isso reduz o intervalo de saída. Leva a algo chamado definição épsilon-delta de limites.

Agora, devo dizer, você poderia argumentar que isso é desnecessariamente pesado para uma introdução ao cálculo. Como eu disse, se você sabe o que significa a palavra aproximação, já sabe o que significa um limite. Não há nada novo no nível conceitual aqui. Mas esse é um vislumbre interessante do campo da análise real. E fornece um gostinho de como os matemáticos tornam as ideias intuitivas de cálculo um pouco mais herméticas e rigorosas. Você já viu a ideia principal aqui. Quando existe um limite, você pode fazer esse intervalo de saída tão pequeno quanto desejar. Mas quando o limite não existe, esse intervalo de saída não pode ser menor que um valor específico. Não importa o quanto você reduza a faixa de entrada em torno da entrada do limite.

Vamos exprimir a mesma ideia, mas um pouco mais precisamente. Talvez no contexto deste exemplo, onde o valor limite é 12. Pense em qualquer distância de 12, onde, por algum motivo, é comum usar a letra grega 𝜀 para indicar essa distância. E a intenção aqui é que essa distância, 𝜀, seja a menor que você quiser. O que significa que o limite existe é que você sempre poderá encontrar uma variedade de entradas em torno de nosso ponto limite a alguma distância 𝛿 em torno de zero. Portanto, qualquer entrada dentro de 𝛿 de zero corresponde a uma saída dentro de uma distância 𝜀 de 12.

E o ponto principal aqui é que isso é verdade para qualquer 𝜀, por menor que seja. Você sempre poderá encontrar o 𝛿 correspondente. Por outro lado, quando um limite não existe, como neste exemplo aqui. Você pode encontrar um 𝜀 suficientemente pequeno, como 0,4. Portanto, não importa quão pequeno você faça seu intervalo em torno de zero, não importa quão pequeno seja 𝛿. A faixa correspondente de saídas é sempre muito grande. Não há saída de limite onde tudo está a uma distância 𝜀 dessa saída.

Até agora, tudo isso é bastante teórico, você não acha? Limites sendo usados ​​para definir formalmente a derivada e, em seguida, 𝜀s e 𝛿s são usados ​​para definir rigorosamente o próprio limite. Então, vamos terminar as coisas aqui com um truque para realmente calcular os limites. Por exemplo, digamos que, por algum motivo, você estava estudando a função sen de 𝜋 vezes 𝑥 dividido por 𝑥 ao quadrado menos um. Talvez isso estivesse modelando algum tipo de oscilação atenuada. Quando você desenha vários pontos para representar graficamente isso, parece bastante contínuo. Mas há um valor problemático em 𝑥 igual a um. Quando você o substitui, o seno de 𝜋 é zero. E o denominador também resulta em zero. Portanto, a função não está realmente definida nessa entrada. E o gráfico deve realmente ter um buraco lá.

Isso também acontece da mesma maneira quando 𝑥 é igual a menos um. Mas vamos focar nossa atenção em um desses buracos por enquanto. O gráfico certamente parece se aproximar de um valor distinto nesse ponto, você não diria? Então, você pode perguntar: como exatamente você encontra qual saída isso se aproxima quando 𝑥 se aproxima de um, já que você não pode simplesmente substituir um. Bem, uma maneira de aproximar seria inserir um número realmente muito próximo a um, como 1.00001. Fazendo isso, você descobrirá que deve haver um número em torno de menos 1.57. Mas existe uma maneira de saber exatamente quanto é? Algum processo sistemático para pegar uma expressão como essa que se parece com zero dividido por zero em alguma entrada e perguntar qual é o seu limite quando 𝑥 se aproxima dessa entrada.

Depois que os limites, de maneira tão útil, nos permitiu escrever a definição de derivadas, as derivadas podem realmente voltar aqui e devolver o favor para nos ajudar a calcular os limites. Deixe-me mostrar o que eu quero dizer. Aqui está como é o gráfico de sen de 𝜋 vezes 𝑥. E aqui está como é o gráfico de 𝑥 ao quadrado menos um. Isso é algo a ter em cima na tela, mas apenas foque no que está acontecendo ao redor de 𝑥 é igual a um. O ponto aqui é que o sen de 𝜋 vezes 𝑥 e 𝑥 ao quadrado menos um são ambos zero nesse ponto. Ambos cruzam o eixo 𝑥. No mesmo espírito de substituir um valor específico próximo a um, como 1.00001. Vamos dar um zoom nesse ponto e considerar o que acontece a apenas uma pequena alteração, d𝑥, longe dele. O valor sen de 𝜋 vezes 𝑥 é reduzido. E o valor dessa alteração, causado pela alteração d𝑥 na entrada, é o que poderíamos chamar dsen de 𝜋𝑥.

E, pelo nosso conhecimento de derivadas, usando a regra da cadeia, isso deve ser em torno de cos de 𝜋 vezes 𝑥 vezes 𝜋 vezes d𝑥. Como o valor inicial foi 𝑥 igual a um, inserimos 𝑥 igual a um nessa expressão. Em outras palavras, a quantidade em que esse gráfico de sen de 𝜋 vezes 𝑥 muda é aproximadamente proporcional a d𝑥. Com uma constante de proporcionalidade igual a cos de 𝜋 vezes 𝜋. E cos de 𝜋, se pensarmos em nosso conhecimento trigonométrico, é exatamente menos um. Então, podemos escrever tudo isso como menos 𝜋 vezes d𝑥.

