Vídeo: Comprimento do Arco e Área de um Setor

Aplica o teu conhecimento sobre o cálculo de áreas e perímetros de círculos para calcular áreas e comprimentos de arco de setores de círculos. Ainda, aprende a fórmula geral para comprimentos de arcos e área de setores em termos do ângulo subtendido.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como aplicar as fórmulas para a área e o perímetro de um círculo a problemas que envolvem o comprimento do arco e a área de um setor. Então, primeiro, certifica-te de entender o que significa setor e este termo comprimento do arco. Portanto, um setor de um círculo faz parte de um círculo e, especificamente, faz parte de um círculo que é delimitado por dois raios e, em seguida, um arco que os une. Então, é um pouco como cortar uma fatia de um bolo circular. Quando falamos sobre o comprimento do arco, queremos dizer o comprimento desta parte curva que chamei de “arco” em cada um destes dois diagramas e, quando falamos da área do setor, queremos dizer a área dentro desta parte do círculo.

Então, vamos olhar para a nossa primeira questão. Pede-nos para calcular a área e o perímetro do setor apresentado neste diagrama aqui. Podemos ver que temos duas informações: o raio do círculo e, também, a amplitude deste ângulo aqui. Dizem-nos que o ângulo formado por estes dois raios é cento e vinte graus. Agora, isto é realmente importante, porque nos diz que parte do círculo temos neste setor aqui. Então, o que faremos é ver como responder a esta questão específica e generalizar a partir daqui, para que possamos descobrir a área e o perímetro de qualquer setor em que o ângulo ao centro possa ser qualquer coisa.

Então, vamos olhar para a área antes de mais. Portanto, se recordarmos, a nossa fórmula da área de um círculo é que a área é igual a 𝜋𝑟 ao quadrado. Mas não temos um círculo completo aqui. O que temos são cento e vinte graus no círculo. Agora, temos trezentos e sessenta graus num círculo completo e cento e vinte graus é um terço disso. Portanto, temos um terço da área do círculo completo. Então, para calcular a área deste setor, calcularei a área de um círculo completo com raio de seis centímetros e depois a dividirei por três, pois temos apenas um terço desse círculo. E aqui está o meu cálculo: a área do setor é 𝜋 multiplicado por seis ao quadrado dividido por três. E se resolver isso como um múltiplo de 𝜋, então é doze 𝜋 centímetros quadrados e, na forma decimal, é trinta e sete vírgula sete centímetros quadrados, arredondado a uma casa decimal. Então, aqui temos o nosso método para calcular a área deste setor. Acabámos de fazer um terço da área do círculo completo.

Agora vamos ver como calcular o perímetro deste setor. Portanto, o perímetro é a distância total. E se olhares para este setor, verás que é composto por três partes: existe a parte curva, que é o arco, e depois existem dois raios. Portanto, para calcular o perímetro total, precisamos de adicionar estas três partes. O perímetro é o comprimento do arco mais dois 𝑟. Agora, para calcular o comprimento do arco, utilizaremos uma ideia semelhante; queremos calcular a circunferência do círculo completo, mas depois dividi-la por três, pois temos apenas um terço desse perímetro. Então, coloquei as duas fórmulas para o perímetro de um círculo: 𝜋𝑑 ou dois 𝜋𝑟, dependendo de utilizar o diâmetro ou o raio. Nós temos o raio; então vou utilizar esta segunda versão. Então, este comprimento do arco será dois multiplicado por 𝜋 multiplicado por seis. Mas lembre-se de dividir por três, pois tenho apenas um terço d perímetro.

E aqui está o meu cálculo: o comprimento do arco e mais os dois raios. Portanto, isso dá-me uma resposta de quatro 𝜋 mais doze centímetros se desse a minha resposta em termos de 𝜋 ou posso calculá-la na forma decimal e dá-me vinte e quatro vírgula seis centímetros com uma casa decimal. Lembre-se de utilizar as unidades corretas nas suas respostas aqui. Quando estava a calcular a área, a minha unidade era centímetros quadrados. E quando estou a trabalhar no perímetro, é um comprimento, então a minha unidade é centímetros.

Agora, vamos ver como podemos generalizar o que acabámos de fazer na questão anterior, para que possamos ter fórmulas que funcionem para setores com qualquer raio e ângulo ao centro. Então, desenhei um diagrama com um setor aqui. Eu identifiquei o raio com 𝑟 e o ângulo ao centro com a letra 𝜃, que geralmente utilizamos quando trabalhamos com ângulos. E aqui estão as fórmulas para o perímetro e a área. Vamos pensar como as adaptaríamos para apenas um setor de um círculo. Vamos pensar no comprimento do arco antes de mais. Ora, no exemplo anterior, determinámos o perímetro da circunferência completa e depois dividimo-la por três. A razão pela qual dividimos por três é porque tínhamos cento e vinte graus dos trezentos e sessenta graus completos. Então, tínhamos um terço do círculo. Se queremos generalizar isto para qualquer ângulo, basta pensar na fração do círculo que temos. Portanto, temos 𝜃 graus de trezentos e sessenta possíveis, o que significa que temos 𝜃 sobre trezentos e sessenta, esta fração do círculo total, o que significa que a nossa fórmula do comprimento do arco é a seguinte: 𝜋𝑑 que é a circunferência toda, mas multiplicamo-la por 𝜃 sobre trezentos e sessenta. Assim, multiplicamos pela fração do círculo que temos, que pode ser metade, um terço ou um quarto ou pode ser algo como setenta e um graus sobre trezentos e sessenta.

