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Neste vídeo, aprenderemos como determinar os intervalos nos quais uma função é crescente, decrescente ou constante.
Dizemos que uma função está a aumentar quando o valor da função 𝑓 de 𝑥 aumenta à medida que o valor de 𝑥 aumenta. Isto resultará num gráfico com declive para cima. E, portanto, o declive do gráfico de uma função num intervalo no qual é crescente deve ser positivo. Podemos, inversamente, dizer que uma função será decrescer se o valor de 𝑓 de 𝑥 diminuir à medida que o valor de 𝑥 aumentar. Segue-se que, se uma função for decrescente nesse intervalo, o declive do seu gráfico será negativo.
Para que uma função seja estritamente crescente ou decrescente, não pode haver partes planas no gráfico desta função. Se tivermos uma parte plana do gráfico, ou seja, uma reta horizontal, dizemos que a função é constante nesse intervalo. Agora, é claro, podemos não ter necessariamente o gráfico da função, então podemos generalizar estas ideias. Uma função é crescente se quando 𝑥 dois é maior do que 𝑥 um, 𝑓 de 𝑥 dois é maior ou igual a 𝑓 de 𝑥 um. A seguir, é estritamente crescente se 𝑓 de 𝑥 dois for apenas maior do que 𝑓 de 𝑥 um. Se quando 𝑥 dois é maior do que 𝑥 um, 𝑓 de 𝑥 um é igual a 𝑓 de 𝑥 dois, a função é constante nesse intervalo.
De maneira semelhante, formulamos definições para funções que são decrescentes e estritamente decrescentes. Agora, ao longo deste vídeo, também utilizaremos a notação de intervalo para descrever os intervalos de crescimento e decrescimento. Então, vamos recordá-los. 𝑅 é o conjunto de números reais. Estes são os números que utilizamos com mais frequência e incluem números racionais e números irracionais. Mas não incluem números imaginários ou mais ou menos ∞. Em seguida, parêntesis retos ou parênteses curvos descrevem um conjunto de valores quando queremos incluir os valores finais. E a seguir, utilizamos parênteses retos ou parênteses curvos quando não queremos incluir os valores finais do nosso intervalo. Agora vamos considerar vários exemplos de utilização de gráficos para estabelecer intervalos de crescimento ou decrescimento e também como os vamos determinar utilizando as equações.
O gráfico de uma função é dado a seguir. Qual das seguintes afirmações acerca da função é verdadeira? É (A) a função que é decrescente no conjunto dos números reais? É (B) a função que é constante no conjunto de números reais? (C) A função é crescente no intervalo à aberto à esquerda fechado à direita de menos ∞ a zero. É (D) a função que é crescente no conjunto dos números reais? Ou (E) a função é constante no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a zero.
Vamos começar por lembrar o que as palavras decrescente, crescente e constante nos dizem acerca do gráfico de uma função. Se uma função 𝑓 de 𝑥 é decrescente num intervalo, o valor de 𝑓 de 𝑥 diminui à medida que o valor de 𝑥 aumenta. Em termos de gráfico, podemos dizer que o gráfico terá um declive para baixo nesse intervalo. O oposto é verdadeiro se uma função for crescente num intervalo. À medida que o valor de 𝑥 aumenta, o valor da função também aumenta. E, em seguida, parece que o gráfico está inclinado para cima. Então, se uma função é constante, à medida que o valor de 𝑥 aumenta, o valor da função permanece o mesmo. E em termos de gráfico, parece uma linha horizontal.
E se compararmos o nosso gráfico com estes três termos e critérios, vemos que temos uma reta horizontal. Portanto, a nossa função deve ser constante. Portanto, se as compararmos com as nossas opções (A) a (E), vemos que estamos a olhar para (B) e (E). (B) diz que a função é constante no conjunto de números reais, enquanto (E) diz que a função é constante no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a zero.
