Vídeo: Intervalos onde uma Função é Crescente e Decrescente Utilizando Derivadas

Neste vídeo, aprenderemos a determinar intervalos onde funções são crescentes e decrescentes utilizando a primeira derivada de uma função.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos o que significa uma função ser crescente ou decrescente num determinado intervalo. E veremos como determinar se uma função está a crescer ou a decrescer num intervalo específico utilizando derivadas. Deve estar familiarizado com como derivar funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e também como derivar combinações destas utilizando as regras do produto, do quociente e em cadeia.

Primeiro, vamos ver o que estes termos, crescente e decrescente, significam em relação às funções. A definição formal para uma função ser decrescente num intervalo é a seguinte. Uma função é decrescente num intervalo 𝐼 se 𝑓 de 𝑥 um é maior que 𝑓 de 𝑥 dois sempre que 𝑥 um é menor que 𝑥 dois para quaisquer dois pontos 𝑥 um e 𝑥 dois no intervalo 𝐼. Se considerarmos a parte esquerda do gráfico da quadrática que desenhei, podemos considerar dois pontos 𝑥 um e 𝑥 dois onde 𝑥 um é menor que 𝑥 dois. Vemos que 𝑓 de 𝑥 um é maior que 𝑓 de 𝑥 dois. E, portanto, a nossa função seria considerada decrescente neste intervalo.

Porém, em termos práticos, isso significa que o declive do gráfico da nossa função é negativo, o que faz sentido. Se o valor da função estiver a decrescer, cada vez mais pequeno, a função deverá estar inclinada para baixo. Se lembrarmos que o declive de uma função é dada pela sua primeira derivada, podemos formar uma definição alternativa. Uma função é decrescente num intervalo 𝐼 se a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for menor que zero, ou seja, negativa, para todos os valores de 𝑥 no intervalo 𝐼.

Aqui vemos a ligação com as derivadas. Se pudermos determinar a primeira derivada de uma função 𝑓 linha de 𝑥, poderemos considerar onde esta derivada é negativa para determinar os intervalos nos quais a função é decrescente. Podemos considerar a definição de uma função crescente da mesma maneira. Formalmente, em primeiro lugar, uma função é crescente num intervalo 𝐼 se 𝑓 de 𝑥 um é menor que 𝑓 de 𝑥 dois sempre que 𝑥 um é menor que 𝑥 dois para quaisquer valores de 𝑥 um e 𝑥 dois no intervalo 𝐼. Desta vez, vemos que valores maiores de 𝑥 estão associados a valores maiores da própria função. Portanto, a nossa função aumenta à medida que os valores de 𝑥 aumentam.

Em termos práticos, isso significa que o declive do gráfico da nossa função será positivo. O gráfico estará inclinado para cima. Novamente, lembrando que a primeira derivada de uma função dá o seu declive, vemos que uma função será crescente num intervalo 𝐼 se a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for maior que zero para todos os valores de 𝑥 neste intervalo 𝐼. Vamos agora ver como podemos aplicar a nossa definição de funções crescentes e decrescentes em termos das suas primeiras derivadas nalguns problemas.

Dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos o logaritmo natural de 𝑥, determine os intervalos nos quais 𝑓 é crescente ou decrescente.

Primeiro, lembramos que uma função é crescente quando a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é maior que zero e uma função é decrescente quando a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é menor que zero. Portanto, precisaremos de uma expressão para a primeira derivada desta função. Podemos derivar termo a termo. A derivada de cinco 𝑥 ao quadrado é cinco multiplicada por dois 𝑥; isto é 10𝑥. A derivada de menos três 𝑥 é menos três. E a derivada de menos o logaritmo natural de 𝑥 é menos um sobre 𝑥. Assim, temos a nossa primeira derivada. 𝑓 linha de 𝑥 igual a 10𝑥 menos três menos um sobre 𝑥.

Pela nossa definição de uma função crescente, em primeiro lugar, 𝑓 será crescente quando a sua primeira derivada 10𝑥 menos três menos um sobre 𝑥 for maior que zero. E, portanto, temos uma inequação em 𝑥 que precisamos de resolver. Agora, sabemos que existe um 𝑥 no denominador desta fração aqui, então o passo que gostaríamos de dar antes de mais é multiplicar por 𝑥 para eliminar essa fração. Mas precisamos de ter um pouco de cuidado, porque temos uma inequação e nenhuma garantia de que 𝑥 é positivo. Se multiplicarmos por um valor negativo de 𝑥, precisaríamos de inverter o sentido da nossa desigualdade.

