Vídeo: Integrais Indefinidos: Funções Exponenciais e Racionais

Neste vídeo, aprenderemos a calcular integrais indefinidos de funções exponenciais e racionais (1/𝑥).

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar integrais indefinidos de funções exponenciais e racionais. Começaremos por lembrar a primeira parte do teorema fundamental do cálculo antes de examinar como isto nos ajuda a integrar funções exponenciais da forma 𝑒 elevado a 𝑥 e funções racionais da forma 𝑎 sobre 𝑥.

Começamos por indicar a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. Seja 𝑓 uma função contínua com valor real definida num intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏. Deixamos então que 𝐹 maiúsculo seja a função definida para todo o 𝑥 nesse intervalo fechado, sendo 𝐹 maiúsculo de 𝑥 igual ao integral calculado entre 𝑎 e 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡. Então, o 𝐹 maiúsculo é uniformemente contínuo no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏 de modo que 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 seja igual a 𝑓 de 𝑥 para todo o 𝑥 no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Por outras palavras, 𝐹 maiúsculo é a primitiva de uma função 𝑓, a função cuja derivada é igual à função original.

E, basicamente, tudo isto nos diz que a integração é o processo inverso da diferenciação. Então, vamos começar por observar a função 𝑓 de 𝑥 igual 𝑒 elevado a 𝑥. Bem, sabemos que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é simplesmente 𝑒 elevado a 𝑥. Portanto, a primitiva de 𝑒 elevado 𝑥 também é 𝑒 elevado a 𝑥. E podemos, portanto, dizer que o integral indefinido de 𝑒 elevado a 𝑥 calculado em ordem a 𝑥 dois é 𝑒 elevado a 𝑥. E, é claro, como trabalhamos com um integral indefinido, adicionamos esta constante de integração. Vamos chamá-la 𝑐.

Mas, e a integração de uma função 𝑎 elevado a 𝑥 para uma constante real 𝑎? Bem, mais uma vez, pensamos em derivadas. E recordamos o facto de que a derivada de 𝑎 elevado a 𝑥 é 𝑎 elevado a 𝑥 vezes o logaritmo natural de 𝑎. Podemos, portanto, dizer que o integral indefinido de 𝑎 elevado a 𝑥 vezes o logaritmo natural de 𝑎 é igual a 𝑎 elevado a 𝑥, uma vez que essa é sua primitiva. Mais uma vez, estamos a trabalhar com um integral indefinido, portanto adicionamos uma constante de integração 𝑐.

Mas não é exatamente isso que estamos à procura. Queríamos calcular o integral de 𝑎 elevado a 𝑥. Então, colocamos esta constante, o logaritmo natural de 𝑎, fora do nosso integral. E a seguir, dividimos os dois membros pelo logaritmo natural de 𝑎. E obtivemos que o integral de 𝑎 elevado a 𝑥 é 𝑎 elevado a 𝑥 sobre o logaritmo natural de 𝑎 mais 𝐶. Observe também que escrevi esta constante com 𝐶 maiúsculo. Isto é para mostrar que dividimos a nossa constante original noutra constante, alterando este número. É útil saber de onde vêm estes resultados, mas geralmente é bom indicá-los. Agora, veremos alguns exemplos que demonstram a integração dessas funções exponenciais.

Determine o integral indefinido de oito 𝑒 elevado a três 𝑥 menos 𝑒 elevado a dois 𝑥 mais nove sobre sete 𝑒 elevado a 𝑥 em ordem a 𝑥.

Agora, esta questão pode parecer realmente desagradável e pode estar a começar a considerar que uma substituição pode ajudar. No entanto, é importante notar que podemos simplificar o integrando, dividindo simplesmente cada parte do numerador por sete 𝑒 elevado a 𝑥, lembrando que podemos então subtrair os expoentes. Quando o fazemos, ficamos com o integral indefinido de oito sétimos 𝑒 elevado a dois 𝑥 menos um sétimo 𝑒 elevado a 𝑥 mais nove sétimos 𝑒 elevado a menos 𝑥.

