Lesson Video: Regra de L'Hôpital

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Regra de L’Hopital.

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar a regra de L'Hopital para calcular os limites de indeterminações zero sobre zero, infinito sobre infinito e menos infinito sobre menos infinito. Veremos alguns exemplos de como podemos utilizar a regra da L'Hopital.

Vamos começar por considerar um limite. E este é o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥. Se quisermos calcular este limite, podemos começar por tentar utilizar a substituição direta. Obtemos zero sobre sen cinco vezes zero. Como cinco vezes o zero é apenas zero, é o mesmo que zero sobre sen de zero. O sen de zero dá zero. Portanto, isto deve ser igual a zero sobre zero, o que é uma indeterminação. Portanto, este limite não pode ser calculado diretamente utilizando a substituição direta.

De facto, qualquer uma das técnicas que conhecemos até agora não pode ser utilizada para calcular este limite. É aqui que entra a regra de L'Hopital. A regra de L'Hopital diz-nos que se o limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a zero sobre zero ou o limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a mais ou menos infinito sobre mais ou menos infinito. Onde 𝑎 pode ser qualquer número real, mais infinito ou menos infinito. Então, o limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥.

Uma coisa a observar com a regra de L´Hopital é que, para que funcione, ambos 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 devem ser diferenciáveis. E também com a nossa condição, quando dizemos que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 pode ser igual a mais ou menos infinito sobre mais ou menos infinito. Deve ser igual a mais infinito sobre mais infinito ou menos infinito sobre menos infinito. A regra não funciona quando o limite é igual a mais infinito sobre menos infinito ou menos infinito sobre mais infinito.

Agora que cobrimos a definição da regra de L'Hopital, vamos aplicá-la ao limite que estamos a tentar determinar. Portanto, este é o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥. E vimos que, utilizando a substituição direta, o nosso limite é igual a zero sobre zero. Portanto, este satisfaz a primeira condição da regra de L'Hopital. Podemos ver que o valor de 𝑎 no nosso limite é zero. Como 𝑎 é um número real, este também satisfaz a segunda condição. Agora podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 é igual a sen de cinco 𝑥. Claramente, ambas as funções, 𝑓 e 𝑔, são diferenciáveis. Portanto, estamos prontos para aplicar a regra de L'Hopital.

Primeiro precisamos de determinar 𝑓 linha de 𝑥 e 𝑔 linha de 𝑥. Derivando 𝑥 em ordem a 𝑥, descobrimos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a um. Para determinar 𝑔 linha de 𝑥, precisamos de derivar sen de cinco 𝑥. Esta é uma função composta. Portanto, devemos utilizar a regra em cadeia. Derivando o interior da função — que é cinco 𝑥 — para obter uma constante de cinco. Em seguida, derivamos o seno para obter cos de cinco 𝑥, dando-nos que 𝑔 linha de 𝑥 é igual a cinco cos de cinco 𝑥.

Aplicando a regra de L'Hopital, podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para zero de um sobre cinco cos de cinco 𝑥. E agora podemos simplesmente utilizar a substituição direta. E vemos que o nosso limite é igual a um vezes cinco vezes cos de cinco vezes zero. Cinco vezes zero é simplesmente zero. E cos de zero é simplesmente um. Portanto, podemos dizer que o nosso limite é igual a um mais de cinco vezes um, que é simplesmente um quinto.

A regra de L'Hopital pode ser muito útil para determinar os limites de funções que parecem que podem não existir. Vamos ver um exemplo.

Determine o limite quando 𝑥 tende para zero de sete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos sete sobre menos 𝑒 elevado a oito 𝑥 mais um.

Começaremos por tentar resolver este limite utilizando a substituição direta. Obtemos sete vezes 𝑒 elevado a cinco vezes zero menos sete sobre menos 𝑒 elevado a oito vezes zero mais um. Como 𝑒 elevado a zero é igual a um, descobrimos que isto é igual a sete menos sete sobre menos um mais um, o que simplifica para zero sobre zero. No entanto, isto é uma indeterminação. Embora obtenhamos que o nosso limite é uma indeterminação utilizando substituição direta, é igual a zero sobre zero. E isso diz-nos que podemos utilizar a regra de L'Hopital.

A regra de L'Hopital diz-nos que, se o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a zero sobre zero, mais infinito sobre mais infinito ou menos infinito sobre menos infinito. Onde 𝑎 é um número real, mais infinito ou menos infinito. Então, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥.

