Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como usar permutações para resolver problemas de contagem.
Uma permutação é um rearranjo de uma coleção de itens. Por exemplo, digamos que temos as letras A, B e C. Poderíamos reorganizá-las como ABC ou BCA, BAC e assim por diante. Cada arranjo diferente é um exemplo de uma permutação. Observe que, para permutações, a ordem é importante; BCA não é o mesmo que ABC. Nós também não permitimos a repetição, então AAB não é uma permutação válida de nossas letras. Nosso trabalho, então, é encontrar uma maneira de contá-las. E para nos ajudar a encontrar uma fórmula, vamos começar considerando um exemplo.
De quantas maneiras um número de três algarismos, sem algarismos repetidos, pode ser formado usando os números dois, nove e oito?
Temos três algarismos que podemos usar. E queremos contar o número de maneiras pelas quais podemos ordenar esses algarismos, assumindo que não haja algarismos repetidos. Como a ordem é importante, ou seja, o número 298 não é o mesmo que 928, estamos realmente procurando encontrar o número de permutações desses algarismos. Um método que temos, é claro, é tentar listar todas as opções possíveis. Isso é chamado de listagem sistemática. Como o nome sugere, apenas tentamos encontrar uma técnica que garanta que não percamos nenhum número. Podemos começar com 298. Então podemos trocar o oito e o nove, dando-nos 289. Em seguida, vamos colocar oito na frente e faremos 829 e trocaremos o dois e o nove para nos dar 892. Finalmente, vamos colocar o nove na frente. Temos 928. E se trocarmos o oito e o dois, obtemos 982.
E assim vemos que temos seis permutações diferentes. Existem seis números diferentes de três algarismos que podemos formar usando os números dois, nove e oito. No entanto, esse não é necessariamente o método mais eficiente e, portanto, vamos considerar uma alternativa. Vamos considerar cada algarismo do nosso número. E sabemos que para escolher o primeiro número, podemos escolher entre o número dois, o número nove e o número oito. Portanto, existem três opções possíveis diferentes para o primeiro algarismo do nosso número. Então, quando passamos para a segunda opção, já escolhemos um dos números. E assim, como não podemos repetir os algarismos, temos duas opções possíveis para escolher para o nosso segundo algarismo.
Finalmente, quando passamos para o terceiro algarismo, ficamos com apenas uma opção. O princípio da contagem nos diz que podemos calcular o número total de permutações multiplicando esses números. Isso é três vezes dois vezes um, o que é igual a seis. O número total de permutações ou o número total de números de três algarismos que podemos formar é seis. Agora, podemos generalizar isso um pouco e dizer que o número de permutações de um conjunto de 𝑛 itens é 𝑛 vezes 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos dois e assim por diante até chegar a um. Isso pode ser representado de forma mais sucinta como 𝑛 fatorial. Portanto, o número de permutações de um conjunto de 𝑛 itens é 𝑛 fatorial.
Isso nem sempre é suficiente. Por exemplo, o que fazemos se quisermos apenas encontrar o número de permutações de, digamos, 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛? Bem, vamos voltar a este exemplo. Vamos nos perguntar: quantos números de dois algarismos podemos fazer a partir de um conjunto de três números? Desta vez, temos três maneiras de escolher o primeiro algarismo e duas maneiras de escolher o segundo. E o número de números de um algarismo que podemos formar a partir de um conjunto de três números? Existem três maneiras de escolher esse um algarismo, então a resposta é três.
Apresentando a notação 𝑛 P 𝑟 para representar o número de permutações de 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛, obtemos três P três vezes dois vezes um, três P dois sendo três vezes dois e três P um para ser igual a três. E podemos relacionar isso com a notação fatorial que acabamos de ver. Se olharmos para três P dois, vemos que parece um pouco como fizemos três fatorial, que são três vezes dois vezes um, e depois dividimos por um fatorial. E então as unidades se cancelam, deixando-nos com três vezes dois. Da mesma forma, três P um pode ser representado como três fatorial dividido por dois fatorial. Os dois e os um se cancelam, deixando-nos com três.
