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Determine o limite da raiz quadrada de quatro 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥 mais um
quando 𝑥 se aproxima de nove.
Acontece que podemos calcular esse limite por substituição direta. O valor o qual 𝑥 está se aproximando é nove. E nós apenas substituímos este valor por 𝑥 na expressão que temos.
Agora temos a raiz quadrada de quatro vezes nove ao quadrado menos nove vezes nove
mais um. Agora tudo o que temos a fazer é calcular esse radical. Sob o símbolo radical, obtemos 244. E como 244 é dois ao quadrado vezes 61, podemos simplificar esse radical. E fazendo isso, obtemos dois raiz quadrada de 61. Este é o valor do limite que obtemos substituindo diretamente. Mas o que nos justifica usar a substituição direta para calcular esse limite?
Vamos abrir algum espaço para discutir isso. Seja 𝑓 de 𝑥 a coisa que estamos tentando encontrar o limite de, isto é, a raiz
quadrada de quatro 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥 mais um. Então o limite que temos que encontrar é o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima
de nove. E assumimos que poderíamos encontrar este limite substituindo diretamente nove por
𝑥, dando-nos no lado direito da equação apenas 𝑓 de nove.
E aqui você pode verificar que a raiz quadrada de quatro vezes nove ao quadrado menos
nove vezes nove mais um é realmente 𝑓 de nove. Apenas como um aparte, você pode saber que esta é uma definição para 𝑓 ser contínua
em 𝑥 igual a nove. Não se preocupe se você não se deparar com essa definição. O importante é que podemos justificar nosso uso de substituição direta usando as
propriedades dos limites.
A primeira propriedade que usamos é que podemos trocar a ordem em que tomamos o
limite e a raiz quadrada. Assim, o limite da raiz quadrada de quatro 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥 mais um é
apenas a raiz quadrada do limite de quatro 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥 mais um.
E você já deve saber que pode calcular o limite dentro da raiz quadrada usando a
substituição direta. E isso nos levaria para a linha acima e de lá para nossa resposta.
Alternativamente, podemos usar outra propriedade de limite: que o limite de uma soma
de funções é a soma dos limites das funções. E isso realmente vale, não importa quantas funções existam na soma. Assim, podemos encontrar o limite de cada termo individualmente. Estes três limites podem ser calculados por substituição direta. E isso nos levaria à linha de cima e à nossa resposta.
Mas à medida que chegamos até aqui, podemos justificar por que podemos usar a
substituição direta para encontrar esses limites. O limite de um número vezes uma função é apenas esse número vezes o limite da
função. Portanto, o limite de quatro vezes 𝑥 ao quadrado é quatro vezes o limite de 𝑥 ao
quadrado. E o limite de nove vezes 𝑥 é nove vezes o limite de 𝑥. Nós deixamos o limite de um como é.
Uma coisa mais que podemos fazer é escrever o limite de 𝑥 ao quadrado como o
quadrado do limite de 𝑥. Isto vem de mais uma das nossas propriedades de limites: que o limite da potência de
uma função é aquela potência do limite da função.
Agora temos o valor que queremos em termos do limite de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de
nove e o limite da função constante de um conforme 𝑥 se aproxima de nove. E se aceitarmos que os valores desses limites são nove e um, respectivamente, então
temos o que temos na linha de cima. Mas não devemos justificar o uso da substituição direta mesmo para funções tão
simples?
Bem, na verdade, transformamos isso em propriedades. O limite da função identidade de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑐 é apenas 𝑐 para
qualquer número 𝑐. E o limite de uma função constante 𝑘 quando 𝑥 se aproxima de 𝑐 novamente para
qualquer número 𝑐 é a constante 𝑘.
Você pode pensar que isso é uma fraude, que essas duas não são realmente propriedades
de limites; elas são apenas valores de limites. Mas a verdade é que, se só pudermos escrever um limite em termos de alguns outros
limites, não poderemos calcular nenhum deles.
As propriedades de limites, incluindo o limite da função identidade de 𝑓 de 𝑥 igual
a 𝑥 e o limite de uma função constante 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘, são os ingredientes que
precisamos para encontrar outros limites. Se você concorda com as propriedades de limites como as escrevemos, então você terá
que concordar que o limite da raiz quadrada de quatro 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥
mais um quando 𝑥 se aproxima de nove é dois raiz de 61. E se você não concorda que este é o valor do nosso limite, então você deve ser capaz
de apontar qual propriedade de limite você não concorda.
Essas propriedades de limites também não são arbitrárias. Elas devem parecer relativamente razoáveis se você pensar sobre o que um limite
significa intuitivamente. E essas propriedades de limite também podem ser provadas usando uma definição mais
formal de limite envolvendo epsilons e deltas, que você pode ver mais tarde.