Agora, o nosso limite satisfaz a condição de que o nosso limite seja igual a zero sobre zero. E, como estamos a considerar o limite quando 𝑥 se aproxima de zero, isso significa que o nosso 𝑎 é igual a zero, que é um número real. Portanto, podemos utilizar a regra de L’Hopital. 𝑓 de 𝑥 é o numerador da função na qual estamos a considerar o limite. Então, é sete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos sete. E 𝑔 de 𝑥 é o denominador. Portanto, este é menos 𝑒 elevado a oito 𝑥 mais um.

Agora devemos determinar 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥. Como estaremos a derivar termos exponenciais, podemos utilizar a regra que nos diz que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝑘 vezes 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Vamos derivar 𝑓 de 𝑥 termo a termo. Sete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 é um termo exponencial. Então, utilizaremos a regra que acabámos de apresentar. O nosso valor de 𝑘 é cinco. E percebemos que temos uma constante de sete multiplicando nosso termo exponencial. Portanto, isto deve permanecer dois, dando-nos sete vezes cinco 𝑒 elevado a cinco 𝑥. Então, sete vezes cinco é 35. Portanto, podemos escrever isto como 35𝑒 elevado a cinco 𝑥.

O segundo termo em 𝑓 de 𝑥 é menos sete, o que é simplesmente uma constante. E quando derivamos qualquer constante, simplesmente obtemos zero. Então, descobrimos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 35𝑒 elevado a cinco 𝑥. O primeiro termo em 𝑔 de 𝑥 é menos 𝑒 elevado a oito 𝑥, que é novamente um termo exponencial. Utilizando a nossa regra, obtemos que a derivada deste termo é menos oito 𝑒 elevado a oito 𝑥. O segundo termo em 𝑔 de 𝑥 é um, que é novamente uma constante. E assim isto deriva-se para dar zero.

Agora estamos prontos para aplicar a regra da L'Hopital. Obtemos que o limite quando 𝑥 se aproxima de zero de sete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos sete sobre menos 𝑒 elevado a oito 𝑥 mais um. É igual ao limite quando 𝑥 se aproxima de zero de 35 vezes 𝑒 elevado a cinco 𝑥 sobre oito vezes menos 𝑒 elevado a oito 𝑥. E agora podemos aplicar a substituição direta, dando-nos 35 vezes por 𝑒 elevado a zero sobre menos oito vezes por 𝑒 elevado a zero. Como 𝑒 elevado a zero é igual a um, obtemos uma solução que o nosso limite deve ser igual a menos 35 sobre oito.

A seguir, vejamos um exemplo que satisfaz uma condição diferente da regra de L'Hopital.

Determine o limite quando 𝑥 tende para infinito de dois vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 menos cinco sobre três vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 menos um.

Podemos começar por tentar determinar este limite utilizando a substituição direta. Usaremos o facto de que o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑒 elevado a 𝑥 é igual a mais infinito. A partir disso, obtemos que o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑒 elevado a três 𝑥 também é igual a mais infinito. E isso diz-nos que, quando utilizamos a substituição direta para determinar o nosso limite, descobrimos que é igual a mais infinito sobre mais infinito. E isto é uma indeterminação. Portanto, ainda não determinámos uma solução.

No entanto, o facto de ser igual a mais infinito sobre mais infinito diz-nos que somos capazes de utilizar a regra de L'Hopital. A regra de L'Hopital diz-nos que, se o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a zero sobre zero, mais infinito sobre mais infinito ou menos infinito sobre menos infinito. Onde 𝑎 é um número real, mais infinito ou menos infinito. Então, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥.

Agora o nosso limite é igual a infinito sobre infinito. E estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para mais infinito. Portanto, temos permissão para utilizar a regra de L'Hopital. No nosso caso, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 menos cinco. E 𝑔 de 𝑥 é igual a três vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 menos um.

Determinamos 𝑓 linha e 𝑔 linha derivado 𝑓 e 𝑔. Derivando dois 𝑒 elevado a três 𝑥 menos cinco em ordem a 𝑥, obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 deve ser igual a seis 𝑒 elevado a três 𝑥. E derivando três vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 menos um em ordem a 𝑥, obtemos que 𝑔 linha de 𝑥 deve ser igual a nove 𝑒 elevado a três 𝑥. Obtemos que o nosso limite deve ser igual ao limite quando 𝑥 tende para infinito de seis vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 mais de nove vezes 𝑒 sobre três 𝑥.