Em seguida, recordamos que podemos separar este integral. O integral da soma de um certo número de funções é igual à soma dos integrais de cada função. E também podemos colocar fatores constantes fora do integral e lidar com estes mais tarde. Então, estamos a ver oito terços do integral de 𝑒 elevado a dois 𝑥 em ordem a 𝑥 menos um sétimo do integral de 𝑒 elevado a 𝑥 em ordem a 𝑥 mais nove sétimos do integral de 𝑒 elevado a menos 𝑥 em ordem ao 𝑥. Ok, então o que vem depois?

Bem, sabemos que o integral indefinido de 𝑒 elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥 mais 𝑐. Mas, e o integral de 𝑒 elevado a dois 𝑥? Poderá querer fazer uma previsão do que acha que este dará. E há um resultado padrão que podemos referir. Mas vamos ver esta dedução utilizando integração por substituição. Seja 𝑢 igual a dois 𝑥. Então, d𝑢 sobre d𝑥 é igual a dois. Agora, sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 não é uma fração, mas podemos tratá-lo como um para fins de integração por substituição. E vemos que um meio d𝑢 é igual a d𝑥.

E então, vemos que podemos simplesmente substituir dois 𝑥 por 𝑢 e d𝑥 por um meio d𝑢 e depois tirar este fator de um meio. E tudo o que precisamos de fazer agora é integrar 𝑒 elevado a 𝑢 em ordem a 𝑢. Bem, isto é simplesmente um meio vezes 𝑒 elevado a 𝑢. Mas é claro, como 𝑢 é igual a dois 𝑥, podemos dizer que o integral indefinido de 𝑒 elevado a dois 𝑥 é um meio vezes 𝑒 elevado a dois 𝑥 mais uma constante de integração. Vamos chamá-la 𝐴. E isso é ótimo porque nos fornece o resultado geral para o integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 para constantes reais 𝑎. É um sobre 𝑎 vezes 𝑒 elevado a 𝑎𝑥.

Nós podemos utilizar este resultado. E vemos que o integral de 𝑒 elevado a menos 𝑥 é um sobre menos um vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥 mais 𝑐. Portanto, juntando isto tudo, vemos que o nosso integral indefinido é oito sétimos vezes um meio 𝑒 elevado a dois 𝑥 mais 𝐴 menos um sétimo vezes 𝑒 elevado a 𝑥 mais 𝐵 mais nove sétimos vezes um sobre menos um vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥 mais 𝐶. Distribuímos os nossos parênteses e combinamos todas as nossas constantes, e ficamos com a solução como sendo quatro sétimos 𝑒 elevado a dois 𝑥 menos 𝑒 elevado a 𝑥 mais de sete menos nove sétimos 𝑒 elevado a menos 𝑥 mais 𝐷.

Este exemplo demonstrou muito bem que, embora possamos obter o integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 a partir do resultado geral de 𝑒 elevado a 𝑥 e uma substituição inteligente. É muito mais sensato utilizar o resultado fornecido. Este é o integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 em ordem a 𝑥 é um sobre 𝑎 vezes 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 mais 𝑐. Podemos até generalizar ainda mais e dizer que o integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 mais 𝑏 é 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 mais 𝑏 sobre 𝑎.

No nosso próximo exemplo, consideraremos como uma substituição nos pode ajudar a obter o resultado do integral de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥, onde ambos 𝑎 e 𝑏 são constantes reais.

Determine o integral de dois elevado a nove 𝑥 em ordem a 𝑥.

Vamos começar por citar o que sabemos sobre o integral de 𝑎 elevado a 𝑥. É 𝑎 elevado a 𝑥 dividido pelo logaritmo natural de 𝑎. O nosso integrando é um pouco diferente; é uma constante elevada a outra constante vezes 𝑥. Então, vamos utilizar o processo de introdução de algo novo, uma nova letra. Seja 𝑢 igual a nove 𝑥, e é claro que isto é conhecido como integração por substituição. Obtemos a derivada de d𝑢 em ordem a 𝑥 igual a nove. Agora, lembre-se, d𝑢 sobre d𝑥 não é uma fração, mas podemos tratá-lo como uma para propósitos de integração por substituição. E vemos que podemos dizer que um nono d𝑢 é igual a d𝑥.

