Vídeo: Combinações das Regras do Produto, do Quociente e da Função Composta

Neste vídeo, vamos aprender como determinar a primeira derivada de uma função utilizando combinações das regras do produto, do quociente e da função composta.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como três regras de derivação podem ser combinadas para permitir a derivação de funções mais complexas. Recordamos estas três regras, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da função composta. E, em seguida, aplicaremos combinações destas regras nalguns exemplos diferentes.

Primeiro, vamos relembrar estas três regras e as suas utilizações. A primeira regra é a regra do produto, que nos permite derivar produtos de funções. Diz-nos que a derivada do produto 𝑓𝑔, que é 𝑓𝑔 linha, é igual a 𝑓𝑔 linha mais 𝑓 linha 𝑔. O que estamos a fazer é multiplicar cada função pela derivada da outra e a adicioná-las.

A segunda regra é a regra do quociente, que nos permite derivar quocientes de funções, que é 𝑓 sobre 𝑔. E diz-nos que a derivada de 𝑓 sobre 𝑔 é igual a 𝑔𝑓 linha menos 𝑓𝑔 linha sobre 𝑔 ao quadrado. Agora, é importante observar que, ao contrário da regra do produto, que é simétrica em 𝑓 e 𝑔, a regra do quociente não é simétrica em 𝑓 e 𝑔. Portanto, devemos garantir que definimos 𝑓 como a função no numerador e 𝑔 como a função no denominador.

A terceira regra é a regra da função composta, que nos permite derivar funções compostas; isto é, funções de outras funções. Aqui, temos a função 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, o que significa que aplicamos 𝑓 primeiro e depois aplicamos 𝑔. A sua derivada é dada por 𝑓 linha de 𝑥 multiplicado por 𝑔 linha de 𝑓 de 𝑥. Esta é a derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa, com a função interna ainda dentro dela.

É importante esclarecer os diferentes usos da notação. Na regra do produto, 𝑓𝑔 significa 𝑓 multiplicado por 𝑔. Enquanto na regra da função composta, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 significa a função composta que obtemos quando aplicamos 𝑓 primeiro e depois aplicamos 𝑔. Também podemos escrever cada uma destas regras utilizando a notação de Leibniz. E é mais comum utilizar as letras 𝑢 e 𝑣 quando o fazemos, embora isso não seja importante.

A regra do produto diz-nos que a derivada em ordem a 𝑥 de 𝑢𝑣 é igual a 𝑢 d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 d𝑢 sobre d𝑥. A regra do quociente diz-nos que a derivada em ordem a 𝑥 de 𝑢 sobre 𝑣 é igual a 𝑣 d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. E finalmente, a regra da função composta diz-nos que se 𝑦 é igual à função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, e definimos 𝑢 como sendo 𝑓 de 𝑥, para que 𝑦 se torne uma função de 𝑢, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑢. Então, d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Derivamos 𝑦 em ordem a 𝑢 e depois multiplicamos pela derivada de 𝑢 em ordem a 𝑥. Agora aplicaremos combinações destas três regras nalguns exemplos.

Determine a primeira derivada de 𝑦 igual 𝑥 menos cinco multiplicado por 𝑥 menos dois elevado a seis em um, menos quatro.

Vamos começar por considerar esta função que nos foi dada. Podemos ver que é um produto de duas funções, 𝑥 menos cinco e 𝑥 menos dois elevado a seis. Isso sugere que precisamos de utilizar a regra do produto para determinar esta derivada. Portanto, podemos definir uma função para ser 𝑓 e a outra função para ser 𝑔. Aqui está a regra do produto, mas, como é simétrica em 𝑓 e 𝑔, não importa em que ordem fazemos esta definição. Temos então que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos cinco e 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos dois elevado a seis.

E, para aplicar a regra do produto, precisamos de determinar as derivadas de 𝑓 e 𝑔. 𝑓 linha de 𝑥 é direta. É apenas um. Mas e quanto a 𝑔 linha? Temos um expoente seis e certamente não queremos desembaraçar todos os parênteses para dar um polinómio. Então, como vamos determinar esta derivada? 𝑔 é, na verdade, uma função composta, o que significa que podemos aplicar a regra da função composta para determinar a sua derivada, d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicada por d𝑢 sobre d𝑥. Podemos alterar os 𝑦s na regra da função composta para 𝑔s. E a seguir, deixamos que 𝑢 seja igual a 𝑥 menos dois, o que torna 𝑔 igual a 𝑢 elevado a seis.