Aqui, notamos que temos um fator de três vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 no numerador e no denominador. Como podemos escrever o nosso numerador como dois vezes três 𝑒 elevado a três 𝑥 e nosso denominador como três vezes três 𝑒 elevado a três 𝑥. Portanto, estes fatores de três vezes 𝑒 elevado a três 𝑥 será anulado, deixando-nos com o limite quando tende para infinito de dois sobre três. Como não há dependência dentro do nosso limite, o nosso limite é simplesmente igual a dois terços. E esta é a solução para a questão.

Muitos limites diferentes dão uma das indeterminações necessárias para utilizar a regra de L'Hopital. Vamos considerar os seguintes exemplos.

Determine o limite quando 𝑥 tende para um de menos 11 vezes logaritmo natural de 𝑥 sobre menos nove 𝑥 mais nove.

Vamos começar por tentar determinar este limite utilizando a substituição direta. Obtemos menos 11 multiplicado pelo logaritmo natural de um sobre menos nove mais nove. Utilizaremos o facto de que o logaritmo natural de um é igual a zero. E isso dá-nos que o nosso limite deve ser igual a zero sobre zero, que é uma indeterminação. No entanto, esta é a principal condição que devemos satisfazer para utilizar a regra de L'Hopital.

Esta é a regra de L'Hopital. E como o nosso limite é igual a zero sobre zero, podemos ver que satisfazemos a primeira condição. Estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para um. Então, podemos dizer que 𝑎 é igual a um. E um é um número real. Portanto, satisfazemos a segunda condição. E isto nos diz que podemos utilizar a regra de L'Hopital. Podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 11 vezes logaritmo natural de 𝑥. E 𝑔 de 𝑥 é igual a menos nove 𝑥 mais nove.

Para derivar 𝑓 em ordem a 𝑥, utilizaremos o facto de que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a um sobre 𝑥. Como 𝑓 de 𝑥 é simplesmente uma constante multiplicada pelo logaritmo natural de 𝑥, onde a constante é igual a menos 11, obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a menos 11 sobre 𝑥. Agora 𝑔 de 𝑥 é igual a menos nove 𝑥 mais nove, que é simplesmente um polinómio. E assim podemos derivar isto utilizando a regra das potências para as derivadas, dando-nos que 𝑔 linha de 𝑥 é igual a menos nove.

Agora podemos aplicar a fórmula para a regra de L´Hopital, que é que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥. O que nos diz que o limite quando 𝑥 tende para um de menos 11 vezes o logaritmo natural de 𝑥 sobre menos nove mais nove. É igual ao limite quando 𝑥 tende para um de menos 11 sobre menos nove 𝑥. Vemos que temos um fator menos um no numerador e no denominador. E assim estes podem ser anulados, dando-nos o limite quando 𝑥 tende para um de 11 sobre nove 𝑥. E aqui podemos aplicar a substituição direta, dando-nos 11 mais de nove vezes um. Isto dá-nos a solução de que o nosso limite deve ser igual a 11 sobre nove.

No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar a regra de L'Hopital para determinar outro resultado.

Dadas as funções 𝑓 minúsculo e 𝐹 maiúsculo que são positivas para grandes valores de 𝑥, dizemos que 𝐹 maiúsculo domina 𝑓 minúsculo quando 𝑥 tende para infinito se o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑓 minúsculo de 𝑥 sobre 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é igual a zero. Utilize a regra de L'Hopital para determinar qual é dominante quando 𝑥 tende para infinito. O logaritmo natural de 𝑥 ou a raiz quadrada de 𝑥.

Utilizando a definição de dominante dada na questão, para dizer se o logaritmo natural de 𝑥 ou a raiz quadrada de 𝑥 é dominante. Precisamos de mostrar que o limite quando 𝑥 tende para infinito do logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 é igual a zero. Ou o limite quando 𝑥 tende para infinito da raiz quadrada de 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑥 é igual a zero.

Vamos começar por considerar a última destas duas opções. Precisamos de determinar o limite quando 𝑥 tende para infinito da raiz quadrada de 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑥. Como a raiz quadrada de 𝑥 e o logaritmo natural de 𝑥 são funções crescentes, sabemos que o limite de cada um deles individualmente quando 𝑥 tende para mais infinito será mais infinito. Portanto, o limite 𝑥 para ao infinito da raiz quadrada de 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑥 é igual a infinito sobre infinito. E esta é uma indeterminação. No entanto, dá-nos a condição principal para utilizar a regra de L'Hopital.