Da mesma forma, o valor do gráfico de 𝑥 ao quadrado menos um muda de algum quadrado de menos um. E, tomando a derivada, o tamanho dessa alteração deve ser dois 𝑥 vezes d𝑥. Mais uma vez, estamos começando em 𝑥 igual a um, então substituímos 𝑥 igual a uma nessa expressão. Ou seja, o tamanho dessa alteração de saída é cerca de duas vezes um vezes d𝑥. O que isso significa é que, para valores de 𝑥, que são apenas uma pequena alteração, d𝑥, longe de um. A razão, sen de 𝜋𝑥 dividido por 𝑥 ao quadrado menos um, é aproximadamente menos 𝜋 vezes d𝑥 dividido por duas vezes d𝑥. Os d𝑥s aqui são cancelados, então o que resta é menos 𝜋 sobre dois. E, o que é mais importante, é que essas aproximações ficam cada vez mais precisas para escolhas cada vez menores de d𝑥, certo? Portanto, essa razão, menos 𝜋 sobre dois, na verdade nos diz o valor limite preciso quando 𝑥 se aproxima de um.

E lembre-se, o que isso significa é que a altura limite no gráfico original é, evidentemente, exatamente menos 𝜋 sobre dois. Agora, o que aconteceu é um pouco sutil. Então, eu quero passar por isso novamente, mas desta vez um pouco mais generalizado. Em vez dessas duas funções específicas, que são iguais a zero em 𝑥 igual a um. Pense em quaisquer duas funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥, que são ambas zero em algum valor comum, 𝑥 igual a 𝑎. A única restrição é que essas funções precisam ser funções nas quais você pode derivar elas em 𝑥 igual a 𝑎. O que significa que cada uma delas basicamente se parece com uma reta quando você aumenta o zoom perto o suficiente desse valor. Agora, mesmo assim, você não consegue calcular 𝑓 dividido por 𝑔 nesse ponto do problema, pois ambas são iguais a zero. Você pode perguntar sobre essa razão para valores de 𝑥 realmente, muito próximos de 𝑎, o limite conforme 𝑥 se aproxima 𝑎.

E é útil pensar nessas entradas próximas como apenas uma pequena alteração, d𝑥, longe de 𝑎. O valor de 𝑓 nesse ponto alterado é aproximadamente sua derivada, d𝑓 sobre d𝑥, calculada em 𝑎 vezes d𝑥. Da mesma forma, o valor de 𝑔 nesse ponto alterado é aproximadamente a derivada de 𝑔 calculada em 𝑎 vezes d𝑥. Tão perto desse ponto problema, a razão entre as saídas de 𝑓 e 𝑔 é quase a mesma que a derivada de 𝑓 em 𝑎 vezes d𝑥 dividida pela derivada de 𝑔 em 𝑎 vezes d𝑥. Esses d𝑥s são cancelados, então a razão de 𝑓 e 𝑔 próximo de 𝑎 é quase a mesma que a razão entre suas derivadas. Porque cada uma dessas aproximações se torna mais e mais precisa para alterações cada vez menores. Essa razão de derivadas fornece o valor preciso para o limite.

Este é um truque realmente útil para calcular muitos limites. Sempre que você se deparar com alguma expressão que parece igual a zero dividida por zero quando você insere alguma entrada específica. Apenas tente usar a derivada das expressões superior e inferior e inserir a mesma entrada problema. Esse truque inteligente é chamado regra de L’Hôpital. Curiosamente, foi realmente descoberto por Johann Bernoulli. Mas L’Hôpital era um cara rico que pagou a Bernoulli pelos direitos de algumas de suas descobertas matemáticas. A Academia era estranha naquela época. Mas, de uma maneira muito literal, vale a pena entender essas pequenas alterações.

Agora, você deve estar se lembrando de que a definição de uma derivada para uma determinada função se resume a calcular o limite de uma determinada fração que se parece com zero dividido por zero. Então, você pode pensar que a regra de L’Hôpital pode nos dar uma maneira útil de descobrir novas fórmulas derivadas. Mas isso seria realmente trapaça, pois presumivelmente você não sabe qual é a derivada do numerador aqui. Quando se trata de descobrir fórmulas derivadas, algo que estamos fazendo bastante nesta série, não existe um método sistemático de substituir e resolver. Mas isso é uma coisa boa. Sempre que é necessária criatividade para resolver problemas como esses, é um bom sinal de que você está fazendo algo real. Algo que pode lhe dar uma ferramenta poderosa para resolver problemas futuros.

E por falar em ferramentas poderosas, a seguir, falarei sobre o que é uma integral e o teorema fundamental do cálculo. E este é outro exemplo de onde os limites podem ser usados ​​para ajudar a dar um significado claro a uma ideia bastante delicada que flerta com o infinito.

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