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Vídeo da aula: Propriedades da Multiplicação de Matrizes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como identificar as propriedades de multiplicação de matrizes, incluindo a transposição do produto de duas matrizes, e como elas se comparam com as propriedades de multiplicação de números.

17:25

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar as propriedades da multiplicação de matrizes e compará-las às propriedades de multiplicação de números. Começaremos lembrando como multiplicamos duas matrizes e definimos as propriedades que elas devem ter para que possamos fazer isso.

Só podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas na primeira matriz for igual ao número de linhas na segunda matriz, por exemplo, uma matriz três por dois e uma matriz dois por cinco. Existem duas colunas na primeira matriz e duas linhas na segunda. A matriz resultante terá três linhas e cinco colunas. Este é o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda.

Em geral, podemos multiplicar uma matriz 𝑚 por 𝑛 com uma matriz 𝑛 por 𝑝, o que resulta em uma matriz 𝑚 por 𝑝. Isso pode ser demonstrado como mostrado. A matriz 𝐴 tem elementos de 𝑎 um a 𝑎 𝑚𝑛, e a matriz 𝐵 tem elementos de 𝑏 um um a 𝑏 𝑛𝑝. Multiplicando a matriz 𝐴 por matriz 𝐵 dá a matriz 𝐶, com elementos de 𝑐 um um a 𝑐 𝑚𝑝. Cada um dos elementos da matriz 𝐶 pode ser calculado usando a seguinte fórmula. O termo geral 𝑐 𝑖𝑗 é igual à soma de 𝑘 igual a um a 𝑘 igual a 𝑛 de 𝑎 𝑖𝑘 multiplicado por 𝑏 𝑘𝑗, onde 𝑎 𝑖𝑘 e 𝑏 𝑘𝑗 são os termos gerais na matriz 𝐴 e 𝐵. Isso é igual à soma de 𝑎 𝑖 um multiplicado por 𝑏 um 𝑗 e assim por diante até 𝑎 𝑖𝑛 multiplicado por 𝑏 𝑛𝑗.

Vamos agora considerar como isso funciona em um exemplo prático.

Dado que a matriz 𝐴 é igual a menos quatro, dois, dois, menos quatro e a matriz 𝐵 é igual a menos três, menos três, menos um, um, encontre 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴.

Lembramos que só podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Como ambas as nossas matrizes são dois por dois, isso será válido para 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴. Vamos começar multiplicando a matriz 𝐴 pela matriz 𝐵. Ao multiplicar duas matrizes, multiplicamos os elementos de cada linha na primeira matriz pelos elementos de cada coluna na segunda matriz.

O primeiro elemento na matriz 𝐴𝐵 será igual a menos quatro multiplicado por menos três mais dois multiplicado por menos um. Isso é igual a 10, já que menos quatro multiplicado por menos três são 12 e dois multiplicado por menos um são menos dois. O elemento superior direito na matriz 𝐴𝐵 será igual a menos quatro multiplicado por menos três mais dois multiplicados por um. Isso é igual a 14.

Agora repetimos esse processo multiplicando os números da segunda linha da matriz 𝐴 pelas colunas da matriz 𝐵. Dois multiplicado por menos três mais meos quatro multiplicado por menos um é igual a menos dois. E dois multiplicado por menos três mais menos quatro multiplicado por um é igual a menos 10. A matriz 𝐴𝐵 é igual a 10, 14, menos dois, menos 10.

Agora precisamos repetir esse processo para a matriz 𝐵𝐴. Menos três multiplicado por menos quatro mais menos três multiplicado por dois são iguais a seis. Repetir isso para as outras linhas e colunas nos dá valores de seis, seis e menos seis. A matriz 𝐵𝐴 é, portanto, igual a seis, seis, seis, menos seis.

Percebemos que a matriz 𝐴𝐵 não é igual à matriz 𝐵𝐴. Isso nos leva a uma regra geral ao lidar com a multiplicação de matrizes. Como 𝐴𝐵 não é igual a 𝐵𝐴, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isso é diferente da multiplicação de números, pois a multiplicação de dois números é comutativa.

Em nossa próxima pergunta, veremos um exemplo específico quando 𝐴𝐵 é igual a 𝐵𝐴.

Indique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes dois por dois, então 𝐴𝐵 nunca é o mesmo que 𝐵𝐴.

Para provar que uma afirmação é falsa, precisamos simplesmente encontrar um exemplo em que a afirmação não seja verdadeira. Somos informados de que ambas as matrizes são dois por dois. E vamos deixar os elementos da matriz 𝐴 serem 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Embora possamos deixar os elementos da matriz 𝐵 ter quaisquer valores, neste caso, deixaremos a matriz 𝐵 ser a matriz identidade: um, zero, zero, um. Sabemos que a matriz identidade possui unidades na diagonal à esquerda e zeros em todos os outros lugares.

