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Vídeo da aula: Equação de uma reta: forma vetorial Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a equação de uma reta na forma vetorial.

18:28

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a equação de uma reta na forma vetorial. Existem muitas maneiras diferentes de escrever a equação de uma reta no plano 𝑥O𝑦. Vamos recordar algumas delas.

Em primeiro lugar, na forma reduzida, temos 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 é o declive ou o gradiente e 𝑏 é a interseção em 𝑦. Na forma de declive e ponto, temos 𝑦 menos 𝑦 índice zero é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 índice zero, onde mais uma vez 𝑚 é o declive e a reta passa pelo ponto 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero. Em terceiro lugar, temos a forma geral, que é 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶, onde 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são inteiros e 𝐴 é não negativo. Também é importante observar que apenas um de 𝐴 e 𝐵 pode ser zero.

Todos os três métodos têm vantagens e desvantagens. Como as formas interseção e declive e declive e ponto não permitem retas verticais, utilizaremos a forma vetorial de uma reta para superar isso. Podemos determinar o vetor posição de qualquer ponto numa reta utilizando um ponto conhecido 𝑃 com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero na reta que tem um vetor posição 𝐫 índice zero junto com qualquer vetor diferente de zero 𝐝 que seja paralelo ao linha. O vetor 𝐝 é chamado de vetor diretor da reta.

Isto leva-nos à seguinte definição. O vetor posição 𝐫 de qualquer ponto numa reta que contém o ponto 𝑃 com vetor posição 𝐫 índice zero é dado por 𝐫 é igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡 multiplicado por 𝐝, onde 𝐝 é o vetor diretor da reta e 𝑡 é qualquer escalar valor. Isto acontece porque, se o ponto 𝑃 estiver na reta, que é paralelo ao vetor diferente de zero 𝐝, podemos determinar o vetor posição de qualquer ponto na reta adicionando um múltiplo escalar de 𝐝 ao vetor posição de 𝑃.

Vamos considerar a reta com vetor diretor um, dois que passa pelo ponto com coordenadas um, tal que 𝐫 índice zero é igual a um, um. A equação vetorial desta reta será, portanto, igual a um, um mais 𝑡 multiplicado por um, dois. Podemos representar isto no plano de coordenadas. Sabemos que a reta passa pelo ponto com coordenadas um, um. O vetor diretor é um, dois. E lembramos que a primeira coordenada diz-nos o deslocamento horizontal e a segunda coordenada, o deslocamento vertical. Isto significa que o vetor um, dois representa o movimento uma unidade para a direita e duas unidades para cima. Nós movemo-nos ao longo da reta a partir do ponto um, um em múltiplos escalares do vetor diretor um, dois.

Se o múltiplo escalar for dois, o nosso vetor diretor torna -se dois, quatro. De facto, qualquer vetor diferente de zero paralelo à reta é um vetor diretor equivalente da reta, pois é-nos permitido considerar quaisquer múltiplos escalares do vetor diretor. Vamos agora considerar como podemos determinar as interseções com O𝑥 e O𝑦 utilizando a forma vetorial da equação de uma reta.

Para determinar as interseções com O𝑥 e O𝑦, definimos cada coordenada da equação vetorial igual a zero e, em seguida, resolvemos para 𝑡. Recordando a equação vetorial de uma reta que vimos anteriormente, sabemos que este vetor terá coordenadas em 𝑥 e em 𝑦. Quando a reta interseta o eixo O𝑦, sabemos que 𝑥 é igual a zero. Simplificando o segundo membro da nossa equação, temos as coordenadas um mais 𝑡 e um mais dois 𝑡. Podemos então igualar as coordenadas 𝑥. E resolver isto dá-nos 𝑡 igual a menos um. Como 𝑦 é igual a um mais dois 𝑡, 𝑦 também é igual a menos um. Podemos, portanto, concluir que a interseção com O𝑦 ocorre em 𝑦 igual a um.

Utilizando o mesmo método e definindo a coordenada em 𝑦 igual a zero, vemos que a reta interseta o eixo O𝑥 em 𝑥 igual a um meio. Observámos anteriormente que há uma grande vantagem em utilizar a equação vetorial de uma reta; ou seja, podemos determinar a equação vetorial de qualquer reta, incluindo as verticais.

Antes de passarmos para alguns exemplos específicos, vamos considerar isto. A reta 𝑥 igual a um que passa pelo ponto menos um, zero e a sua direção é vertical. Isto significa que não tem direção horizontal. Isto significa que a primeira coordenada do vetor diretor será igual a zero. Utilizando a forma vetorial da equação de uma reta, vemos que 𝐫 é igual a menos um, zero mais 𝑡 multiplicado por zero, um. Isto pode ser visto no plano 𝑥O𝑦, como se mostra. Temos um vetor posição menos um, zero e um vetor diretor zero, um. Vamos agora examinar algumas questões específicas que envolvem a equação vetorial de uma reta.

