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Neste vídeo, aprenderemos como usar o teorema da bissetriz do ângulo e a sua recíproca para encontrar o comprimento do lado ausente em um triângulo. Uma bissetriz de um ângulo interno de um triângulo cruza o lado oposto ao ângulo. O lado oposto é dividido em dois segmentos de reta. E um teorema útil relativo à razão dos comprimentos desses segmentos de reta é o teorema da bissetriz do ângulo interno. Vamos considerar isso com alguns exemplos juntamente com o teorema da bissetriz do ângulo externo. E veremos como calcular o comprimento da bissetriz do ângulo em um triângulo.
O teorema da bissetriz do ângulo interno diz que se um ângulo interno de um triângulo é dividido ao meio, ou seja, o ângulo dividido em dois ângulos menores de igual medida, a bissetriz divide o lado oposto em segmentos cujos comprimentos têm a mesma razão que os comprimentos dos lados adjacentes não comuns do ângulo dividido ao meio. O que isso significa em relação ao nosso triângulo é que o comprimento 𝐷𝐵 dividido pelo comprimento 𝐷𝐴 é o mesmo que o comprimento 𝐶𝐵 sobre o comprimento 𝐶𝐴.
Para provar isso, vamos criar espaço e redesenhar nosso triângulo. Começamos adicionando uma nova reta do vértice 𝐴 paralelo à reta 𝐶𝐷. Em seguida, estendemos o segmento de reta 𝐵𝐶 até que ele encontre essa nova reta. E as duas retas se cruzam no ponto 𝐸. Como a reta 𝐶𝐷 é a bissetriz do ângulo no ponto 𝐶, sabemos que os dois ângulos no diagrama no vértice 𝐶 são congruentes. Ou seja, eles são iguais. Agora, como os segmentos de reta 𝐴𝐸 e 𝐶𝐷 são paralelos, os ângulos 𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐸𝐴 são congruentes. E onde os ângulos 𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐸𝐴 são ângulos correspondentes, os ângulos 𝐷𝐶𝐴 e 𝐶𝐴𝐸 são ângulos alternos e, portanto, também congruentes. E isso significa que todos os quatro ângulos marcados no diagrama são congruentes.
E como os triângulos 𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐸𝐴 compartilham dois ângulos congruentes, eles são triângulos semelhantes, então a razão 𝐵𝐷 sobre 𝐵𝐴 é a mesma que a razão 𝐵𝐶 sobre 𝐵𝐸. E poderíamos reescrever isso como mostrado, pois 𝐵𝐴 é o mesmo que 𝐵𝐷 mais 𝐷𝐴 e 𝐵𝐸 é o mesmo que 𝐵𝐶 mais 𝐶𝐸. Se então multiplicarmos e distribuirmos os parênteses, temos 𝐵𝐷 multiplicado por 𝐵𝐶 mais 𝐵𝐷 multiplicado por 𝐶𝐸 é igual a 𝐵𝐶 multiplicado por 𝐵𝐷 mais 𝐵𝐶 multiplicado por 𝐷𝐴. Subtraindo 𝐵𝐷 multiplicado por 𝐵𝐶 de ambos os lados, isso reduz para 𝐵𝐷 multiplicado por 𝐶𝐸 é 𝐵𝐶 multiplicado por 𝐷𝐴. E agora dividindo ambos os lados por 𝐷𝐴 multiplicado por 𝐶𝐸, podemos dividir o numerador e o denominador à esquerda por 𝐶𝐸 e o numerador e o denominador à direita por 𝐷𝐴. E criando algum espaço, temos 𝐵𝐷 dividido por 𝐷𝐴 é igual a 𝐵𝐶 dividido por 𝐶𝐸.
Finalmente, notamos que o triângulo 𝐴𝐶𝐸 é um triângulo isósceles. E isso significa que 𝐶𝐸 é igual a 𝐶𝐴. E podemos substituir isso em nossa equação. Então temos 𝐵𝐷 sobre 𝐷𝐴 é igual a 𝐵𝐶 sobre 𝐶𝐴. E simplesmente reescrevendo 𝐵𝐷 como 𝐷𝐵 e 𝐵𝐶 como 𝐶𝐵, temos uma fórmula 𝐷𝐵 sobre 𝐷𝐴 é igual a 𝐶𝐵 sobre 𝐶𝐴. Vamos ver um exemplo de como usamos esse teorema para encontrar comprimentos ausentes em um triângulo.
Na figura, o segmento de reta 𝐴𝐷 divide o ângulo 𝐵𝐴𝐶, 𝐵𝐷 é igual a oito, 𝐷𝐶 é igual a 11 e o perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é 57. Determine os comprimentos dos segmentos de reta 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶.