Para calcular a matriz 𝐴𝐵, precisamos multiplicar 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 por um, zero, zero, um. Ao multiplicar matrizes, multiplicamos os elementos de cada linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. 𝑎 multiplicado por um é igual a 𝑎 e 𝑏 multiplicado por zero é zero. Portanto, o primeiro elemento na matriz 𝐴𝐵 é 𝑎. Repetindo isso para as outras linhas e colunas, obtemos os elementos 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Matriz 𝐴𝐵 é igual a 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, que é igual a matriz 𝐴.

Vamos agora repetir esse método ao multiplicar a matriz 𝐵, a matriz identidade, pela matriz 𝐴. Mais uma vez, isso dá os elementos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Portanto, encontramos um exemplo em que a matriz 𝐴𝐵 é a mesma que a matriz 𝐵𝐴. Isso nos leva a uma regra geral. Quando multiplicamos qualquer matriz pela matriz identidade, é o mesmo que multiplicar a matriz identidade por essa matriz. Em ambos os casos, a matriz original permanece a mesma. 𝐴𝐼 é igual a 𝐼𝐴, que é igual à matriz 𝐴.

Na verdade, podemos ir um estágio adiante quando observamos a propriedade comutativa das matrizes. Vamos agora deixar a matriz 𝐵 ter os elementos 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ. Multiplicando as matrizes 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴, obtemos as seguintes matrizes dois por dois. À primeira vista, as matrizes 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 parecem não ter nada em comum. No entanto, notamos que o elemento superior esquerdo contém 𝑎𝑒 ou 𝑒𝑎 e o elemento inferior direito contém 𝑑ℎ ou ℎ𝑑. Os elementos 𝑎, 𝑑, 𝑒 e ℎ são os elementos nas diagonais iniciais das matrizes 𝐴 e 𝐵, respectivamente. Podemos ver que se todos os outros produtos fossem iguais a zero, as duas matrizes seriam as mesmas.

Vamos considerar o que acontece se 𝑏, 𝑐, 𝑓 e 𝑔 forem todos iguais a zero. As matrizes 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 são iguais a 𝑎𝑒, zero, zero, 𝑑ℎ. Este é um exemplo de matriz diagonal, pois todos os elementos além daqueles na diagonal inicial são iguais a zero. Isso nos leva a outra regra geral de multiplicação de matrizes. Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes diagonais, então as duas matrizes são comutativas. 𝐴𝐵 é igual a 𝐵𝐴.

Em nossa próxima pergunta, demonstraremos como podemos distribuir a multiplicação de matrizes sobre a adição.

Dadas três matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶, qual das alternativas a seguir é igual a 𝐴 multiplicada por 𝐵 mais 𝐶? É (A) 𝐴𝐵 mais 𝐶, (B) 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶, (C) 𝐵𝐴 mais 𝐶𝐴, (D) 𝐵𝐴 mais 𝐶 ou (E) 𝐵 mais 𝐴𝐶?

Para responder a essa pergunta, precisamos usar a propriedade distributiva das matrizes. Podemos distribuir matrizes de maneira semelhante à maneira como distribuímos números reais. Multiplicando a matriz 𝐴 por matriz 𝐵 mais 𝐶 é igual a matriz 𝐴𝐵 mais matriz 𝐴𝐶. É importante notar, porém, que se os parênteses viessem primeiro, estaríamos multiplicando 𝐵 mais 𝐶 por 𝐴, então nossa resposta seria 𝐵𝐴 mais 𝐶𝐴. Se a matriz 𝐴 é distribuída do lado esquerdo, devemos garantir que o produto na soma resultante tenha 𝐴 à esquerda. Da mesma forma, se a matriz 𝐴 for distribuída do lado direito, cada produto na soma resultante deve ter 𝐴 à direita. Podemos, portanto, ver que a resposta correta é a opção (B). 𝐴 multiplicado por 𝐵 mais 𝐶 é igual a 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶.

É importante lembrar que, ao realizar a adição e a multiplicação de matrizes, a ordem de cada matriz é a chave. Para adicionar a matriz 𝐵 e 𝐶, elas devem ter a mesma ordem. Para realizar a multiplicação de matrizes, o número de colunas na matriz 𝐴 deve ser igual ao número de linhas na matriz 𝐵 e 𝐶.

Nossa pergunta final incluirá uma aplicação da propriedade distributiva.