Escreva a equação vetorial da reta que passa pelo ponto seis, menos nove com vetor diretor nove, menos dois. É (A) 𝐫 igual a nove, menos dois mais 𝑘 multiplicado por seis, menos nove? (B) 𝐫 é igual a seis, menos nove mais 𝑘 multiplicado por nove, menos dois. É a opção (C) 𝑘 igual a seis, menos nove mais vetor 𝐫 multiplicado por nove, menos dois? Ou a opção (D) 𝑘 é igual a nove, menos dois mais vetor 𝐫 multiplicado por seis, menos nove.

Começamos por lembrar que a equação vetorial de uma reta é escrita na forma 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡 multiplicado por 𝐝, onde 𝐫 índice zero é um vetor posição de um ponto na reta e 𝐝 é o vetor diretor da reta. Nesta questão, temos ambos. À medida que a reta passa pelo ponto seis, menos nove, 𝐫 índice zero é igual a seis, menos nove. Também nos é dito que o vetor diretor é nove, menos dois. Portanto, 𝐫 é igual a seis, menos nove mais 𝑡 multiplicado por nove, menos dois. Observando que o valor de 𝑡 pode ser qualquer quantidade escalar, para corresponder às opções, será igual a 𝑘. A resposta correta é, portanto, a opção (B).

Antes de passar para o nosso próximo exemplo, consideraremos como podemos escrever a equação de uma reta, dado o seu declive. Sabemos que o declive ou o gradiente de qualquer reta é igual à variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥. Vamos começar por considerar a reta desenhada com declive menos oito sobre três. Isto significa que para cada três unidades que nos movemos horizontalmente para a direita, precisamos de nos mover oito unidades verticalmente para baixo. Isto também pode ser escrito como o vetor três, menos oito.

É importante notar que isto é equivalente ao vetor diretor menos três, oito. Isto demonstra uma propriedade útil para determinar o vetor diretor quando dado o declive de uma reta. Se uma reta tiver declive 𝑚, a reta terá vetor diretor um, 𝑚. Quando o declive é igual a uma fração 𝑝 sobre 𝑞 como neste caso, a reta terá vetor diretor 𝑞, 𝑝. Agora, veremos um exemplo em que utilizaremos estas informações.

Determine a equação vetorial da reta que passa pelos pontos seis, menos sete e menos quatro, seis. É (A) 𝐫 igual a seis, menos sete mais 𝑘 multiplicado por 10, menos 13? (B) 𝐫 igual a menos quatro, seis mais 𝑘 multiplicado por menos 13, 10. (C) 𝐫 igual a seis, menos quatro mais 𝑘 multiplicado por menos sete, seis. Ou (D) 𝐫 igual a menos quatro, seis mais 𝑘 multiplicado por 10, 13.

Começamos por lembrar que a equação vetorial de uma reta é escrita na forma 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑘 multiplicado por 𝐝, onde 𝐫 índice zero é o vetor posição de qualquer ponto que esteja na reta, 𝐝 é o vetor diretor da reta e 𝑘 é qualquer escalar. Deram-nos as coordenadas de dois pontos, seis, menos sete e menos quatro, seis, ambos na reta. E podemos utilizar qualquer um deles como o vetor posição para ajudar a determinar a equação vetorial da reta. Na opção (A), o vetor posição é seis, menos sete. E nas opções (B) e (D), o vetor posição é menos quatro, seis.

Vamos começar deixando o vetor posição 𝐫 índice zero ser seis, menos sete. Agora precisamos de determinar o vetor diretor, dados os dois pontos que estão na reta. Lembramos que o declive de qualquer reta é igual à variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥. Substituindo os pontos dados, vemos que o declive é igual a menos sete menos seis sobre seis menos menos quatro. Isto é igual a menos 13 sobre 10. Recordando que qualquer reta com declive 𝑚 igual a 𝑝 sobre 𝑞 tem vetor diretor 𝑞, 𝑝, vemos que o vetor diretor aqui é igual a 10, menos 13. Como este é um vetor diretor possível da nossa reta, temos 𝐫 igual a seis, menos sete mais 𝑘 multiplicado por 10 menos 13.

Percebemos que esta corresponde à opção (A), provando que esta é a equação vetorial da reta que passa pelos pontos seis, menos sete e menos quatro, seis. Olhando para as outras opções, lembramos que as opções (B) e (D) realmente passam pelo ponto menos quatro, seis. No entanto, não têm um vetor diretor que seja igual ou paralelo a 10, menos 13. Podemos, portanto, descartar as opções (B) e (D). O vetor diretor da opção (C) é menos sete, seis. E este também não é paralelo ao vetor diretor 10, menos 13.