Então, qual destes vamos escolher? Se pensarmos nesta notação, isto está a dizer-nos que a função é constante para todos os valores menores do que e incluindo zero. E, de facto, este é um subconjunto do conjunto dos números reais que se estende de menos ∞ a mais ∞, mas não inclui estes pontos extremos. Se olharmos para a reta horizontal que representa a nossa função, vemos que tem setas em ambas as extremidades. E, portanto, a nossa própria reta também deve se estender até mais ∞ e para baixo até menos ∞. E assim podemos realmente dizer que a resposta correta é (B); a função deve ser constante no conjunto dos números reais.
No nosso próximo exemplo, veremos como utilizar a notação de intervalo para descrever se uma função é crescente, decrescente ou constante em intervalos específicos.
Qual das seguintes afirmações descreve corretamente a monotonia da função representada na figura embaixo? É (A) a função crescente no intervalo aberto de cinco a oito, constante no intervalo aberto de menos um a cinco e decrescente no intervalo aberto de menos dois para menos um? É (B) que a função é crescente no intervalo aberto de menos dois para menos um, constante no intervalo aberto de menos um a cinco e decrescente no intervalo aberto de cinco a oito? É (C) que a função aumenta no intervalo aberto de cinco a oito e diminui no intervalo aberto de menos dois a cinco? Ou (D) a função é crescente no intervalo aberto de menos dois a cinco e decrescente no intervalo aberto de cinco a oito.
Portanto, ao ler a questão, provavelmente inferimos o que queremos dizer com monotonia de uma função. A monotonia de uma função diz-nos simplesmente se a função é crescente ou decrescente. E, é claro, recordamos que, se uma função é crescente num intervalo, esta tem um declive positivo. Se for decrescente, tem um declive negativo. E se for constante, bem, é uma reta horizontal. Então, vamos olhar para o gráfico da nossa função. Vemos que tem três secções principais. A primeira secção está entre menos dois e menos um. Então, a próxima secção está entre menos um e cinco, enquanto a terceira secção está entre cinco e oito.
Então, vamos considerar uma secção de cada vez. Podemos ver que o declive da primeira parte da nossa função deve ser positivo. Está inclinado para cima. Temos, a seguir, uma reta horizontal entre 𝑥 igual a menos um e cinco. E a terceira parte do nosso gráfico tem um declive negativo. Está inclinado para baixo. A nossa função é, portanto, crescente durante algum tempo, é constante e, finalmente, é decrescente. Precisamos de decidir os intervalos nos quais cada uma delas acontece. Tem um declive positivo entre 𝑥 igual a menos dois e menos um. E assim definimos isto utilizando o intervalo aberto de menos dois a menos um.
Não vamos utilizar um intervalo fechado. Não sabemos realmente o que está a acontecer nos pontos extremos deste intervalo. Por exemplo, quando 𝑥 é igual a menos um, o gráfico da nossa função tem este tipo de vértice. E assim deixamos 𝑥 igual a menos dois e 𝑥 igual a menos um fora do nosso intervalo. De maneira semelhante, a função é constante no intervalo aberto de menos um a cinco. E é decrescente no intervalo aberto de cinco a oito. Mais uma vez, não sabemos o que realmente está a acontecer nestes pontos extremos, mas temos cantos agudos. E, portanto, não podemos dizer se é crescente, decrescente ou constante. E, portanto, a resposta correta é (B): a função é crescente no intervalo aberto de menos dois para menos um, constante no intervalo aberto de menos um a cinco e decrescente no intervalo aberto de cinco a oito.
No próximo exemplo, veremos como identificar regiões crescentes e decrescentes de um gráfico de uma função racional.
O gráfico de uma função é dado a seguir. Qual das seguintes afirmações acerca da função é verdadeira? É (A) que a função é crescente no intervalo aberto de menos ∞ a zero e a aumentar no intervalo aberto de zero a ∞? É (B) que a função é decrescente no intervalo aberto de menos ∞ a menos cinco e de menos cinco a ∞? É (C) que a função é crescente no intervalo aberto de menos ∞ a menos cinco e no intervalo aberto de menos cinco a ∞? Ou (D) a função é decrescente no intervalo aberto de menos a zero e decrescente no intervalo aberto de zero a ∞.
