Video Transcript
Neste vídeo, veremos como aplicar as fórmulas para a área e o perímetro de um círculo a problemas que envolvem o comprimento de arco e a área de um setor.
Então, primeiro, certifica-te de entender o que significa setor e este termo comprimento de arco. Portanto, um setor de um círculo faz parte de um círculo. E, especificamente, faz parte de um círculo que é delimitado por dois raios e, em seguida, um arco que os une. Então, é um pouco como cortar uma fatia de um bolo circular. Quando falamos sobre o comprimento de arco, queremos dizer o comprimento desta parte curva que chamei de "arco" em cada um destes dois diagramas. E, quando falamos da área do setor, queremos dizer a área dentro desta parte do círculo.
Então, vamos olhar para a nossa primeira questão. Pede-nos para calcular a área e o perímetro do setor apresentado neste diagrama aqui.
Podemos ver que temos duas informações. Dão-nos o raio do círculo. E, igualmente importante, dão-nos a amplitude deste ângulo aqui. Dizem-nos que o ângulo formado por estes dois raios é 120 graus. Agora, isto é realmente importante, porque nos diz que parte do círculo temos neste setor aqui. Então, o que faremos é ver como responder a esta questão específica e generalizar a partir daqui, para que possamos descobrir a área e o perímetro de qualquer setor em que o ângulo ao centro possa ser qualquer coisa.
Então, vamos olhar para a área antes de mais. Portanto, se recordarmos, a nossa fórmula da área de um círculo é que a área é igual a 𝜋𝑟 ao quadrado. Mas não temos um círculo completo aqui. O que temos são 120 graus no círculo. Agora, temos 360 graus num círculo completo. E 120 graus é um terço disso. Portanto, temos um terço da área do círculo completo. Então, para calcular a área deste setor, calcularei a área de um círculo completo com raio de seis centímetros e depois a dividirei por três, pois temos apenas um terço desse círculo.
E aqui está o meu cálculo. A área do setor é 𝜋 multiplicado por seis ao quadrado dividido por três. E se resolver isso como um múltiplo de 𝜋, então é 12𝜋 centímetros quadrados. E, na forma decimal, é 37.7 centímetros quadrados, arredondado a uma casa decimal. Então, aqui temos o nosso método para calcular a área deste setor. Acabámos de fazer um terço da área do círculo completo.
Agora vamos ver como calcular o perímetro deste setor. Portanto, o perímetro é a distância total. E se olhares para este setor, verás que é composto por três partes. Existe a parte curva, que é o arco. E depois, existem dois raios. Portanto, para calcular o perímetro total, precisamos de adicionar estas três partes. O perímetro é o comprimento do arco mais dois 𝑟.
Agora, para calcular o comprimento do arco, utilizaremos uma ideia semelhante. Queremos calcular a circunferência do círculo completo, mas depois dividi-la por três, pois temos apenas um terço desse perímetro. Então, coloquei as duas fórmulas para o perímetro de um círculo, 𝜋𝑑 ou dois 𝜋𝑟, dependendo de utilizar o diâmetro ou o raio. Temos o raio, então vou utilizar esta segunda versão.
Então, este comprimento do arco será dois multiplicado por 𝜋 multiplicado por seis. Mas, lembra-te de dividir por três, pois tenho apenas um terço do perímetro. E aqui está o meu cálculo, o comprimento do arco e mais os dois raios. Portanto, isto dá-me uma resposta de quatro 𝜋 mais 12 centímetros, se desse a minha resposta em termos de 𝜋. Ou posso calculá-la na forma decimal. E dá-me 24.6 centímetros com uma casa decimal. Lembra-te de utilizar as unidades corretas nas tuas respostas aqui. Quando estava a calcular a área, a minha unidade era centímetros quadrados. E quando estou a trabalhar com o perímetro, é um comprimento, então a minha unidade é centímetros.
Agora, vamos ver como podemos generalizar o que acabámos de fazer na questão anterior, para que possamos ter fórmulas que funcionem para setores com qualquer raio e ângulo ao centro. Então, desenhei um diagrama com um setor aqui. Identifiquei o raio com 𝑟 e o ângulo ao centro com a letra 𝜃, que geralmente utilizamos quando trabalhamos com ângulos.
E aqui estão as fórmulas para o perímetro e para a área. Vamos pensar como as adaptaríamos para apenas um setor de um círculo. Vamos pensar no comprimento do arco antes de mais. Ora, no exemplo anterior, determinámos o perímetro da circunferência completa e depois dividimo-la por três. A razão pela qual dividimos por três é porque tínhamos 120 dos 360 graus completos. Portanto, tínhamos um terço do círculo. Se queremos generalizar isto para qualquer ângulo, basta pensar na fração do círculo que temos. Portanto, temos 𝜃 graus de 360 possíveis, o que significa que temos 𝜃 sobre 360, esta fração do círculo total.
