Vídeo: Encontrando a Equação da Tangente à Curva de uma Função Polinomial em um Valor Dado para 𝑥

Encontre a equação da tangente à curva 𝑦 = −2𝑥³ + 8𝑥² − 19 em 𝑥 = 2.

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Encontre a equação da tangente à curva 𝑦 igual a menos dois 𝑥 ao cubo mais oito 𝑥 ao quadrado menos 19 a 𝑥 é igual a dois.

Estamos procurando a equação da tangente a essa curva cúbica. E sabemos que a inclinação da tangente à curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 é igual a 𝑎 é a derivada 𝑓 linha calculada em 𝑎. Portanto, a inclinação da tangente cuja equação queremos encontrar é o valor de 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 em 𝑥 igual a dois.

Espero que, tendo encontrado a inclinação da tangente, estejamos indo bem para encontrar a equação da tangente. Isto sugere que devemos encontrar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥, que é a derivada em relação a 𝑥 de menos dois 𝑥 ao cubo mais oito 𝑥 ao quadrado menos 19. Podemos usar o fato de que a derivada de uma soma ou diferença de funções é a soma ou diferença conforme apropriado, das derivadas das funções para dividir essa derivada em três. E podemos calcular essas derivadas, um a um, começando com a derivada em relação a 𝑥 de menos dois 𝑥 ao cubo.

Para encontrar essa derivada, usamos o fato de que a derivada com relação a 𝑥 de uma potência de 𝑥, 𝑥 elevado a 𝑛, é 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. E como a derivada de um número vezes uma função é esse número vezes a derivada da função, a derivada com relação a 𝑥 de 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 é 𝑎 vezes 𝑛𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Assim, a derivada de menos dois vezes 𝑥 elevado a três é menos dois vezes três vezes 𝑥 elevado a três menos um, que é menos seis 𝑥 ao quadrado.

Podemos usar a mesma regra para encontrar a derivada de oito 𝑥 ao quadrado ou oito 𝑥 elevado a dois. Isso é 16𝑥. E a derivada da função constante 19 em relação a 𝑥 é apenas zero. Esse termo constante não contribui para nossa derivada. E então 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é menos seis 𝑥 ao quadrado mais 16𝑥.

A inclinação da nossa tangente é 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 calculada em 𝑥 é igual a dois. Assim, substituindo dois por 𝑥, obtemos menos seis vezes o dois ao quadrado mais 16 vezes dois, que é oito.

Agora que encontramos a inclinação da tangente, vamos limpar o espaço e encontrar a equação da tangente. Queremos encontrar a equação da reta tangente. E sabemos que a inclinação dessa reta é oito. Mas precisaremos de algumas outras informações para descobrir qual é a equação.

A reta tangente toca ou intersecta a curva 𝑦 é igual a menos dois 𝑥 ao cubo mais oito 𝑥 ao quadrado menos 19 quando 𝑥 é dois. Então, quando 𝑥 é dois, suas coordenadas 𝑦 devem ser as mesmas da curva. Aqui está um rápido esboço para mostrar por que esse fato é verdade em geral.

Aplicando este fato geral ao nosso exemplo, vemos que nossa tangente passa pelo ponto dois, menos dois vezes dois ao cubo mais oito vezes dois ao quadrado menos 19. Aqui nós apenas substituímos dois por 𝑥. Calculando isso, descobrimos que a tangente passa pelo ponto dois, menos três.

E agora, com essas duas informações, temos informações suficientes para encontrar a equação da tangente. Podemos usar a forma do coeficiente angular da equação de uma reta e substituí-la. A inclinação ou coeficiente angular 𝑚 é oito. E 𝑥 zero e 𝑦 zero são dois e menos três, respectivamente, porque a tangente passa pelo ponto dois, menos três.

Tudo o que temos que fazer agora é simplificar. No lado esquerdo, menos menos três se torna mais três. E do lado direito, expandimos para obter oito 𝑥 menos 16. Reorganizando a equação de modo que todos os termos caiam no lado esquerdo, descobrimos que a equação da tangente à curva 𝑦 é igual a dois 𝑥 ao cubo mais oito 𝑥 ao quadrado menos 19 em 𝑥 é igual a dois na forma padrão é 𝑦 menos oito 𝑥 mais 19 é igual a zero.

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