Somos informados de que o segmento de reta 𝐴𝐷 divide o ângulo em 𝐴. E para responder a essa pergunta, vamos usar o teorema da bissetriz do ângulo interno. Isso diz que se o ângulo interno de um triângulo for dividido ao meio, a bissetriz divide os lados opostos em segmentos. E os comprimentos desses segmentos têm a mesma razão que os comprimentos dos lados não comuns adjacentes ao ângulo dividido ao meio. O que isso significa no nosso caso é que o comprimento 𝐷𝐶 dividido pelo comprimento 𝐵𝐷 é o mesmo que o comprimento 𝐴𝐶 dividido pelo comprimento 𝐴𝐵.
Nos é dado que 𝐵𝐷 é igual a oito e 𝐷𝐶 é igual a 11. E isso significa que 11 sobre oito é igual a 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵. Também nos é dito que o perímetro do triângulo é 57. E como o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados, temos 𝐴𝐵 mais 𝐵𝐶 mais 𝐴𝐶 é 57. E como sabemos que 𝐵𝐶 é 𝐶𝐷 mais 𝐷𝐵, e isso é 11 mais oito, podemos substituir 𝐵𝐶 por 19. Agora, se subtrairmos 19 de ambos os lados, temos 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶 é igual a 38. Agora, se lembrarmos de nossa equação anterior, que 11 sobre oito é igual a 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵, podemos encontrar 𝐴𝐶 em termos de 𝐴𝐵 multiplicando ambos os lados por 𝐴𝐵. Isso nos dá 11 sobre oito 𝐴𝐵 é igual a 𝐴𝐶.
E agora substituindo isso em nossa segunda equação, temos 𝐴𝐵 mais 11 sobre oito 𝐴𝐵 é igual a 38. Agora coletando nossos termos à esquerda, temos 19 sobre oito 𝐴𝐵 é igual a 38. Agora, multiplicando ambos os lados por oito e dividindo por 19, temos 𝐴𝐵 é 38 multiplicado por oito sobre 19, de modo que 𝐴𝐵 é igual a 16. Agora podemos usar isso em nossa equação para 𝐴𝐶 de modo que tenhamos 11 sobre oito multiplicado por 16 é igual a 𝐴𝐶. 11 sobre oito multiplicado por 16 são 22. Portanto, 𝐴𝐶 é 22. Portanto, o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐶 é 22 e o de 𝐴𝐵 é 16.
Neste exemplo, aplicamos o teorema para a razão dos segmentos de reta relacionados à bissetriz de um ângulo interno de um triângulo. O inverso desse teorema também é verdadeiro.
Considere o triângulo 𝐴𝐵𝐶 onde nos é dado um ponto 𝐷 no lado 𝐵𝐶. Se nos for dado também que os comprimentos dos segmentos de reta satisfazem a equação 𝐷𝐵 sobre 𝐷𝐶 é igual a 𝐴𝐵 sobre 𝐴𝐶, então sabemos que o ponto 𝐷 está na bissetriz do ângulo interno 𝐵𝐴𝐶. Agora, vamos ver um teorema da bissetriz análogo para um ângulo externo de um triângulo.
Considere a bissetriz de um ângulo externo no vértice 𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶 interceptando uma extensão do lado do triângulo oposto ao ângulo em um ponto 𝐷. Temos então a identidade 𝐷𝐵 sobre 𝐷𝐴 é igual a 𝐶𝐵 sobre 𝐶𝐴. Ou seja, a razão entre o comprimento 𝐷𝐵 e o comprimento 𝐷𝐴 é igual à razão entre o comprimento 𝐶𝐵 e o comprimento 𝐶𝐴. E este é o teorema da bissetriz do ângulo externo. Embora não possamos provar isso aqui, sabemos que as ideias são semelhantes, embora mais complexas, àquelas usadas na prova do teorema da bissetriz do ângulo interno. Vamos considerar um exemplo de como aplicar o teorema da bissetriz do ângulo externo para encontrar um comprimento ausente em um triângulo.
Dado que 𝐴𝐵 é igual a 60, 𝐴𝐶 é 40 e 𝐵𝐶 é 31, quanto é 𝐶𝐷?