Substituímos 𝑢 por nove 𝑥 e d𝑥 por um nono d𝑢. E, em seguida, retiramos este fator constante de um nono. E vemos que o nosso integral é agora um nono do integral de dois elevado a 𝑢 em ordem a 𝑢. Bem, o integral de dois elevado a 𝑢 é dois elevado a 𝑢 sobre o logaritmo natural de dois. E a seguir, é claro, podemos utilizar a definição da nossa substituição e substituir 𝑢 por nove 𝑥. E descobrimos o integral de dois elevado a nove 𝑥 em ordem a 𝑥. É dois elevado a nove 𝑥 sobre nove vezes o logaritmo natural de dois mais esta constante de integração 𝐶, que escrevi 𝐶 maiúsculo para mostrar que é diferente do valor que tínhamos antes.

Este exemplo fornece um resultado geral para a integração de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 para constantes reais 𝑎 e 𝑏. É 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 sobre 𝑏 vezes o log natural de 𝑎 mais aquela constante de integração 𝐶. Agora vamos considerar algumas racionais. Ou seja, funções da forma 𝑎 sobre 𝑥. Agora, poderá inicialmente pensar que isto é bastante direto. Podemos reescrever esta função como 𝑎 vezes 𝑥 elevado a menos um e partir daí. Mas vamos ver o que acontece quando utilizamos a regra da potência da integração.

Nós adicionamos um ao expoente. Isso dá-nos 𝑥 elevado a zero. E a seguir, dividimos por zero. Mas não podemos fazer isso. Dá-nos uma indefinição. Então, o que mais podemos fazer? Bem, mais uma vez, vamos considerar uma derivada. Recordamos a derivada do logaritmo natural de 𝑥 como sendo um sobre 𝑥. E isso leva-nos muito bem ao resultado de que o integral de um sobre 𝑥 é o logaritmo natural de 𝑥.

Mas, na verdade, precisamos de redefinir isso um pouco. O logaritmo natural de 𝑥 só pode assumir valores reais positivos de 𝑥 maior que zero. Portanto, podemos dizer que o integral de um sobre 𝑥 para valores diferentes de zero de 𝑥 é o logaritmo natural do módulo de 𝑥. E é claro, temos esta constante de integração 𝑐. Generalizando para 𝑎 sobre 𝑥, descobrimos que o integral de 𝑎 sobre 𝑥 é 𝑎 vezes o logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais 𝑐, é claro.

Determine o integral indefinido de menos dois sobre sete 𝑥 d𝑥.

Vamos começar por remover o fator constante desta expressão. E isso dá-nos menos dois sétimos vezes o integral de um sobre 𝑥 d𝑥. Em seguida, referimos o resultado geral para o integral de um sobre 𝑥. É o log natural do módulo de 𝑥. E assim, obtemos o nosso integral como sendo menos dois sétimos vezes o logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais 𝑐. Finalmente, distribuímos os nossos parênteses. E descobrimos que a solução para esta questão é menos dois sétimos vezes o logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais 𝐶 maiúsculo.

E observe que escrevi 𝐶 maiúsculo para demonstrar que a constante original foi multiplicada por menos dois sétimos, alterando-a. É útil lembrar que podemos realmente verificar a nossa solução executando o processo inverso, derivando-o. A derivada do log natural de 𝑥 é, é claro, um sobre 𝑥. Portanto, a derivada de menos dois terços sétimos vezes o logaritmo natural de 𝑥 é menos dois terços sétimos vezes um sobre 𝑥. E a derivada de uma constante 𝐶 é zero. Multiplicamos e terminamos com a nossa derivada de menos dois sobre sete 𝑥, conforme pedido.

Determine, se possível, uma primitiva 𝐹 maiúsculo de 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre dois 𝑥 menos um que satisfaça as condições 𝐹 maiúsculo de zero é um e 𝐹 maiúsculo de um é menos um.