No entanto, se olharmos para a nossa função original, veremos que ela inclui este termo o logaritmo natural de 𝑥. E o logaritmo natural de 𝑥 não está definido para valores de 𝑥 menores ou iguais a zero. Isso significa que o domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 maior que zero. Estamos a trabalhar apenas com valores positivos de 𝑥. E, portanto, podemos multiplicar a nossa inequação por 𝑥 sem nos preocupar em precisar de mudar o sentido do sinal de desigualdade.

Multiplicar por 𝑥 dá 10𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos um é maior que zero. E vemos que temos uma inequação do segundo grau que precisamos de resolver. Existem vários métodos diferentes que podemos utilizar, mas quase certamente precisamos de fatorizar para começar. Seguindo o método formal da fatorização por agrupamento, tudo com um pouco de tentativa-erro, vemos que estes fatores do segundo grau como cinco 𝑥 mais um multiplicado por dois 𝑥 menos um.

Precisamos agora de determinar os valores críticos para esta expressão quadrática, o que fazemos estabelecendo cada um de nossos dois parêntesis igual a zero, não maior que zero. Resolvemos então cada equação linear para dar 𝑥 igual a menos um quinto e 𝑥 igual a um meio. Portanto, estes são os dois valores críticos para esta expressão quadrática. Agora, existem duas maneiras pelas quais podemos proceder a partir daqui. Uma é utilizar uma tabela de valores para verificar o sinal da nossa quadrática em ambos os lados e entre os nossos valores críticos. O outro é esboçar um gráfico. E este é o que eu vou escolher para demonstrar.

Sabemos que temos uma quadrática com um coeficiente inicial positivo. Portanto, o seu gráfico será uma parábola. E sabemos que os valores críticos, que são os valores nos quais o gráfico interseta o eixo O𝑥, são menos um quinto e um meio. Portanto, o gráfico fica assim. Lembre-se, este é o gráfico da nossa primeira derivada, 10𝑥 menos três menos um sobre 𝑥. Dissemos que a nossa função 𝑓 é crescente quando a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for maior que zero. É quando o gráfico da sua derivada 𝑓 linha de 𝑥 está acima do eixo O𝑥.

Isso corresponderá a duas secções do nosso gráfico, a secção em que os valores de 𝑥 são menores que menos um quinto e a parte em que os valores de 𝑥 são maiores que um meio. Mas lembre-se, dissemos que o domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥 era apenas 𝑥 maior que zero. E, portanto, podemos na verdade ignorar metade do nosso gráfico completamente. Podemos dizer então que a nossa função 𝑓 é crescente no intervalo aberto um meio, infinito. São todos estes valores de 𝑥 maiores que um meio.

Para ver onde a nossa função é decrescente, observamos onde a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é menor que zero, o que significa que observamos onde o gráfico está abaixo do eixo O𝑥. Agora, no nosso gráfico original, isto estaria em toda parte entre os dois valores críticos. Porém, como reduzimos o gráfico para ser apenas valores de 𝑥 maiores que zero, isto é para todos os valores de 𝑥 maiores que zero, mas menores que um meio. Dizemos, portanto, que 𝑓 é decrescente no intervalo aberto zero, um meio.

E assim, completamos o problema. Tivemos que derivar a função 𝑓 de 𝑥 para determinar sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 e, em seguida, utilizar o nosso conhecimento de inequações do segundo grau para descobrir onde 𝑓 linha de 𝑥 era maior que zero e onde 𝑓 linha de 𝑥 era menor que zero.

Agora, também podemos precisar de aplicar regras importantes de derivação, como regra em cadeia, a regra do produto ou a regra do quociente, para responder a questões que envolvam funções mais complexas. Vamos ver um exemplo disso.

Determine os intervalos nos quais a função 𝑓 de 𝑥 é igual a sete 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado mais nove é crescente e é decrescente.

Lembramos, em primeiro lugar, que se uma função é crescente ou decrescente pode ser determinado considerando a sua derivada. Uma função será crescente quando a sua primeira derivada for positiva e será decrescente quando a sua primeira derivada for negativa. Portanto, precisamos de determinar uma expressão para 𝑓 linha de 𝑥. Observamos, antes de mais, que 𝑓 é um quociente. Portanto, para determinar esta derivada, precisamos de aplicar a regra do quociente.