A derivada de 𝑢 em ordem a 𝑥 é um. E, aplicando a regra das potências, a derivada de 𝑔 em ordem a 𝑢 é seis 𝑢 elevado a cinco. A aplicação da regra da função composta, d𝑔 sobre d𝑥 é igual a seis 𝑢 elevado a cinco, que é d𝑔 sobre d𝑢, multiplicado por um, que é d𝑢 sobre d𝑥. Mas é claro que multiplicar por um não tem efeito. Assim, d𝑔 sobre d𝑥 é igual a seis 𝑢 elevado a cinco.

No entanto, precisamos que esta derivada seja em termos de 𝑥, portanto, devemos inverter a substituição. 𝑢 é igual a 𝑥 menos dois, então d𝑔 sobre d𝑥 em termos de 𝑥 é igual a seis multiplicado por 𝑥 menos dois elevado a cinco. Também poderíamos ter visto isso aplicando a extensão da regra da função composta à regra das potências. Agora que determinámos cada derivada, podemos começar a substituir a regra do produto para determinar o derivado de 𝑦.

d𝑦 sobre d𝑥 será igual a 𝑓, que é 𝑥 menos cinco, multiplicado por 𝑔 linha, que é seis multiplicado por 𝑥 menos dois elevado a cinco. Em seguida, adicionamos 𝑓 linha, que é apenas um, multiplicado por 𝑔, que é 𝑥 menos dois elevado a seis. Podemos simplificar considerando um fator comum de 𝑥 menos dois elevado a cinco. E, em seguida, simplificando neste segundo parênteses dá 𝑥 menos dois elevado a cinco multiplicado por sete 𝑥 menos 32. Portanto, determinámos a primeira derivada de 𝑦.

Mas nos pedem para calcular esta derivada num ponto particular, o ponto um, menos quatro. Isso significa que precisamos de fazer uma substituição. Precisamos de substituir o valor de 𝑥 nesse ponto na nossa função de declives, dando um menos dois elevado a cinco multiplicado por sete multiplicado por um menos 32. Isso dá menos um elevado a cinco multiplicado por menos 25, que é 25.

Portanto, nesta questão, solicitaram-nos uma combinação das regras do produto e da função composta para responder a este problema.

A seguir, consideraremos um exemplo que requer uma combinação diferente de regras.

Determine a derivada da função 𝑔 de 𝑢 igual 𝑢 ao quadrado mais cinco sobre 𝑢 ao quadrado menos um tudo elevado a quatro.

Vamos começar por considerar as regras que serão úteis para nós nesta questão. Podemos ver que temos um quociente, 𝑢 ao quadrado mais cinco sobre 𝑢 ao quadrado menos um. Então, precisamos de utilizar a regra do quociente. Escrevi a regra do quociente aqui utilizando 𝑝s e 𝑞s, porque já temos 𝑢 e 𝑔 na questão. Portanto, isso permitir-nos-á determinar a derivada desta expressão entre parênteses.

Mas ainda temos este expoente quatro. Permitiremos que 𝑣 seja igual à expressão entre parênteses. É igual a 𝑢 ao quadrado mais cinco sobre 𝑢 ao quadrado menos um. Então, 𝑔 será igual a 𝑣 elevado a quatro. E podemos aplicar a regra da função composta, d𝑔 sobre d𝑢 é igual a d𝑔 sobre d𝑣 multiplicado por d𝑣 sobre d𝑢.

d𝑔 sobre d𝑣 pode ser facilmente calculado aplicando a regra das potências. É igual a quatro 𝑣 ao cubo. Mas, para calcular d𝑣 sobre d𝑢, precisamos de aplicar a regra do quociente. Seja 𝑝 igual ao numerador de 𝑣, que é 𝑢 ao quadrado mais cinco, e 𝑞 igual ao denominador, que é 𝑢 ao quadrado menos um. d𝑝 sobre d𝑢 e d𝑞 sobre d𝑢 podem ser determinados aplicando a regra das potências. Estes são iguais a dois 𝑢. Agora, podemos substituir na regra do quociente para determinar d𝑣 sobre d𝑢.