Se notarmos que a diferença entre o 𝑛 e 𝑟 é sempre o valor do fatorial no denominador, vemos que podemos generalizar. O número de maneiras pelas quais podemos ordenar 𝑟 elementos de um conjunto de 𝑛 sem repetição é dado por 𝑛 P 𝑟. E isso é definido como 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. A notação alternativa é mostrada e é puramente uma questão de preferência pessoal e, em parte, onde você pode morar no mundo quanto a qual delas você vai escolher. Vou usar essa versão aqui.
Portanto, agora temos uma definição para o número de permutações de 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛, vamos considerar um exemplo da aplicação da fórmula.
Qual das alternativas a seguir representa o número de maneiras pelas quais um número de quatro algarismos pode ser formado a partir de cinco algarismos, já que cada algarismo não pode ser usado mais de uma vez? É (A) cinco P quatro, (B) seis P quatro, (C) quatro P quatro ou (D) nove P quatro?
Começamos lembrando que o número de maneiras de ordenar 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛 sem repetição e onde a ordem importa é 𝑛 P 𝑟. Temos várias maneiras de representar isso e, neste exemplo, estamos usando a primeira. Elas são chamadas de permutações. Nesta pergunta, queremos encontrar o número de maneiras de escolher um número de quatro algarismos de cinco algarismos. Então vamos deixar 𝑛 ser igual a cinco, já que esse é o número total de algarismos que temos. E deixamos 𝑟 ser igual a quatro, já que é quantos estamos procurando. Usando a primeira notação nesta definição, escrevemos cinco P quatro. A resposta correta é (A). O número de maneiras de escolher quatro algarismos de um conjunto de cinco, dado que cada algarismo não pode ser usado mais de uma vez, é cinco P quatro.
Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos calcular permutações e como podemos fazer isso usando alguns atalhos.
Calcule 123 P três.
Essa notação está essencialmente nos pedindo para encontrar o número de maneiras de ordenar três itens de um conjunto de 123 sem repetição e onde a ordem é importante. É o número de permutações. E a fórmula geral que usamos para ordenar 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛 sem repetição é 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Comparando o que temos em nossa pergunta com a fórmula geral, vemos que vamos deixar 𝑛 ser igual a 123 e vamos deixar 𝑟 ser igual a três. E assim 123 P três é 123 fatorial sobre 123 menos três fatorial, lembrando é claro que não podemos distribuir o fatorial sobre nossos parênteses e em vez disso calculamos 123 menos três. E vemos que 123 P três é igual a 123 fatorial sobre 120 fatorial.
E embora possamos usar os botões em nossa calculadora para calcular isso, vale a pena ver como podemos simplificar um pouco nossa expressão. Escrevemos 123 fatorial como 123 vezes 122 vezes 121 e assim por diante. Mas é claro que 120 vezes 119 e assim por diante são 120 fatorial. Então, nós reescrevemos 123 P três como 123 vezes 122 vezes 121 vezes 120 fatorial sobre 120 fatorial. E essa etapa é importante porque agora podemos dividir o numerador e o denominador de nossa fração por 120 fatorial. Isso nos deixa com um denominador de um. E, por sua vez, isso significa que nossa fração simplifica para 123 vezes 122 vezes 121. E assim 123 P três, que é o número de maneiras de ordenar três itens de um conjunto de 123 sem repetição, é 123 vezes 122 vezes 121.
Agora, essa técnica pode ser realmente útil, pois nos permite simplificar um cálculo bastante desagradável que podemos executar potencialmente à mão. Vamos agora considerar como usar permutações para resolver problemas contextualizados.
Nas corridas de cavalos, uma trifeta ocorre quando um apostador vence selecionando os três primeiros lugares em sua ordem exata: primeiro lugar, segundo lugar e terceiro lugar. Quantas trifetas diferentes são possíveis se houver 14 cavalos em uma corrida?
