Vídeo: Encontrando uma Expressão que Representa a Taxa de Variação do Volume de um Cubo Utilizando Taxas Relacionadas

Se 𝑉 é o volume de um cubo com comprimento de aresta 𝑥 e o cubo se expande à medida que o tempo passa, forneça uma expressão para 𝑑𝑉/𝑑𝑡.

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Transcrição do vídeo

Se 𝑉 é o volume de um cubo com comprimento de aresta 𝑥 e o cubo se expande com o passar do tempo, forneça uma expressão para 𝑑𝑉 𝑑𝑡.

Então, primeiro de tudo, vou dar uma olhada no que realmente temos na pergunta. Sabemos que 𝑉 é o volume e 𝑥 é o comprimento da aresta. Assim, podemos dizer que 𝑉 é igual a 𝑥 ao cubo. Então o volume é igual a 𝑥 ao cubo. E isso porque, se tentássemos calcular o volume de um cubo, tudo o que fazemos é elevar um dos comprimentos dos lados ao cubo. Ok, ótimo, então temos nossa primeira pequena expressão lá.

E agora, o próximo passo seria calcular 𝑑𝑉 𝑑𝑥. Então, vamos derivar o valor que tínhamos anteriormente, que era igual a 𝑥 ao cubo. Então, 𝑑𝑉 𝑑𝑥 pode ser igual a três 𝑥 ao quadrado. E chegamos a isso porque, se multiplicarmos o expoente pelo coeficiente, são três multiplicados por um, o que nos dá três. E então, tudo o que fizemos foi reduzir o expoente em um porque três menos um nos dão dois. Então nós temos três 𝑥 ao quadrado.

Agora que estamos procurando encontrar 𝑑𝑉 𝑑𝑡, vamos usar a regra da cadeia, que afirma que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 multiplicado por 𝑑𝑡 𝑑𝑥. Bem, no nosso caso, vamos pegar 𝑑𝑉 𝑑𝑡 porque isso é como 𝑑𝑦 𝑑𝑥, que será igual a 𝑑𝑉 𝑑𝑥 multiplicado por 𝑑𝑥 𝑑𝑡. E nós entendemos isso porque, se dermos uma olhada, nossos termos 𝑑𝑥 realmente se cancelarão porque teremos um 𝑑𝑥 no numerador e 𝑑𝑥 no denominador. Então, vamos pegar 𝑑𝑉 𝑑𝑡.

Ok, já sabemos 𝑑𝑉 𝑑𝑥 do nosso passo anterior. No entanto, não sabemos 𝑑𝑥 𝑑𝑡. Assim, o 𝑑𝑉 𝑑𝑥 significa na prática, que é a variação do volume do cubo ao longo do tempo, e é igual a três 𝑥 ao quadrado 𝑑𝑥 𝑑𝑡.

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