Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como representar graficamente funções trigonométricas, como seno, cosseno e tangente, e deduzir as suas propriedades. Aprenderemos como aplicar transformações simples para representar graficamente as nossas funções nesta forma e reconhecer a relação entre cada gráfico e o círculo trigonométrico. Aqui está um círculo trigonométrico. É um círculo com raio de uma unidade, que representamos com o seu centro na origem de um par de eixos O𝑥 e O𝑦. Vamos adicionar um ponto 𝑃, que se pode mover em torno da circunferência. Poderemos chamar as suas coordenadas de 𝑥, 𝑦. Mas e se adicionarmos um triângulo retângulo ao nosso diagrama e definirmos um ângulo aqui. Isto chama-se de ângulo incluído, e vamos chamá-lo 𝜃.
Para já, vemos que o comprimento da base do triângulo deve ser de 𝑥 unidades e a sua altura deve ser de 𝑦 unidades. Poderemos, no entanto, utilizar trigonometria para determinar expressões para 𝑥 e 𝑦 em termos de 𝜃. Utilizamos a convenção padrão para identificar triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo incluído é o cateto oposto. O lado mais comprido, que se opõe ao ângulo reto, é a hipotenusa. E o outro lado, o lado entre o ângulo reto e o ângulo incluído, é o adjacente. Recordamos a sigla SOHCAHTOA. E vemos que podemos utilizar a razão cosseno para determinar uma ligação entre 𝑥 e 𝜃. Isto é cos de 𝜃 é adjacente sobre hipotenusa.
Bem, o cateto adjacente do nosso triângulo é de 𝑥 unidades e a hipotenusa é de uma unidade, então cos 𝜃 é 𝑥 sobre um ou, simplesmente, cos 𝜃 é igual a 𝑥. Da mesma forma, utilizaremos a razão seno para relacionar 𝑦 e 𝜃. Desta vez, o oposto é 𝑦 e a hipotenusa é um. Então, temos sen 𝜃 é 𝑦 dividido por um, ou, simplesmente, sen 𝜃 é igual a 𝑦. Agora podemos dizer que o ponto 𝑃 deve ter coordenadas cos 𝜃, sen 𝜃. Agora, à medida que nos movemos em torno da circunferência do círculo em sentido anti-horário, o tamanho de 𝑥 e 𝑦 e, portanto, o tamanho de cos 𝜃 e sen 𝜃, mudarão. Na verdade, fazem algo realmente interessante. Vamos ver o que é.
Vamos imaginar que o nosso ponto esteja no semieixo positivo O𝑥 aqui. Neste ponto, 𝜃 é zero. E o ponto tem coordenadas um, zero. Quando 𝜃 é zero, então, vemos que cos de 𝜃, que representa 𝑥, é igual a um. sen de 𝜃, que representa 𝑦, é igual a zero. Vamos agora repetir este processo aqui. Desta vez, 𝜃 é igual a 45 graus. E podemos adicionar um triângulo retângulo e vemos que a hipotenusa é igual a uma unidade. No entanto, como este é um triângulo retângulo com um ângulo de 45 graus, sabemos que é um triângulo isósceles. E assim, podemos dizer que os seus outros dois lados são iguais a 𝑎 unidades.
O teorema de Pitágoras diz-nos que a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado do mais comprido. Ou seja, 𝑎 ao quadrado mais 𝑎 ao quadrado é igual a um ao quadrado ou dois 𝑎 ao quadrado é igual a um. Dividimos por dois e descobrimos que 𝑎 ao quadrado é igual a um meio. E a seguir determinamos a raiz quadrada de ambos os membros. Agora, 𝑎 é um comprimento, então vamos dizer que é a raiz quadrada positiva de um meio, que podemos escrever como raiz de dois sobre dois. E assim, vemos que quando 𝜃 é igual a 45 graus, o nosso ponto tem coordenadas raiz de dois sobre dois, raiz de dois sobre dois. Isso diz-nos que o sen de 𝜃 quando 𝜃 é 45 graus é raiz de dois sobre dois, assim como cos 𝜃.
E aqui em cima? Bem, desta vez 𝜃 é 90 graus. E, claro, o nosso círculo tem um raio de um. Então, este ponto tem coordenadas zero, um. E vemos então quando 𝜃 é de 90 graus, cos de 𝜃, que é o valor de 𝑥, é zero e sen de 𝜃, que é o valor de 𝑦, é um. Podemos repetir este processo para quando 𝜃 for igual a 180 graus. Neste ponto, temos um ponto com coordenadas menos um, zero. Então, quando 𝜃 é 180 graus, cos de 𝜃 é menos um e sen de 𝜃 é zero. Então, quando 𝜃 é 270 graus, o nosso ponto tem coordenadas zero, menos um. Então, sen de 𝜃 é menos um, lembre-se de que esta é a coordenada em 𝑦 e cos de 𝜃 é zero.