O que significa que a nossa fórmula do comprimento do arco é esta. 𝜋𝑑, que é a circunferência toda, mas multiplicamo-la por 𝜃 sobre 360. Assim, multiplicamos pela fração do círculo que temos, que pode ser metade, um terço ou um quarto ou pode ser algo como 71 graus sobre 360. É claro que poderíamos substituir 𝑑 por dois 𝑟 e ter outra versão desta fórmula também. Observa também que, no exemplo anterior, não nos pediram apenas para calcular o comprimento do arco, pediram-nos para calcular o perímetro completo. Que, neste caso, também teríamos que adicionar o dobro do raio.
Para a área do setor, é exatamente a mesma ideia. Determinamos a área do círculo completo 𝜋𝑟 ao quadrado. E depois multiplicamo-la pela fração do círculo que temos realmente. Então, isto dar-nos-á esta fórmula para a área do setor, 𝜃 sobre 360 multiplicado por 𝜋𝑟 ao quadrado. E podemos utilizar estas duas fórmulas, independentemente do ângulo ao centro. Mesmo que não seja um número, é um fator de 360.
Agora, também há algumas palavras com as quais precisas de te familiarizar, uma forma específica de formular questões sobre o comprimento do arco ou a área do setor. E esta frase é determinar o comprimento do arco subtendido por um ângulo de 50 graus, por exemplo, ao centro do círculo. Portanto, se ouvires esta expressão subtendido, significa apenas o ângulo formado no centro do círculo por estes dois raios. Então, é isto que chamei de 𝜃 no diagrama aqui.
Ok, a nossa questão final neste vídeo, dado que a área deste setor é de oito 𝜋 centímetros quadrados, calcule o perímetro total do setor.
Então, olhando para o diagrama, podemos ver que temos o raio do círculo, que é oito centímetros. Mas o que não temos é o ângulo ao centro do círculo. No entanto, temos uma informação extra. Sabemos que a área deste setor é de oito 𝜋 centímetros quadrados. Então, podes fazer pausa no vídeo e pensar em como utilizar estas informações.
O que vou fazer primeiro é adicionar uma pequena identificação ao meu diagrama para chamar este ângulo desconhecido 𝜃. Agora, se soubéssemos este ângulo, poderíamos calcular o perímetro total utilizando os métodos que descrevemos. Porque poderíamos determinar o comprimento do arco, pois sabemos qual é o raio. Então, o que precisamos de fazer é descobrir qual é este ângulo ao centro do círculo.
Então, vamos pensar como podemos determinar este ângulo. Sabemos que a fórmula para a área do setor é 𝜃 sobre 360 multiplicado por 𝜋𝑟 ao quadrado. E também sabemos qual é a área deste setor. Assim, poderemos definir uma equação, onde podemos substituir o valor de oito no raio, podemos substituir o valor de oito 𝜋 na área e, em seguida, podemos resolver esta equação para descobrir quanto é o ângulo ao centro. Então, aqui está a equação 𝜃 sobre 360 multiplicado por 𝜋 multiplicado por oito ao quadrado, este é o raio ao quadrado e é igual a oito 𝜋. Portanto, esta é a equação que preciso de resolver para determinar o valor de 𝜃.
Então, os passos para resolver esta equação, bem, na verdade existe 𝜋 nos dois membros. Então, posso anular um fator de 𝜋 em ambos os membros. Estou efetivamente a dividir os dois lados da equação por 𝜋. E estes oito ao quadrado sobre 360; isto é 64 sobre 360, que como uma fração simplificada passa a oito sobre 45. Então, tenho oito sobre 45 𝜃 é igual a oito. Agora poderia continuar daqui de duas maneiras, provavelmente. Eu poderia multiplicar por 45 e depois dividir por oito. Ou, vendo que tenho um fator de oito em ambos os membros, poderia simplesmente anulá-los e multiplicar por 45. E ambos os métodos levarão ao mesmo resultado que 𝜃, este ângulo desconhecido, é igual a 45 graus.
Agora que conheço o ângulo, posso apenas calcular o perímetro do setor utilizando os métodos que descrevemos no exemplo anterior. Portanto, o perímetro total será o comprimento do arco mais o dobro do raio. Portanto, o comprimento do arco utilizando esta fórmula 𝜃 sobre 360 vezes dois 𝜋𝑟 será 45 sobre 360 multiplicado por dois vezes 𝜋 vezes oito. E depois adiciono o dobro do raio. Se quisesse dar a minha resposta em termos de 𝜋, então simplifica para dois 𝜋 mais 16 centímetros. Ou posso resolvê-la na forma decimal. E dá-me esta resposta aqui de 22.3 centímetros. E que está arredondada a uma casa decimal.
Então, apenas para recapitular o que fizemos nesta questão. Nós conhecíamos a área. Tivemos que trabalhar para trás a partir desta, a fim de calcular o ângulo ao centro. E, a partir daí, pudemos seguir em frente e calcular o perímetro.
Então, para resumir, examinámos as fórmulas gerais que podemos utilizar para calcular a área ou o perímetro de um setor ou o comprimento do arco, independentemente do raio e da porção do círculo que tivermos.