O diagrama indica que os dois ângulos mostrados são congruentes. Ou seja, eles têm o mesmo número de graus ou radianos. O segmento de reta 𝐴𝐷 é então a bissetriz do ângulo externo em 𝐴 do triângulo 𝐴𝐵𝐶. Lembramos que o teorema da bissetriz do ângulo externo nos dá a identidade 𝐷𝐶 sobre 𝐷𝐵 é igual a 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵, ou seja, que a razão do comprimento 𝐷𝐶 para o comprimento 𝐷𝐵 é a mesma que a razão do comprimento 𝐴𝐶 para o comprimento 𝐴𝐵. Agora, sabemos que o comprimento 𝐷𝐵 é igual a 𝐷𝐶 mais 𝐶𝐵. Então podemos substituir isso em nossa fórmula. E nós temos 𝐷𝐶 sobre 𝐷𝐶 mais 𝐶𝐵 é igual a 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵.
Nos é dado que o comprimento 𝐴𝐵 é igual a 60, 𝐵𝐶 é igual a 31 e 𝐴𝐶 é igual a 40. Em nossa equação, então, a equação tem apenas uma incógnita; isso é 𝐷𝐶. E nossa equação é então 𝐷𝐶 dividido por 𝐷𝐶 mais 31 é 40 sobre 60. E observe como o comprimento 𝐷𝐶 é o mesmo que 𝐶𝐷, é isso que estamos procurando. Então agora vamos resolver nossa equação para 𝐷𝐶. Multiplicando ambos os lados por 60 e também 𝐷𝐶 mais 31, temos 60𝐷𝐶 é igual a 40 multiplicado por 𝐷𝐶 mais 31. Distribuindo os parênteses à direita, temos 40𝐷𝐶 mais 1240. E agora subtraindo 40𝐷𝐶 de ambos os lados, temos 20𝐷𝐶 é 1240. Dividindo ambos os lados por 20, temos 𝐷𝐶 que é 62. E como 𝐷𝐶 é o mesmo que 𝐶𝐷, temos 𝐶𝐷 igual a 62 unidades.
Até agora, discutimos a relação entre a razão dos comprimentos dos segmentos de reta relacionados à bissetriz de um ângulo interno ou externo de um triângulo. Vamos considerar agora um teorema que trata do comprimento do segmento de reta bissetriz do ângulo.
Dado um triângulo 𝐴𝐵𝐶, se o segmento 𝐶𝐷 é a bissetriz do ângulo 𝐶, então temos o comprimento 𝐶𝐷 que é a raiz quadrada de 𝐶𝐵 multiplicado por 𝐶𝐴 menos 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴. Usamos esse teorema para calcular o comprimento da bissetriz do ângulo dentro de um triângulo. Para provar esse teorema, começamos adicionando um círculo circunscrevendo o triângulo e também adicionando o ponto 𝐸 obtido ao estender a reta 𝐶𝐷 ao círculo.
No diagrama, sabemos que os dois ângulos verdes no vértice 𝐶 são congruentes, pois o segmento 𝐶𝐷 é a bissetriz do ângulo 𝐴𝐶𝐵. Notamos também que os ângulos nos vértices 𝐵 e 𝐸 são ângulos inscritos subtendidos pelo arco comum 𝐴𝐶. E lembramos que todos os ângulos subtendidos pelo arco comum têm medidas iguais. Isso significa que os ângulos em 𝐵 e 𝐸 são congruentes. Temos então o triângulo 𝐶𝐵𝐷 e o triângulo 𝐶𝐸𝐴 compartilham dois pares de ângulos congruentes. Compartilhar dois pares de ângulos congruentes significa que os triângulos são triângulos semelhantes. E isso, por sua vez, significa que a razão de 𝐶𝐷 para 𝐶𝐴 é a mesma de 𝐶𝐵 para 𝐶𝐸.
Agora, sabemos que 𝐶𝐸 é igual a 𝐶𝐷 mais 𝐷𝐸. E podemos inserir isso no denominador do nosso lado direito. Em seguida, multiplicando ambos os lados por 𝐶𝐴 e 𝐶𝐷 mais 𝐷𝐸 e distribuindo nossos parênteses, podemos subtrair 𝐶𝐷 multiplicado por 𝐷𝐸 de ambos os lados. Se pegássemos a raiz quadrada de ambos os lados, ainda não teríamos nossa fórmula. Precisamos substituir o termo 𝐶𝐷 multiplicado por 𝐷𝐸 por 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴. E para justificar essa substituição, precisamos observar outro par de triângulos semelhantes.