Cada uma das afirmações diz respeito à monotonia do gráfico. Está a perguntar-nos se o gráfico é crescente ou decrescente em determinados intervalos. E assim, recordamos que podemos dizer que uma função é crescente se o seu valor de 𝑓 de 𝑥 aumentar à medida que o valor de 𝑥 aumenta. Em termos de gráfico, estaremos à procura de um declive positivo. Então, se uma função for decrescente, o seu gráfico terá declive negativo neste intervalo. E a seguir, vamos dar uma olhadela no nosso gráfico. Parece ser o gráfico de uma função inversa. E o gráfico tem duas assíntotas. Vemos que o eixo O𝑦, que é a reta 𝑥 igual a zero, é uma assíntota vertical. E a seguir, temos uma assíntota horizontal dada pela reta 𝑦 igual a menos cinco.
Agora, o que isto significa é que o gráfico da nossa função se aproximará destas retas, mas nunca as tocará. E isto, por sua vez, significa que o gráfico da nossa função nunca se tornará uma reta completamente horizontal ou vertical. E assim vamos ver o que está a acontecer à medida que o nosso valor de 𝑥 aumenta. À medida que passamos de menos ∞ para zero, a função 𝑓 de 𝑥 aumenta. O seu declive é sempre positivo e cada valor de 𝑓 de 𝑥 é maior do que o valor anterior de 𝑓 de 𝑥. Então, quando passamos de 𝑥 igual a zero para mais ∞, o mesmo acontece. E isto significa que o gráfico é crescente de menos ∞ para zero e de zero para ∞. Mas o que é que está a acontecer em zero?
Bem, vemos que a função não pode assumir um valor de 𝑥 igual a zero. E assim o gráfico da nossa função aproxima-se da reta 𝑥 igual a zero, mas nunca chega a tocá-la. Em seguida, utilizamos estes parêntesis retos ou parênteses curvos para mostrar que o gráfico é crescente entre 𝑥 igual a menos ∞ e zero e entre 𝑥 igual a zero e ∞, mas que não queremos incluir os valores extremos nestas instruções. Observe que não incluímos menos ∞ e ∞ porque realmente não podemos definir este número. E, portanto, a resposta correta deve ser (A), a função é crescente no intervalo aberto de menos ∞ a zero e crescente no intervalo aberto de zero a ∞.
Agora vamos considerar os critérios para uma função exponencial que a tornaria puramente crescente.
Que condição deve haver em 𝑧 para 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑧 sobre sete elevado a 𝑥, onde 𝑥 é um número positivo, ser uma função crescente?
Para que uma função seja crescente, sabemos que, à medida que os nossos valores para 𝑥 aumentam, a própria imagem de 𝑓 de 𝑥 também deve aumentar. E assim, como podemos garantir que a nossa função 𝑓 de 𝑥 seja igual a 𝑧 sobre sete elevado a 𝑥 está a aumentar em todo o seu domínio, ou seja, para todos os valores de 𝑥? Bem, vamos relembrar o que sabemos sobre funções exponenciais. Esta é uma função exponencial. E a forma geral de uma função exponencial é 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥. Agora, enquanto 𝑎 for positivo e um número inteiro diferente de zero diferente de um, a função será crescente se 𝑎 for maior do que um e decrescente se 𝑎 for menor do que um.
E assim, vamos fazer com que 𝑎 seja igual a 𝑧 sobre sete. E a seguir, para que a nossa função seja crescente, 𝑧 sobre sete deve ser maior do que um. Esta é uma desigualdade que podemos resolver da mesma forma que resolveremos qualquer equação normal. Vamos multiplicar ambos os membros por sete. 𝑧 mais de sete vezes sete é 𝑧 e um vezes sete é sete. E, portanto, o próprio deve ser maior do que sete para que a função 𝑓 de 𝑥 seja igual a 𝑧 sobre sete elevado a 𝑥 para ser uma função crescente.