É claro que poderíamos substituir 𝑑 por dois 𝑟 e ter outra versão desta fórmula também. Observa também que no exemplo anterior não nos pediram apenas para calcular o comprimento do arco; pediram-nos para calcular o perímetro completo, caso em que também teríamos que adicionar o dobro do raio. Para a área do setor, é exatamente a mesma ideia. Determinamos a área do círculo completo 𝜋𝑟 ao quadrado e depois multiplicamo-la pela fração do círculo que temos realmente. Então, isso dar-nos-á esta fórmula para a área do setor 𝜃 sobre três sessenta multiplicado por 𝜋𝑟 ao quadrado. E podemos utilizar essas duas fórmulas, independentemente do ângulo do centro. Mesmo que não seja um número, é um bom fator de trezentos e sessenta.

Agora, também há algumas palavras com as quais precisas de te familiarizar — uma forma específica de formular questões sobre o comprimento do arco ou a área do setor. E esta frase é determinar o comprimento do arco subtendido por um ângulo de cinquenta graus, por exemplo, ao centro do círculo. Portanto, se ouvires esta expressão “subtendido”, significa apenas o ângulo formado no centro do círculo por estes dois raios. Então é isto que chamei de 𝜃 no diagrama aqui.

Ok, a nossa questão final neste vídeo: dado que a área deste setor é de oito 𝜋 centímetros quadrados, calcule o perímetro total do setor. Então, olhando para o diagrama, podemos ver que temos o raio do círculo que é oito centímetros, mas o que não temos é o ângulo ao centro do círculo. No entanto, temos uma informação extra. Sabemos que a área deste setor é de oito 𝜋 centímetros quadrados. Então, podes fazer pausa no vídeo e pensar como utilizar estas informações. O que vou fazer primeiro é adicionar uma pequena identificação ao meu diagrama para chamar este ângulo desconhecido 𝜃. Agora, se soubéssemos este ângulo, poderíamos calcular o perímetro total utilizando os métodos que descrevemos porque poderíamos determinar o comprimento do arco pois sabemos qual é o raio. Então, o que precisamos de fazer é descobrir qual é este ângulo ao centro do círculo.

Então, vamos pensar como podemos determinar este ângulo. Sabemos que a fórmula para a área do setor é 𝜃 sobre três sessenta multiplicado por 𝜋𝑟 ao quadrado. E também sabemos qual é a área deste setor. Assim, poderemos definir uma equação, onde podemos substituir o valor de oito no raio, podemos substituir o valor de oito 𝜋 na área e, em seguida, podemos resolver esta equação para descobrir quanto é o ângulo ao centro. Então, aqui está a equação 𝜃 sobre três sessenta multiplicado por 𝜋 multiplicado por oito ao quadrado; este é o raio ao quadrado e é igual a oito 𝜋. Portanto, esta é a equação que preciso de resolver para determinar o valor de 𝜃. Então, os passos para resolver esta equação, bem, na verdade existe 𝜋 nos dois membros. Então, posso anular um fator de 𝜋 em ambos os membros. Estou efetivamente a dividir os dois lados da equação por 𝜋. E estes oito ao quadrado sobre trezentos e sessenta; isto é sessenta e quatro sobre trezentos e sessenta, que como uma fração simplificada passa a oito sobre quarenta e cinco. Então, tenho oito sobre quarenta e cinco 𝜃 é igual a oito.

Agora poderia continuar daqui de duas maneiras, provavelmente. Eu poderia multiplicar por quarenta e cinco e depois dividir por oito ou, vendo que tenho um fator de oito em ambos os membros, poderia simplesmente anulá-los e multiplicar por quarenta e cinco. E ambos os métodos levarão ao mesmo resultado que 𝜃, este ângulo desconhecido, é igual a quarenta e cinco graus. Agora que conheço o ângulo, posso apenas calcular o perímetro do setor utilizando os métodos que descrevemos no exemplo anterior. Portanto, o perímetro total será o comprimento do arco mais o dobro do raio. Portanto, o comprimento do arco utilizando esta fórmula 𝜃 sobre três sessenta vezes dois 𝜋𝑟 será quarenta e cinco sobre três sessenta multiplicado por dois vezes 𝜋 vezes oito. E depois adiciono o dobro do raio. Se quisesse dar a minha resposta em termos de 𝜋 então simplifica para dois 𝜋 mais dezasseis centímetros ou posso resolvê-la na forma decimal. E dá-me esta resposta aqui de vinte e dois vírgula três centímetros e que é arredondada a uma casa decimal.

Então, apenas para recapitular o que fizemos nesta questão. Nós conhecíamos a área. Tivemos que trabalhar para trás a partir desta, a fim de calcular o ângulo ao centro. E, a partir daí, pudemos seguir em frente e calcular o perímetro. Então, para resumir, examinámos as fórmulas gerais que podemos utilizar para calcular a área ou o perímetro de um setor ou o comprimento do arco, independentemente do raio e da porção do círculo que tivermos.

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