Vídeo: Encontrando o Limite de uma Função a Partir de Seu Gráfico

Se o gráfico mostrado representa a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, determine lim_ (𝑥 → −1) 𝑓(𝑥).

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Transcrição do vídeo

Se o gráfico dado representar a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos três, determine o limite quando 𝑥 tende a menos um de 𝑓 de 𝑥.

Nós temos um gráfico da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos três, que podemos usar para encontrar este limite graficamente. O valor de 𝑥 que nos interessa é negativo, que destacamos no eixo 𝑥. E queremos saber qual o valor 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 se aproxima desse valor, menos um.

Existem duas direções em que 𝑥 pode se aproximar de um negativo. 𝑥 pode se aproximar do um negativo a partir de baixo; isto é, com 𝑥 sempre menor do que um negativo, mas aproximando-se cada vez mais do um negativo. Ou 𝑥 pode se aproximar do um negativo de cima; isto é, com 𝑥 sempre sendo maior que um negativo, mas aproximando-se cada vez mais do um negativo.

Consideramos estes dois casos separadamente, então primeiro o limite como 𝑥 tende a um negativo a partir de baixo de 𝑓 de 𝑥. Escolhemos um valor 𝑥 menor que um negativo, digamos menos três, e vemos que o ponto menos três, menos seis está no gráfico. E assim 𝑓 de menos três é menos seis.

É claro que também poderíamos ter visto isso a partir da definição da função. Mas é mais fácil ver no gráfico que, à medida que escolhemos outros valores de 𝑥 aproximando-se cada vez mais de um negativo, mas sempre ficando menor do que um negativo, esse 𝑓 de 𝑥 aproxima-se cada vez mais de quatro negativos. Portanto, o limite quando 𝑥 tende a menos um a partir de baixo de 𝑓 de 𝑥 é menos quatro.

E sobre o limite quando 𝑥 tende a menos um a partir de cima de 𝑓 de 𝑥? É a mesma história. Desta vez, escolhemos um valor de 𝑥 maior que o um negativo e vemos o que acontece quando 𝑥 se aproxima do um negativo da outra direção; isto é, com 𝑥 sempre sendo maior que menos um. Vemos que, para essa direção, também, o limite é menos quatro.

Para um valor de 𝑥 que é maior que um negativo, mas muito próximo ao um negativo, o valor de 𝑓 de 𝑥 é muito próximo de menos quatro. Se os limites abaixo e acima tiverem o mesmo valor e, é o nosso caso, nós não precisamos especificar se estamos nos aproximando dos limites abaixo ou acima.

Podemos apenas dizer que o limite, período, é esse valor. E assim o limite quando 𝑥 tende a um negativo, período, de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos quatro. Observe que, neste caso, o limite quando 𝑥 tende a um negativo de 𝑓 de 𝑥 foi apenas 𝑓 avaliado em 𝑥 é igual a um negativo. Isso não é verdade para todas as funções, mas é verdadeiro para um grande número de funções, incluindo todas as funções lineares cujos gráficos são linhas retas.

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