Agora vamos considerar um exemplo final. E vamos procurar identificar os intervalos crescentes e decrescentes de uma função inversa quando não temos o gráfico.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira para a função ℎ de 𝑥 igual a menos um sobre sete menos 𝑥 menos cinco? É (A) ℎ de 𝑥 decrescente nos intervalos de menos ∞ a sete e sete a ∞? É (B) ℎ de 𝑥 decrescente nos intervalos de menos ∞ a menos sete e de menos sete a ∞? (C) ℎ de 𝑥 é crescente nos intervalos de menos ∞ a menos sete e de menos sete a ∞. Ou (D) ℎ de 𝑥 é crescente nos intervalos de menos ∞ a sete e sete a ∞.
Se olharmos com atenção, vemos que ℎ de 𝑥 é uma função inversa. É um sobre algum polinómio. E assim sabemos que provavelmente haverá assíntotas no nosso gráfico. Vamos pensar em como podemos esboçar o gráfico de ℎ de 𝑥. Começaremos com a função 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥. E a seguir, vamos considerar a série de transformações que transformam a função um sobre 𝑥 na função ℎ de 𝑥. Aqui está a função um sobre 𝑥. Possui assíntotas horizontais e verticais compostas pelos eixos O𝑥 e O𝑦. Agora, consideraremos como transformar 𝑓 de 𝑥 em um sobre menos 𝑥. Isto é representado pela reflexão no eixo O𝑦.
E a seguir, como transformamos isto na função um sobre sete menos 𝑥? Bem, adicionar sete à parte interna da nossa função composta nos dá uma translação horizontal de menos sete. Isto é uma translação para as sete unidades à esquerda. Agora, ao fazer isto, a nossa assíntota horizontal permanece a mesma; ainda é o eixo O𝑥. Mas a nossa assíntota vertical também muda sete unidades para a esquerda. E assim vai de ser o eixo O𝑦, que é a reta 𝑥 igual a zero, para ser a reta 𝑥 igual a menos sete. Mas é claro, ℎ de 𝑥 é menos um sobre sete menos 𝑥. Desta vez, refletimos o gráfico no eixo O𝑦. E assim a nossa assíntota horizontal permanece inalterada, mas a nossa assíntota vertical está agora em 𝑥 igual a sete.
A nossa transformação final transforma esta função em ℎ de 𝑥. Isto é menos um sobre sete menos 𝑥 menos cinco. E agora movemos o gráfico inteiro e traduzimos cinco unidades para baixo. E agora temos o gráfico de ℎ de 𝑥 de menos um sobre sete menos 𝑥 menos cinco, e estamos prontos para decidir se a função é crescente ou decrescente nos vários intervalos. Lembre-se, se uma função é decrescente, o seu gráfico terá um declive negativo e, se for decrescente, o seu gráfico terá um declive positivo. À medida que movemos os nossos valores de 𝑥 da esquerda para a direita, ou seja, de menos ∞ até 𝑥 igual a sete, vemos que o gráfico está inclinado para baixo. Este aproximar-se-á de menos ∞, mas nunca o alcançará.
Então, à medida que 𝑥 se aproxima de mais ∞ a partir de sete, o gráfico continua a declinar para baixo. Desta vez, porém, aproxima-se de menos cinco. E, portanto, a função é definitivamente decrescente nestes intervalos de menos ∞ para sete e de sete para ∞. Como a função em si não pode assumir um valor de 𝑥 igual a sete, e é por isso que temos a assíntota horizontal, queremos incluir intervalos abertos. Estes são os parênteses. E, portanto, a resposta correta deve ser (A), ℎ de 𝑥 é decrescente no intervalo aberto de menos ∞ para sete e sete para ∞.
Agora, vamos recapitular os pontos principais desta aula. Neste vídeo, aprendemos que uma função crescente se 𝑓 de 𝑥 aumenta à medida que o valor de 𝑥 aumenta. Nestes intervalos, o gráfico da função terá um declive positivo ou um gradiente positivo. E a seguir, se a função diminuir à medida que 𝑥 aumenta, dizemos que é decrescente e o gráfico terá declive negativo. Lembre-se, podemos dizer que uma função é estritamente crescente ou decrescente, se não houver partes planas no gráfico. Finalmente, vimos que uma função é constante se o valor de 𝑓 de 𝑥 permanecer inalterado à medida que o valor de 𝑥 aumenta e o gráfico de uma função constante se parece com uma reta horizontal.