A regra do quociente diz-nos que, para duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣, a derivada em ordem a 𝑥 do quociente, 𝑢 sobre 𝑣, é igual a 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Portanto, seja ​​𝑢 igual ao numerador do quociente, que é sete​​ 𝑥, e 𝑣 igual ao denominador, que é 𝑥 ao quadrado mais nove. d𝑢 sobre d𝑥 e d𝑣 sobre d𝑥 podem ser determinados utilizando a regra das potências das derivadas. d𝑢 sobre d𝑥 é sete e d𝑣 sobre d𝑥 é dois 𝑥.

Substituindo na fórmula a regra do quociente, temos então que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais nove multiplicado por sete menos sete 𝑥 multiplicado por dois 𝑥 tudo sobre 𝑥 ao quadrado mais nove tudo ao quadrado. A distribuição dos parêntesis no numerador dá sete 𝑥 ao quadrado mais 63 menos 14𝑥 ao quadrado tudo sobre 𝑥 ao quadrado mais nove tudo ao quadrado. O que, por sua vez, simplifica para 63 menos sete 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 ao quadrado mais nove tudo ao quadrado. E assim, temos a nossa expressão para a primeira derivada.

A nossa função 𝑓 será crescente quando a sua primeira derivada for maior que zero. Então, temos uma inequação em 𝑥 que precisamos de resolver. Agora, podemos realmente simplificar isso um pouco. Observe que o denominador desta fração é algo ao quadrado, 𝑥 ao quadrado mais nove tudo ao quadrado. E, portanto, o próprio denominador será sempre maior que zero. Para que toda a fração seja maior que zero, precisamos apenas de garantir que o seu numerador seja maior que zero, porque positivo dividido por positivo dará algo positivo.

A inequação, portanto, simplifica para 63 menos sete 𝑥 ao quadrado é maior que zero. Podemos dividir por sete e depois adicionar 𝑥 ao quadrado de cada membro para dar nove é maior que 𝑥 ao quadrado. Ou escrito o contrário, 𝑥 ao quadrado é menor que nove. Portanto, temos uma inequação do segundo grau relativamente direta a ser resolvida. Se 𝑥 ao quadrado deve ser menor que nove, ou seja, estritamente menor que nove, então podemos ter qualquer valor de 𝑥 entre menos três e três, apesar de não incluir estes valores. A solução para esta inequação do segundo grau é então menos três menor que 𝑥 menor que três, ou o intervalo aberto de menos três a três.

Assim, determinámos o único intervalo no qual a função 𝑓 de 𝑥 é crescente. Para determinar onde a função é decrescente, exigimos que a sua primeira derivada seja menor que zero, o que, por sua vez, leva a 63 menos sete 𝑥 ao quadrado é menor que zero. Portanto, invertemos o sentido de todos os sinais de desigualdade no nosso exercício anterior, levando a 𝑥 ao quadrado é maior que nove. Este é apenas o caso de valores de 𝑥 estritamente menores que menos três e valores de 𝑥 estritamente maiores que três. Então, descobrimos haver dois intervalos onde a nossa função é decrescente. Os intervalos abertos de menos infinito a menos três e três, infinito.

Portanto, aplicando a regra do quociente para determinar a primeira derivada da nossa função 𝑓 de 𝑥 e resolvendo uma inequação do segundo grau relativamente direta. Descobrimos que a função 𝑓 de 𝑥 é crescente no intervalo aberto de menos três a três e decrescente nos intervalos abertos de menos infinito a menos três e três, infinito.

No próximo exemplo, consideraremos um problema que envolve funções trigonométricas.

Como zero é menor que 𝑥 que é menor que dois 𝜋 sobre cinco, determine os intervalos nos quais 𝑓 de 𝑥 é igual a cos ao quadrado de cinco 𝑥 mais três cos cinco 𝑥 é crescente ou decrescente.

Recordamos, em primeiro lugar, que uma função é crescente sempre que a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for maior que zero. E esta mesma função é decrescente sempre que a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for menor que zero. Portanto, precisamos de determinar uma expressão para a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 desta função trigonométrica. E lembramos, em primeiro lugar, um resultado padrão para derivar cos de 𝑎𝑥, que é que a sua derivada em ordem a 𝑥 é igual a menos 𝑎 sen 𝑎𝑥. Isso permite-nos derivar o segundo termo. A derivada de três cos cinco 𝑥 é três multiplicada por menos cinco sen cinco 𝑥. Mas e o primeiro termo?