Neste ponto, vale a pena recordar que a equação vetorial de uma reta não é única. Outras possíveis equações vetoriais da reta a partir das informações dadas são 𝐫 igual a menos quatro, seis mais 𝑘 multiplicado por 10, menos 13; 𝐫 é igual a seis, menos sete mais 𝑘 multiplicado por menos 10, 13; e 𝐫 é igual a menos quatro, seis mais 𝑘 multiplicado por menos 10, 13. Os vetores diretor nas duas últimas opções movem-se em sentido oposto. Qualquer uma destas quatro soluções é válida. No entanto, o único que foi dado como uma das opções é 𝐫 igual a seis, menos sete mais 𝑘 multiplicado por 10, menos 13.

Isto leva-nos a um resultado útil sobre como determinar o vetor diretor de uma reta quando temos dois pontos distintos na reta. Dados dois pontos distintos 𝐴 e 𝐵 com coordenadas 𝑥 índice um, 𝑦 índice um e 𝑥 índice dois, 𝑦 índice dois, a equação vetorial da reta que passa por eles é igual a 𝑥 índice um, 𝑦 índice um mais 𝑘 multiplicado por 𝑥 índice dois menos 𝑥 índice um, 𝑦 índice dois menos 𝑦 índice um.

Também podemos utilizar esta informação para determinar se três pontos no plano 𝑥O𝑦 são colineares. Veremos um exemplo disto na nossa questão final.

Utilizando a forma vetorial da equação de uma reta, identifique se os pontos são menos sete, cinco; menos um, dois; e cinco, menos um são colineares.

Recordamos que um conjunto de pontos é considerado colinear se todos os pontos estiverem na mesma reta. Existem várias maneiras de verificar isto. Uma maneira é começar por determinar a equação entre um par de pontos e, em seguida, verificar se o terceiro ponto satisfaz isso. Começaremos por determinar a equação vetorial da reta que passa por menos sete, cinco e menos um, dois. Recordamos que esta reta tem a equação 𝐫 igual a 𝑥 índice um, 𝑦 índice um mais 𝑘 multiplicado por 𝑥 índice dois menos 𝑥 índice um, 𝑦 índice dois menos 𝑦 índice um.

Substituindo os valores dados, o segundo membro torna-se menos sete, cinco mais 𝑘 multiplicado por menos um menos sete, dois menos cinco. Isto, por sua vez, simplifica para menos sete, cinco mais 𝑘 multiplicado por seis, menos três. Agrupando as coordenadas correspondentes no segundo membro, temos 𝐫 igual a menos sete mais seis 𝑘, cinco menos três 𝑘. Se os três pontos forem colineares, o nosso terceiro ponto cinco, menos um estará nesta reta. Podemos verificar isto substituindo o seu vetor posição cinco, menos um na equação vetorial da reta. Igualando as coordenadas, temos cinco é igual a menos sete mais seis 𝑘 e menos um é igual a cinco menos três.

Podemos resolver a primeira equação adicionando sete a ambos os membros e dividindo por seis. Isto dá-nos 𝑘 igual a dois. A segunda equação também dá-nos uma solução de 𝑘 igual a dois. Como este valor de 𝑘 é o mesmo, podemos concluir que o ponto cinco, menos um, está na reta. A resposta correta é, portanto, sim, os três pontos são colineares. Isto também pode ser representado graficamente no plano 𝑥O𝑦.

Vamos agora terminar este vídeo resumindo os pontos principais. A equação vetorial de uma reta pode ser escrita na forma 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡 multiplicado por 𝐝, onde 𝐫 índice zero é o vetor posição de qualquer ponto que esteja na reta, 𝐝 é o vetor diretor da reta , e 𝑡 é qualquer escalar. Se tivermos dois pontos distintos 𝐴 e 𝐵 que pertencem à reta, podemos determinar o seu vetor diretor como se mostra, onde as coordenadas dos dois pontos são 𝑥 índice um, 𝑦 índice um e 𝑥 índice dois, 𝑦 índice dois.

Também vimos neste vídeo que uma reta de declive 𝑚 tem vetor diretor um, 𝑚. E se este valor de 𝑚 for igual à fração 𝑝 sobre 𝑞, então o vetor diretor pode ser escrito 𝑞, 𝑝. Também vimos que a equação vetorial de uma reta não é única, pois podemos escolher qualquer ponto que esteja na reta como vetor posição e qualquer vetor diferente de zero paralelo à reta como vetor diretor. Finalmente, vimos que quaisquer três ou mais pontos são colineares se os vetores diretor entre cada par de pontos forem equivalentes.

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