Temos 𝑞, é 𝑢 ao quadrado menos um, multiplicado por 𝑝 linha ou d𝑝 sobre d𝑢, ou seja, dois 𝑢 menos 𝑝, que é 𝑢 ao quadrado mais cinco, multiplicado por 𝑞 linha ou d𝑞 sobre d𝑢, ou seja, dois 𝑢. Tudo é dividido por 𝑞 ao quadrado, ou seja, 𝑢 menos um ao quadrado. Agora, vamos simplificar. Desembaraçando os parênteses no numerador, temos dois 𝑢 ao cubo menos dois 𝑢 menos dois 𝑢 ao cubo menos 10𝑢. E a seguir, o denominador permanece 𝑢 ao quadrado menos um ao quadrado. Os dois 𝑢 ao cubo anulam-se, deixando menos 12𝑢 sobre 𝑢 ao quadrado menos um ao quadrado.

Agora, excluiremos alguns deste trabalho da regra do quociente para criar espaço na página. Agora temos então que d𝑔 sobre d𝑣 é igual a quatro 𝑣 ao cubo e d𝑣 sobre d𝑢 é igual a menos 12𝑢 sobre 𝑢 ao quadrado menos um tudo ao quadrado. Portanto, podemos substituir na regra da função composta. d𝑔 sobre d𝑢 é igual a quatro 𝑣 ao cubo multiplicado por menos 12𝑢 sobre 𝑢 ao quadrado menos um tudo ao quadrado. Agora, lembre-se de que d𝑔 sobre d𝑢 deve ser apenas em termos de 𝑢. Então, precisamos de inverter a nossa substituição.

𝑣 é igual a 𝑢 ao quadrado mais cinco sobre 𝑢 ao quadrado menos um. Portanto, temos quatro 𝑢 ao quadrado mais cinco sobre 𝑢 ao quadrado menos um tudo ao cubo multiplicado por menos 12𝑢 sobre 𝑢 ao quadrado menos um tudo ao quadrado. Simplificando dá menos 48𝑢 multiplicado por 𝑢 ao quadrado mais cinco ao cubo tudo ao quadrado menos 𝑢 ao quadrado menos um elevado a cinco.

Nesta questão, vimos então que precisávamos de aplicar uma combinação das regras do quociente e da função composta para determinar a derivada da função 𝑔 de 𝑢.

Vamos agora ver um exemplo que envolve funções trigonométricas.

Determine a derivada da função 𝑠 de 𝑡 igual à raiz quadrada de menos sen 𝑡 mais sete sobre o menos cos 𝑡 mais sete.

Agora, podemos ver logo nesta questão que temos um quociente. Então, precisaremos de aplicar a regra do quociente a dada altura. Mas vamos precisar de fazer mais alguma coisa? Bem, não temos apenas este quociente. Temos a raiz quadrada deste quociente, o que significa que temos uma função composta. E assim, também precisaremos de aplicar a regra da função composta. Começaremos permitindo que 𝑢 seja este quociente debaixo da raiz quadrada. 𝑢 é igual a menos sen 𝑡 mais sete sobre menos cos 𝑡 mais sete. Então, 𝑠 torna-se uma função de 𝑢. É igual à raiz quadrada de 𝑢, que podemos escrever utilizando a notação de índice como 𝑢 elevado a um meio.

A regra da função composta, utilizando as letras 𝑠, 𝑡 e 𝑢 como temos nesta questão, diz-nos que a derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡 é igual a d𝑠 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑡. Aplicando a regra das potências, vemos que d𝑠 sobre d𝑢 é igual a um meio 𝑢 elevado a menos um meio. Mas, para determinar d𝑢 sobre d𝑡, vamos precisa de aplicar a regra do quociente.