Bem, podemos pensar nisso como cos de cinco 𝑥 tudo ao quadrado e depois recordar a regra das potências. Isso diz-nos que, se tivermos alguma função como uma potência, a sua derivada será igual a essa potência; portanto é dois, multiplicado pela derivada da própria função, de modo que será menos cinco sen cinco 𝑥, multiplicado por esta função elevado ao expoente menos um. Então, reduzimos o expoente de dois para um.

Portanto, temos 𝑓 linha de 𝑥 igual a dois multiplicado por menos cinco sen cinco 𝑥 cos cinco 𝑥 mais três multiplicado por menos cinco sen cinco 𝑥. Podemos fatorizar menos cinco sen cinco 𝑥 dar 𝑓 linha de 𝑥 igual a menos cinco sen cinco 𝑥 multiplicado por dois cos cinco 𝑥 mais três. A nossa função 𝑓, portanto, será crescente quando esta primeira derivada for maior que zero. Agora, vamos pensar em como podemos resolver esta inequação. E pensaremos neste segundo parêntesis antes de mais.

O gráfico de cos cinco 𝑥, em primeiro lugar, é apenas um trecho horizontal do gráfico de cos 𝑥. E assim, este ainda tem menos um como valor mínimo e um como valor máximo. O gráfico de dois cos cinco 𝑥 é um trecho vertical deste gráfico por um fator de escala de dois. E assim, esta terá menos dois como mínimo e dois como máximo. A adição de três é uma translação vertical deste gráfico, o que significa que o valor mínimo para dois cos cinco 𝑥 mais três será um e o valor máximo será cinco.

O que isso nos diz é que dois cos cinco 𝑥 mais três em si é sempre maior que zero, pois o seu valor mínimo é um. E, portanto, um dos fatores no nosso produto é sempre positivo. Para que o produto de dois fatores seja positivo, estes devem ter o mesmo sinal. E, portanto, também deve ser o caso em que 𝑓 é crescente quando o primeiro fator, menos cinco e cinco 𝑥, é positivo. Portanto, o nosso problema diminuiu um pouco. Agora, estamos apenas à procura da região em que menos cinco sen cinco 𝑥 é maior que zero.

Podemos simplificar dividindo os dois membros por menos cinco. E como estamos a dividir por menos um, devemos inverter a desigualdade para dar sen cinco 𝑥 menor que zero. Agora, lembre-se de que o domínio que temos para esta função era zero menor que 𝑥 menor que dois 𝜋 sobre cinco. Sendo 𝑢 igual a cinco 𝑥, se 𝑥 estiver entre zero e dois 𝜋 sobre cinco, 𝑢 estará entre zero e dois 𝜋. Então, agora, estamos apenas à procura donde sen 𝑢 é menor que zero para valores de 𝑢 entre zero e dois 𝜋.

Podemos responder a isto esboçando um gráfico de 𝑢 e sen 𝑢 para valores de 𝑢 entre zero e dois 𝜋. E vemos que sen 𝑢 é menor que zero para valores de 𝑢 entre 𝜋 e dois 𝜋. Lembre-se, porém, que 𝑢 é igual a cinco 𝑥, portanto, para converter isto de novo numa desigualdade em 𝑥, precisamos de dividir por cinco, dando 𝜋 sobre cinco menor que 𝑥 menor que dois 𝜋 sobre cinco. Este é o intervalo no qual a função 𝑓 é crescente.

Aplicando a mesma lógica, vemos que 𝑓 será decrescente quando a sua primeira derivada for menor que zero, o que, por sua vez, leva ao sen 𝑢 ser maior que zero. É quando 𝑢 está entre zero e 𝜋, o que leva a 𝑥 estar entre zero e 𝜋 sobre cinco. E assim, completamos o problema. A função 𝑓 de 𝑥 é crescente no intervalo aberto 𝜋 sobre cinco, dois 𝜋 sobre cinco e decrescente no intervalo aberto zero, 𝜋 sobre cinco.

Em resumo, vimos que uma função 𝑓 é crescente sempre que a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 maior que zero. E a função 𝑓 é decrescente sempre que a sua primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 for menor que zero. Podemos utilizar a derivação e as regras de derivação, como a regra do quociente, a regra do produto e a regra em cadeia, para determinar as primeiras derivadas de funções. E a seguir, resolva as inequações resultantes para determinar os intervalos nos quais essas funções são crescentes ou decrescentes.

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