Pop Video: Eratosthenes Mede o Comprimento da Circunferência da Terra

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Neste vídeo, vamos dar uma olhada em como um sujeito grego chamado Eratosthenes, que era matemático, astrônomo, poeta, teórico musical e principal bibliotecário da Grande Biblioteca de Alexandria, no Egito, conseguiu fazer um cálculo notável para estimar o comprimento da Terra ao longo de 200 anos aC. Acredita-se que ele seja a primeira pessoa a encontrar uma maneira relativamente precisa de fazer isso. Mas é realmente complicado dizer exatamente o quão exato ele era. E vamos explicar por que enquanto analisamos o método dele.

Em um dos livros da Grande Biblioteca, Eratosthenes leu sobre um poço de água na cidade de Syene - a uma boa distância ao sul de Alexandria - em que a água permanece na sombra o ano todo, com exceção de um breve período ao meio-dia no dia mais longo do ano. Uma passagem do livro descrevia como a borda da sombra passava pelo lado do poço até que a água no fundo fosse diretamente iluminada pelos raios do sol e não existissem sombras.

E isso o fez pensar em duas coisas. Em primeiro lugar, o Sol deve ter estado diretamente em cima de Syene para fazer isso acontecer, pois os raios do Sol devem ter caído perpendicularmente à superfície da Terra. E em segundo lugar, em Alexandria, onde ele morava, ele nunca tinha visto aquela situação sem sombras. Ao meio-dia, no dia mais longo do ano, as sombras eram muito curtas, mas existiam. Agora, ele imaginou que dentro de uma parte relativamente local da Terra, os raios de luz do Sol devem ser paralelos porque o Sol estava tão distante.

Portanto, a superfície da Terra deve ser curva para ter sombras de diferentes tamanhos em diferentes lugares ao mesmo tempo. Se a superfície da Terra fosse curvada a toda a volta, então talvez fosse esférica. Ele decidiu realizar um experimento para fazer algumas medições e fazer alguns cálculos para calcular o comprimento da Terra.

Agora, os relatórios variam quanto a como ele mediu o ângulo dos raios do Sol em Alexandria. Alguns dizem que ele usou a sombra de uma torre alta e outros dizem que ele usou uma vara de medição especial chamada gnomon. Mas de qualquer forma, o método seria basicamente o mesmo. A única diferença real é que quaisquer pequenos erros de medição em uma vara menor teriam um impacto maior na precisão final da estimativa do que erros semelhantes na torre. Mas vamos voltar a isso um pouco mais tarde.

Para tornar mais fácil falar sobre o método, digamos que ele usou uma vara. Embora Eratosthenes tivesse feito cálculos diferentes por causa da matemática e das convenções que estavam disponíveis para ele naquele tempo, com nosso conhecimento da trigonometria do ensino médio, podemos calcular a medida do ângulo dos raios do Sol a partir da vertical.

Levante uma vara verticalmente do chão, certificando-se de que ela esteja exatamente a 90 graus do chão e, então, simplesmente meça sua altura ℎ e o comprimento da sombra 𝑙. Então, o ângulo 𝜃 aqui no topo é igual ao inverso do comprimento da sombra dividido pela altura da vara. Nos dias de hoje podemos apenas tocar em nossa calculadora para obter uma resposta. Mas claro, isso não era uma opção para Eratosthenes. E quando ele fez essa medida, ele descobriu que 𝜃 estava em torno de 7.2 graus.

Então, vamos desenhar uma versão um pouco exagerada desse diagrama para facilitar a visualização do que está acontecendo. Então, a partir do nosso diagrama, podemos ver que, se estendermos as linhas do poço e da haste até o centro da Terra, o ângulo no centro da Terra será alterno para o ângulo de 7.2 graus. Então também é 7.2 graus.

Isso significa que o arco na superfície da Terra entre o poço e a haste é de 7.2 sobre 360 ​​de um círculo completo. E isso simplifica a um cinquenta avos. Portanto, a distância entre a haste e o poço é um cinquenta avos do comprimento da Terra. Tudo o que ele tinha que fazer era medir a distância entre o poço e a vara e multiplicar a resposta por 50. Então, ele tinha sua estimativa para o comprimento da Terra.

O comprimento tipicamente usado para medir a distância entre as cidades daquele tempo era o estádio, que era o comprimento de um estádio esportivo grego padrão. Um estádio tinha o mesmo comprimento de 600 pés gregos. Eratosthenes estivera envolvido em várias pesquisas geográficas, nas quais as pessoas percorriam as distâncias entre as cidades do Egito. Então ele foi facilmente capaz de procurar a distância entre Alexandria e Syene. Foi gravado como 5000 estádios. Então, foi apenas uma questão de multiplicar isso por 50 para obter uma estimativa de 250000 estádios para o comprimento da Terra.

Então, quão exato ele era? Bem, isto depende. É amplamente divulgado que ele era incrivelmente preciso. Bem, certamente, ele era muito mais preciso do que o astrônomo grego Posidonius, que usava os ângulos das estrelas para estimar o comprimento da circunferência da Terra mais de 100 anos depois e apresentou uma resposta muito menor e muito mais imprecisa. Foi a estimativa de Posidonius que Cristóvão Colombo usou muitos séculos depois, quando partiu para encontrar uma rota diferente da Europa para a Ásia e aterrissou no continente americano.