Em nosso diagrama, podemos ver que o ângulo 𝐵𝐶𝐸 e o ângulo 𝐵𝐴𝐸 são ângulos inscritos subtendidos pelo mesmo arco. E isso significa que eles são congruentes. Agora, isso significa que o triângulo 𝐶𝐵𝐷 e o triângulo 𝐴𝐸𝐷 compartilham dois pares de ângulos congruentes. E isso significa que eles são triângulos semelhantes. Portanto, temos que a razão de 𝐶𝐷 para 𝐷𝐴 é a mesma que 𝐷𝐵 para 𝐷𝐸. E agora, se multiplicarmos ambos os lados por 𝐷𝐴 e 𝐷𝐸, ficamos com 𝐷𝐸 multiplicado por 𝐶𝐷 é igual a 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴. E agora podemos substituir 𝐶𝐷 multiplicado por 𝐷𝐸 por 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴. E agora, tomando a raiz quadrada positiva em ambos os lados, temos 𝐶𝐷 é igual à raiz quadrada de 𝐶𝐵 multiplicada por 𝐶𝐴 menos 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴, que é o que procuramos e, portanto, prova o teorema.
Agora, vamos ver um exemplo em que aplicamos esse teorema para encontrar o comprimento da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.
No triângulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵 tem 76 centímetros, 𝐴𝐶 tem 57 centímetros e 𝐵𝐷 tem 52 centímetros. Dado que o segmento de reta 𝐴𝐷 corta o ângulo 𝐴 e cruza o segmento de reta 𝐵𝐶 em 𝐷, determine o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐷.
Lembramos que se o segmento de reta 𝐴𝐷 corta o ângulo 𝐴 em um triângulo, então temos o teorema 𝐴𝐷 é igual à raiz quadrada de 𝐴𝐶 multiplicada por 𝐴𝐵 menos 𝐷𝐶 multiplicado por 𝐷𝐵. Agora, pela pergunta, sabemos que 𝐴𝐶 é igual a 57, 𝐵𝐷, que é 𝐷𝐵, é igual a 52 e que 𝐴𝐵 tem comprimento 76. E assim, para encontrar o comprimento 𝐴𝐷, devemos primeiro encontrar o comprimento 𝐷𝐶. Para fazer isso, vamos usar o teorema da bissetriz do ângulo interno. Isso diz que a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos cujos comprimentos têm a mesma razão que os comprimentos dos lados adjacentes não comuns do ângulo dividido ao meio.
O que isso significa em nosso triângulo é que 𝐷𝐶 sobre 𝐵𝐷 é o mesmo que 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵. Agora sabemos que 𝐵𝐷 é 52, 𝐴𝐶 é 57 e 𝐴𝐵 é 76. Então temos 𝐷𝐶 sobre 52 é igual a 57 sobre 76. Agora, multiplicando ambos os lados por 52, ficamos com 𝐷𝐶 no lado esquerdo. E 57 dividido por 76 multiplicado por 52 é 39. Então, 𝐷𝐶 tem 39 centímetros. Agora temos todas as informações de que precisamos para calcular 𝐴𝐷. Substituindo em nossos valores, temos 𝐴𝐷 é a raiz quadrada de 57 vezes 76 menos 39 vezes 52, ou seja, a raiz quadrada de 4332 menos 2028, que é a raiz quadrada de 2304, ou seja, 48. O comprimento do segmento de reta 𝐴𝐷 é, portanto, 48 centímetros.
Vamos terminar recapitulando alguns dos conceitos importantes que abordamos. Você sabe que, se um ângulo interno de um triângulo for dividido ao meio, a bissetriz divide o lado oposto em segmentos cujos comprimentos têm a mesma razão que os comprimentos dos lados adjacentes não comuns do ângulo dividido ao meio. Ou seja, a partir do diagrama mostrado, a razão 𝐷𝐵 sobre 𝐷𝐴 é a mesma que 𝐶𝐵 sobre 𝐶𝐴. A recíproca também é verdadeira, onde se nos é dado um ponto 𝐷 no lado 𝐵𝐶 e dado que 𝐷𝐵 sobre 𝐷𝐶 é 𝐴𝐵 sobre 𝐴𝐶, então o ponto 𝐷 está na bissetriz do ângulo interno 𝐴.
Em seguida, se considerarmos uma bissetriz de um ângulo externo no vértice 𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, que cruza uma extensão do lado do triângulo oposto ao ângulo no ponto 𝐷, então a razão do comprimento 𝐷𝐵 para 𝐷𝐴 é a mesma como a razão do comprimento 𝐶𝐵 para 𝐶𝐴. E finalmente, em qualquer triângulo 𝐴𝐵𝐶, se o segmento de reta 𝐶𝐷 é a bissetriz do ângulo 𝐶, então temos 𝐶𝐷 é igual à raiz quadrada de 𝐶𝐵 multiplicada por 𝐶𝐴 menos 𝐷𝐵 multiplicado por 𝐷𝐴.