Definiremos 𝑓 a função no numerador, que é menos sen 𝑡 mais sete, e 𝑔 a função no denominador, menos cos 𝑡 mais sete. Para determinar as derivadas destas duas funções, precisamos de recordar como derivamos sen e cos. Há um pequeno ciclo útil que nos podemos lembrar. A derivada de sen 𝑡 é cos 𝑡. A derivada de cos 𝑡 é menos sen 𝑡. A derivada de menos sen 𝑡 é menos cos 𝑡. E a derivada de menos cos 𝑡 é sen 𝑡. E, em seguida, damos a volta ao ciclo novamente.

Lembrando que a derivada de uma constante é apenas zero, temos que 𝑓 linha é igual a menos cos 𝑡 e 𝑔 linha é igual a sen 𝑡. Agora, podemos substituir na regra do quociente para determinar d𝑢 sobre d𝑡. É 𝑔, que é menos cos 𝑡 mais sete, multiplicado por 𝑓 linha, menos cos 𝑡, menos 𝑓, que é menos sen 𝑡 mais sete, multiplicado por 𝑔 linha, que é sen 𝑡, tudo sobre 𝑔 ao quadrado. Agora, precisamos de fazer alguma simplificação. Portanto, desembaraçaremos os parênteses no numerador, que dá cos ao quadrado de 𝑡 menos sete cos 𝑡 mais sen ao quadrado de 𝑡 menos sete sen 𝑡 sobre menos cos 𝑡 mais sete ao quadrado.

Podemos lembrar, neste ponto, que uma das nossas identidades trigonométricas, cos ao quadrado de 𝑡 mais sen ao quadrado de 𝑡 é igual a um. Então, isto simplifica para um menos sete cos 𝑡 menos sete sen 𝑡 sobre menos cos 𝑡 mais sete ao quadrado. Agora que determinamos d𝑢 sobre d𝑡 e d𝑠 sobre d𝑢, podemos substituir a regra da função composta. Temos então que d𝑠 sobre d𝑡 é igual a d𝑠 sobre d𝑢, isso é um meio 𝑢 menos um meio, multiplicado por d𝑢 sobre d𝑡, que é um menos sete cos 𝑡 menos sete sen 𝑡 sobre menos cos 𝑡 mais sete ao quadrado.

Lembre-se, porém, que d𝑠 sobre d𝑡 deve estar apenas em termos de 𝑡. Então, precisamos de inverter a nossa substituição. Temos menos sen 𝑡 mais sete sobre menos cos 𝑡 mais sete elevado a menos um meio multiplicado por um menos sete cos 𝑡 menos sete sen 𝑡 mais dois multiplicados por menos cos 𝑡 mais sete ao quadrado. Este expoente de menos um meio significa uma inversão, pelo que possamos lidar com isto invertendo a fração. E a primeira parte torna-se menos cos 𝑡 mais sete sobre menos sen 𝑡 mais sete elevado a um meio.

Podemos então simplificar as potências. Temos menos cos 𝑡 mais sete elevado a um meio no numerador e menos cos de 𝑡 mais sete elevado a dois no denominador. O que levará a um expoente de menos três sobre dois no total. Isso é um expoente de três sobre dois no denominador. Isso nos leva a um menos sete cos 𝑡 menos sete sen 𝑡 no numerador. E no denominador dois vezes a raiz quadrada de menos sen 𝑡 mais sete. Isso é menos sen 𝑡 mais sete elevado a um meio multiplicado por menos cos 𝑡 mais sete elevado a três sobre dois.

Nesta questão, vimos que podemos aplicar a regra do quociente e da função composta a um problema que envolve as derivadas de funções trigonométricas.

Vamos resumir o que vimos neste vídeo. Recordámos das três regras principais, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da função composta, cada uma escrita aqui utilizando a notação de Leibniz. Vimos que estas três regras podem ser utilizadas em conjunto para determinar derivadas de funções mais complexas.

E, embora não tenhamos dado um exemplo neste vídeo, é claro que podemos aplicar cada regra várias vezes, se o problema exigir. Estas três regras são incrivelmente poderosas. E, combinando-as ou utilizando a mesma regra em sucessão, abre uma ampla classe de funções complexas cujas derivadas agora podemos determinar.

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