Outra maneira de pensar sobre a primitiva é calcular o integral indefinido. Então, o que realmente vamos fazer é integrar um sobre dois 𝑥 menos um em ordem a 𝑥 e considerar as condições neste num instante. Para integrar um sobre dois 𝑥 menos um, utilizaremos uma substituição. Vamos deixar que 𝑢 seja igual a dois 𝑥 menos um, o que significa que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a dois. Agora, sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 não é uma fração, mas tratamo-lo um pouco como uma para fins de integração por substituição e dizemos que um meio d𝑢 é igual a d𝑥.

Vamos fazer algumas substituições. Substituímos dois 𝑥 menos um por 𝑢 e d𝑥 por um meio d𝑢. E, é claro, podemos tirar o fator constante de um meio e temos um meio vezes o integral de um sobre 𝑢. Bem, lembre-se, o integral de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥 é o logaritmo natural do módulo de 𝑥. Portanto, podemos dizer que o integral de um sobre dois 𝑥 menos um d𝑥 é um meio vezes o logaritmo natural de 𝑢 mais 𝑐. Substituímos 𝑢 por dois 𝑥 menos um e obtivemos a nossa primitiva. Distribuindo os parênteses, vemos que a primitiva 𝑓 é igual a um meio do logaritmo natural de dois 𝑥 menos um mais 𝐶 maiúsculo.

Agora vamos considerar as condições. Mas também lembramos o facto de que dois 𝑥 menos um não pode ser igual a zero. Portanto, teremos uma função definida por ramos para a nossa primitiva. A primeira parte da função na qual estamos interessados ​​é quando dois 𝑥 menos um é maior que zero. Resolvemos em ordem a 𝑥 e obtemos 𝑥 maior que um meio. A segunda é quando um menos dois 𝑥 é maior que zero. Resolvendo em ordem a 𝑥 desta vez, e obtemos que 𝑥 é menor que um meio. Vamos abrir espaço e formalizar isto.

De momento temos que a nossa primitiva, 𝐹 maiúsculo de 𝑥, é igual a um meio do logaritmo natural de um menos dois 𝑥 mais uma constante quando 𝑥 é menor que um meio e um meio vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 menos um mais uma constante quando 𝑥 for maior que um meio. Agora, vamos utilizar as nossas condições da primitiva para calcular 𝑐. A primeira é 𝐹 maiúsculo de zero igual a um. Então, quando 𝑥 é igual a zero, 𝐹 é igual a um.

Como 𝑥 é menor que um meio, utilizaremos a primeira parte da nossa função. Substituímos 𝑥 igual a zero e 𝐹 maiúsculo igual a um. E obtemos um igual um meio vezes o logaritmo natural de um menos dois vezes zero. Bem, o logaritmo natural de um menos dois vezes zero é o logaritmo natural de um, que é obviamente zero. Então, nós obtemos 𝑐 igual a um.

A segunda condição que temos é que, quando 𝑥 é igual a um, 𝐹 maiúsculo é menos um. Desta vez, 𝑥 é maior que um meio, então utilizaremos a segunda parte da função. Vemos que menos um é igual a metade do logaritmo natural de dois vezes um menos um mais 𝑐. Mais uma vez, o logaritmo natural de dois vezes um menos um é zero. Então, vemos que 𝑐 na segunda parte é igual a menos um. E assim, a primitiva 𝐹 maiúsculo realmente existe. Assim, 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é igual a metade do logaritmo natural de um menos dois 𝑥 mais um para 𝑥 menor que um meio e um meio vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 menos um menos um para 𝑥 é maior que um meio.

Neste vídeo, vimos que podemos utilizar a primeira parte do teorema fundamental do cálculo para integrar funções exponenciais e racionais. Vimos que o integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 é igual a um sobre 𝑎 vezes 𝑒 elevado a 𝑎𝑥. O integral de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 é 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 sobre 𝑏 vezes o log natural de 𝑎. E o integral de 𝑎 sobre 𝑥 em ordem a 𝑥 é 𝑎 vezes o logaritmo natural do módulo de 𝑥, dado que 𝑥 não é igual a zero. E, é claro, como trabalhamos com integrais indefinidos, precisamos de assumir que sempre temos esta constante integração.

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