A regra de L'Hopital diz-nos que, se o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a zero sobre zero, mais infinito sobre mais infinito ou menos infinito sobre menos infinito. Onde 𝑎 é um número real, mais infinito ou menos infinito. Então, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥.

Agora, como o nosso limite é igual a mais infinito positivo sobre mais infinito, satisfazemos a primeira condição. E estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para mais infinito. Portanto, também satisfazemos a segunda condição. Portanto, podemos utilizar a regra de L'Hopital.

Temos que 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 é igual ao logaritmo natural de 𝑥. A raiz quadrada de 𝑥 também é igual a 𝑥 elevado a um meio. E assim, para determinar 𝑓 linha de 𝑥, utilizaremos a regra das potências para as derivadas. Multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente uma unidade, dando-nos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a um meio multiplicado por 𝑥 elevado a menos um meio.

Para derivar 𝑔 de 𝑥 em ordem a 𝑥, utilizamos o facto de que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a um sobre 𝑥. E então 𝑔 linha de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥. Aplicando a regra de L´Hopital, descobrimos que o nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑥 elevado a menos um meio sobre dois vezes um sobre 𝑥.

Simplificando isto, obtemos o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑥 sobre dois vezes 𝑥 elevado a um meio. Agora podemos anular um fator de 𝑥 elevado a um meio da parte superior e inferior. Obtemos o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑥 elevado a um meio sobre dois. E o único termo em 𝑥 aqui tem um expoente positivo. E está no numerador da fração. Portanto, este limite deve ser igual a infinito. E, portanto, não é igual a zero. E podemos concluir com isto que o logaritmo natural de 𝑥 não domina a raiz quadrada de 𝑥.

Agora vamos verificar se o limite quando 𝑥 tende para infinito do logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 é igual a zero. Agora, o logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 é o inverso da raiz quadrada de 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑥. E assim, quando utilizamos a substituição direta para determinar o limite quando 𝑥 tende para infinito, obteremos novamente infinito sobre infinito. Portanto, podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para infinito do logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 deve ser igual a infinito sobre infinito, que é novamente uma indeterminação. No entanto, permitiu-nos utilizar a regra de L'Hopital, pois estas duas condições são atendidas.

O nosso limite é igual a mais infinito sobre mais infinito. E estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para mais infinito. Como estamos a assumir o limite da função inversa, os nosso 𝑓 e 𝑔 estarão ao contrário. Portanto, para a nossa linha final de trabalho, estaremos simplesmente a considerar o limite da função inversa. E como o limite quando 𝑥 tende para infinito da raiz quadrada de 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑥 elevado a um meio sobre dois. Isso diz-nos que o limite quando 𝑥 tende para infinito do logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 será igual ao limite quando 𝑥 tende para infinito do inverso de 𝑥 elevado a um meio sobre dois. E este é o limite quando 𝑥 tende para infinito de dois sobre 𝑥 elevado a um meio.

Neste limite, o nosso 𝑥 tem um expoente positivo de um meio. No entanto, está no denominador da fração. E, portanto, se considerarmos o limite quando 𝑥 tende para infinito, será igual a zero. E, assim, mostrámos que o limite quando 𝑥 tende para infinito do logaritmo natural de 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 é igual a zero. A partir disto, podemos concluir que a raiz quadrada de 𝑥 domina o logaritmo natural de 𝑥.

Como vimos neste exemplo, a regra de L'Hopital pode ser útil para mostrar quase qualquer coisa que envolva um limite, pois permite-nos determinar limites que, de outra forma, seriam indeterminações. Vimos agora vários exemplos que envolvem a regra de L'Hopital. Vejamos alguns pontos principais do vídeo. Pontos chave. A regra de L'Hopital pode ser utilizada para determinar limites de indeterminações zero sobre zero, mais infinito sobre mais infinito e menos infinito sobre menos infinito. A regra de L'Hopital é a seguinte. Suponha que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 seja igual a zero sobre zero. Ou o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual a mais ou menos infinito sobre mais ou menos infinito. Onde 𝑎 pode ser qualquer número real, mais infinito ou menos infinito. Então, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑔 linha de 𝑥.