O que essa pergunta realmente está nos perguntando é quantas maneiras diferentes existem para ordenar três cavalos de um conjunto de 14. Nós, é claro, sabemos que nenhum cavalo pode aparecer entre os três primeiros mais de uma vez a qualquer momento. Em outras palavras, o mesmo cavalo não pode estar em primeiro e segundo lugar ao mesmo tempo. E, é claro, nos é dito que a ordem é importante. E assim, estamos procurando encontrar o número de permutações, especificamente o número de permutações de três itens de um conjunto de 14. E assim, lembramos que o número de permutações de 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛 é 𝑛 P 𝑟, e é dado como 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial.
Vamos deixar 𝑛 ser igual a 14 já que esse é o número total de cavalos e 𝑟 é igual a três. Estamos interessados nos três primeiros finalistas e, portanto, o número de permutações é 14 P três. E isso é 14 fatorial sobre 14 menos três fatorial. Obviamente, 14 menos três são 11, então obtemos 14 fatorial sobre 11 fatorial. Mas como podemos escrever 14 fatorial como 14 vezes 13 vezes 12 vezes 11 vezes 10 e assim por diante, sabemos que também podemos escrevê-lo como 14 vezes 13 vezes 12 vezes 11 fatorial. E isso é realmente útil porque agora podemos dividir por um fator comum de 11 fatorial. E vemos que 14 P três simplifica para 14 vezes 13 vezes 12, que é 2184. E assim estabelecemos que há um total de 2184 trifetas possíveis quando há 14 cavalos em uma corrida.
Em nosso exemplo final, consideraremos o que acontece se tentarmos contar mais de um conjunto de permutações.
Uma empresa rotula seus produtos com códigos que começam com três letras em inglês seguidas por oito algarismos diferentes de zero. Qual das alternativas a seguir representa o número de códigos que podem ser criados sem repetição de qualquer letra ou algarismo? É (A) três P três mais oito P oito? É (B) 26 P três mais nove P oito? É (C) três P três vezes oito P oito? Ou é (D) 26 P três vezes nove P oito?
Vamos começar considerando as duas partes do código. A primeira parte consiste em três letras em inglês. Então temos oito algarismos diferentes de zero. E para calcular o número de maneiras de escolher ou ordenar as três letras em inglês, vamos lembrar que o número de maneiras de ordenar 𝑟 itens de um conjunto de 𝑛 sem repetição e onde a ordem importa é 𝑛 P 𝑟. E é 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial.
Queremos escolher três letras de um total de 26 do alfabeto inglês. A ordem é importante; em outras palavras, ABC não é igual a BAC. E assim, o número de maneiras de escolher isso é 26 P três. Então, se estivermos interessados em escolher oito algarismos diferentes de zero, podemos escolher qualquer algarismo entre um e nove, inclusive. Então, estamos escolhendo oito algarismos de um total de nove. Mais uma vez, a ordem é importante e não estamos usando nenhuma repetição. Então, para escolher oito algarismos de nove, são nove P oito.
Se o número de maneiras de escolher as três letras em inglês é 26 P três e o número de maneiras de escolher os oito algarismos é nove P oito, então o princípio de contagem nos diz que o número total de possibilidades, o número total de códigos, é o produto destes. É 26 P três vezes nove P oito. E se compararmos isso com as opções dadas em nossa pergunta, vemos que a resposta é (D). O número total de códigos que podem ser criados sem repetição de qualquer letra ou algarismo é 26 P três vezes nove P oito.
Neste vídeo, aprendemos que o número de maneiras de escolher 𝑟 itens de 𝑛 é 𝑛 P 𝑟 ou P de 𝑛, 𝑟. Qualquer uma dessas notações é aceitável. Mas de qualquer maneira, podemos calculá-las usando a fórmula 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial ou até mesmo usando a função de permutações em uma calculadora. Vimos que, ao trabalhar com permutações, precisamos nos certificar de que temos um cenário em que a ordem é importante e que estamos contando sem repetição. E também consideramos várias situações do mundo real que podem ser calculadas usando permutações.