Suponha que a matriz 𝐴 seja igual a um, menos três, menos quatro, dois; matriz 𝐵 é igual a dois, zero, um, menos um; e a matriz 𝐶 é igual a zero, um, menos três, zero. Existem quatro partes para essa pergunta. Encontre a matriz 𝐴𝐵. Encontre a matriz 𝐴𝐶. Encontre 𝐴 multiplicado por dois 𝐵 mais sete 𝐶. E expresse 𝐴 multiplicado por dois 𝐵 mais sete 𝐶 em termos de 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶.

Para multiplicar a matriz 𝐴 pela matriz 𝐵, precisamos multiplicar todos os elementos nas linhas da matriz 𝐴 pelas colunas da matriz 𝐵. Um multiplicado por dois mais menos três multiplicado por um é igual a menos um. Repetir isso para as outras linhas e colunas dá os elementos três, menos seis e menos dois. Matriz 𝐴𝐵 é igual a menos um, três, menos seis, menos dois.

Para calcular a matriz 𝐴𝐶, multiplicamos um, menos três, menos quatro, dois por zero, um, menos três, zero. Isso dá os elementos nove, um, menos seis e menos quatro. Esta é a matriz 𝐴𝐶.

Na terceira parte da nossa pergunta, começamos multiplicando a matriz 𝐵 pelo escalar ou constante dois e a matriz 𝐶 pelo escalar sete. Ao multiplicar uma matriz por um escalar, simplesmente multiplicamos cada um dos elementos por esse escalar. Isso significa que dois 𝐵 é igual a quatro, zero, dois, menos dois. Da mesma forma, sete 𝐶 é igual a zero, sete, menos 21, zero.

Em seguida, precisamos adicionar essas duas matrizes. Fazemos isso adicionando os elementos nas posições correspondentes em cada matriz. Quatro mais zero é igual a quatro. Repetir isso para os outros elementos dá a matriz quatro, sete, menos 19, menos dois.

Finalmente, precisamos multiplicar essa matriz pela matriz 𝐴. A ordem aqui é importante. Devemos multiplicar a matriz 𝐴 pela matriz quatro, sete, menos 19, menos dois. Isso dá os elementos 61, 13, menos 54 e menos 32. 𝐴 multiplicado por dois 𝐵 mais sete 𝐶 é igual a 61, 13, menos 54, menos 32.

Na parte final desta questão, podemos usar a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes. Podemos multiplicar a matriz 𝐴 por dois 𝐵 e depois adicionar a matriz 𝐴 multiplicada por sete 𝐶. Isso dá um, menos três, menos quatro, dois multiplicados por quatro, zero, dois, menos dois mais um, menos três, menos quatro, dois multiplicados por zero, sete, menos 21, zero. O primeiro produto dá menos dois, seis, menos 12, menos quatro. O segundo produto dá 63, sete, menos 42, menos 28.

Podemos ser tentados a simplesmente adicionar essas matrizes. No entanto, nos pediram para dar nossa resposta em termos de 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶. Percebemos que nossa primeira matriz menos dois, seis, menos 12, menos quatro é duas vezes a matriz 𝐴𝐵. Também notamos que a segunda matriz 63, sete, menos 42, menos 28 é sete vezes a matriz 𝐴𝐶. Isso significa que a matriz 𝐴 multiplicada por dois 𝐵 mais sete 𝐶 é igual a dois multiplicado pela matriz 𝐴𝐵 mais sete multiplicado pela matriz 𝐴𝐶.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos em nosso primeiro exemplo que a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. A matriz 𝐴𝐵 não é igual à matriz 𝐵𝐴. No entanto, havia algumas exceções a isso. Multiplicar uma matriz pela matriz identidade dá a matriz original. Isso pode ser feito em qualquer ordem. 𝐴 multiplicado por 𝐼 é igual a 𝐼 multiplicado por 𝐴, que é igual à matriz 𝐴.

Também vimos que se 𝐴 e 𝐵 são matrizes diagonais da mesma ordem, então 𝐴𝐵 é igual a 𝐵𝐴. Duas matrizes diagonais de mesma ordem são comutativas. Também vimos que a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição de matrizes. Ou seja, 𝐴 multiplicado por 𝐵 mais 𝐶 é igual a 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶. É importante notar aqui que como a matriz 𝐴 está na frente dos parênteses, será a primeira matriz em cada um dos produtos. Isso não é o mesmo que matriz 𝐵𝐴 mais matriz 𝐶𝐴.

A ordem de cada matriz também é importante. Para realizar a adição de matrizes, ambas as matrizes devem ter a mesma ordem. Para realizar a multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Se as ordens não tiverem essas propriedades, a adição e a multiplicação da matriz não podem ser definidas. Essas propriedades têm algumas semelhanças e algumas diferenças entre as propriedades de multiplicação de números.

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