Mas a Terra não é exatamente esférica. É o que chamamos de esferoide oblato. Então, é um pouco como uma esfera, mas espremida ligeiramente entre os polos - embora não tão exagerada quanto o meu diagrama sugere. Com toda a nossa tecnologia moderna, sabemos agora que, dependendo da maneira como você a mede, o comprimento é entre cerca de 40008 e 40075 quilômetros. E porque Eratosthenes estava tentando medir o comprimento através dos polos, o comprimento real que ele estava tentando medir estava perto de 40008 quilômetros.

Agora, é muito complicado interpretar a resposta de Eratosthenes de 250000 estádios e convertê-la em quilômetros para uma comparação. Escavações arqueológicas revelaram que os estádios esportivos gregos realmente variavam de tamanho. Os que conhecemos variam de cerca de 157 metros a 209 metros de comprimento. Então isso significaria que seu comprimento poderia ter sido tão baixo quanto 39250 quilômetros ou tão alto quanto 52250 quilômetros. Agora, muitas pessoas sugerem que ele teria usado o comprimento do Estádio Olímpico de 176.4 metros para sua unidade, o que teria feito o comprimento da Terra 44100 quilômetros, cerca de 10% maior que o comprimento real.

Mas o mais importante, como toda boa matemática escolar, não é apenas a resposta que precisamos pensar. É o método. Você pode encontrar uma resposta numérica quase perfeita para um problema. Mas talvez seja por coincidência se você usou um método incorreto. O mais impressionante é obter a resposta certa e mostrar que você usou um método válido para obtê-la.

Quando olhamos para o método e as suposições de Eratosthenes, descobrimos alguns problemas menores. E é importante entender isso antes de falarmos sobre a precisão ou a precisão da estimativa do comprimento da Terra. Quando você faz aproximações e pequenos erros em suas suposições, às vezes, você tem sorte e seus efeitos se anulam mutuamente. E às vezes, você fica sem sorte e seus efeitos se combinam para tornar sua resposta ainda mais incorreta.

Primeiramente, Eratosthenes supôs que a Terra é uma esfera perfeita. E como dissemos, isso não é bem verdade. Vamos olhar para essa comparação exagerada de uma Terra esférica com um esferoide oblato como a Terra realmente é. Você pode ver que esse comprimento ao redor dos polos tem a forma de uma elipse. E o mesmo ângulo no centro marcará uma parte de comprimento diferente da borda dependendo de quão perto do equador ou do polo você estiver.

Se essa distância de 5000 estádios entre as duas cidades estivesse próxima ao equador e você multiplicasse por 50, então estaria superestimando o comprimento. Mas se estava perto dos polos e você multiplicou por 50, então você estará subestimando isso. De fato, as duas cidades são cerca de 24.1 graus e 31.2 graus ao norte do equador. Então parece que estamos na região onde isso levará a uma leve superestimação da resposta que estamos procurando.

Em segundo lugar, ele imaginou que o Sol estava diretamente em Syene ao meio-dia no dia mais longo. Mas, a partir de nosso conhecimento moderno mais preciso, sabemos que a cidade estava um pouco abaixo de meio grau ao norte do que o ponto em que o Sol estaria diretamente acima do Trópico de Câncer. Isso significa que ele deveria ter subtraído uma pequena quantidade do tamanho da sombra em Alexandria para obter a diferença no comprimento das sombras entre as duas cidades. E isso o levaria a um ângulo ligeiramente menor entre a vertical e os raios do sol. Então ele deveria ter multiplicado os 5000 estádios por pouco mais de 50. E isso levou a uma subestimação do comprimento.

Em terceiro lugar, ele assumiu que os raios do Sol eram exatamente paralelos, mas na verdade estariam ligeiramente espalhados. Então a sombra que ele mediu em Alexandria era um pouco mais longa do que se fossem paralelas. E isso levaria a uma pequena superestimação do ângulo do centro da Terra e, portanto, uma pequena subestimativa do comprimento da Terra.

Em quarto lugar, é muito provável que este número arredondado para a distância entre as duas cidades seja impreciso, embora não saibamos ao certo se é uma subestimativa ou uma superestimativa. Por isso, é difícil saber qual impacto isso teria nos cálculos finais.

Por fim, ele assumiu que Alexandria estava diretamente ao norte de Syene, de modo que eles estavam na mesma circunferência. Mas, na verdade, há uma diferença de três graus entre suas longitudes. E um pouco de trabalho com o teorema de Pitágoras nos permite descobrir que a distância de 5000 estádios entre as duas cidades era até oito por cento maior que a distância entre as latitudes que ele realmente precisava. E isso levou a uma superestimativa do comprimento da Terra.

Então, no geral, o método de Eratosthenes estava basicamente correto, embora algumas de suas medições levassem a uma resposta que era muito grande, enquanto algumas das outras medições cancelaram alguns desses erros na outra direção, deixando-o com uma resposta que provavelmente era de 10 por cento muito grande no final.

Agora, pensando em como cada peça do quebra-cabeça é precisa e usando isso para analisar o quão longe sua resposta final pode ser, é uma coisa incrivelmente útil em matemática e engenharia do mundo real. Então Eratosthenes foi certamente um erudito notável e seu esforço para estimar o comprimento da Terra foi brilhante. Mas o trabalho dele também serve para destacar por que não devemos nos concentrar muito em apenas uma única resposta. Também podemos tentar calcular a confiança que temos nessa resposta e quais são os limites superiores e inferiores razoáveis, considerando a origem dos erros de medição e os erros de arredondamento que provavelmente teremos cometido ao longo do caminho.