E a seguir, continuamos em torno do círculo e vemos que voltámos ao início. Então, quando 𝜃 é igual a 360 graus, temos os mesmos valores para sen 𝜃 e cos 𝜃 que tínhamos quando 𝜃 era igual a zero. sen 𝜃 é zero e cos 𝜃 é um. Vamos preencher estes espaços em branco. Neste ponto, 𝜃 é 135 graus. Se adicionarmos um triângulo retângulo e utilizarmos o facto de que os ângulos em linha reta somam 180 graus, vemos que temos uma réplica do triângulo anterior. Tem uma hipotenusa de uma unidade e um ângulo interno de 45 graus. Isto significa que os comprimentos dos outros dois lados devem ser de raiz de dois sobre dois unidades. Na forma de coordenadas, então, este ponto deve ter coordenadas menos raiz de dois sobre dois, raiz de dois sobre dois. E assim, quando 𝜃 é 135 graus, cos de 𝜃, que é a nossa coordenada em 𝑥, é menos raiz de dois sobre dois, e sen 𝜃 é raiz de dois sobre dois.
Quando 𝜃 é 225 graus, temos uma situação semelhante. Temos outro triângulo isósceles com uma hipotenusa de uma unidade e dois outros lados da raiz dois sobre dois unidades. Isto significa que quando 𝜃 é 225 graus, o nosso ponto deve ter coordenadas de menos raiz de dois sobre dois, menos raiz de dois sobre dois, o que significa que sen de 𝜃 e cos de 𝜃 são ambos menos raiz de dois sobre dois. Finalmente, quando 𝜃 é 315 graus, temos outro triângulo isósceles. Desta vez, as coordenadas do nosso ponto são raiz de dois sobre dois e menos raiz de dois sobre dois, o que significa que quando 𝜃 é 315 graus, sen 𝜃 é menos raiz de dois sobre dois e cos 𝜃 é raiz de dois sobre dois.
Agora, deve ficar bem claro que, se continuássemos a mover-nos em torno deste círculo em sentido anti-horário, encontraríamos todos estes pontos mais uma vez. Então, quando 𝜃 é 405 graus, sen de 𝜃 e cos de 𝜃 são iguais quando 𝜃 é igual a 45 graus e assim por diante e isto leva-nos a uma definição. Dizemos que sen de 𝜃 e cos de 𝜃 são funções periódicas; ou seja, repetem-se. Estas fazem isto a cada 360 graus. Então, dizemos que seu período é de 360 graus. Vamos esboçar os gráficos. Vimos que ambos os gráficos oscilam; ou seja, movem-se entre os valores de um e menos um. Estes são os seus máximos e mínimos.
Então, começaremos com o gráfico de sen de 𝜃 ou, neste caso, 𝑦 é igual a sen de 𝑥. Passa pela origem; ou seja, quando 𝜃 é zero, sen de 𝜃 é zero. Então, quando 𝑥 é zero, sen de 𝑥 é zero. Então, quando 𝑥 é 45, obtemos sen de 𝑥 como raiz de dois sobre dois. É mais ou menos aqui. Quando 𝑥 é 90, sen de 𝑥 é um. Então, quando 𝑥 é 135, sen de 𝑥 é raiz de dois sobre dois. E quando 𝑥 é 180, sen de 𝑥 é zero. Poderemos continuar desta maneira. Vamos juntá-los com uma curva suave. E quando o fazemos, descobrimos que o gráfico de 𝑦 é igual a sen de 𝑥 entre os valores de zero e 360 se parece um pouco com isto. Claro, dissemos que estes gráficos são periódicos. Estes repetem-se, pelo que podemos continuar desta maneira, repetindo exatamente este gráfico a cada 360 graus.
Da mesma forma, o gráfico de 𝑦 é igual a cos 𝑥 no intervalo de zero a 360 parece-se com isto. Como também é periódico, poderemos continuar para ambos os lados da mesma maneira. E assim, para recapitular alguns recursos dos nossos gráficos, estes são periódicos; estes têm um período de 360 graus. Ambos têm máximos em um e mínimos em menos um. Ambos, na verdade, têm um pouco de simetria. O gráfico de 𝑦 igual a cos de 𝑥 tem simetria refletiva em torno da reta 𝑥 igual a 180 ou a reta 𝑥 igual a zero. O gráfico de 𝑦 igual a sen de 𝑥 tem simetria rotacional em torno da origem. Mas se reduzirmos e olharmos apenas para, digamos, uma parte do gráfico, ou seja, o intervalo de zero a 180, vemos que 𝑦 igual a sen de 𝑥 tem um pouco de simetria reflexiva sobre a reta 𝑥 igual a 90 graus.
Esses recursos podem nos ajudar a resolver problemas que envolvem cos e sen de 𝑥. O gráfico de 𝑦 igual a tan de 𝑥 é um pouco mais estranho do que isto. E, em vez de utilizar o método do círculo trigonométrico, representaremos uma tabela de valores utilizando a nossa calculadora. Para valores de 𝜃 de zero, 45, 90, 135 e assim por diante, obtemos a seguinte tabela de valores. Observe que temos um erro em 𝜃 igual a 90 graus e 𝜃 igual a 270 graus. Isto continuará a cada 180 graus. Mas o que é que está realmente a acontecer aqui? Bem, sabemos que tan 𝜃 é o oposto sobre o adjacente, mas não podemos desenhar um triângulo retângulo em 𝜃 igual a 90 graus. E assim, dizemos que quando 𝜃 se aproxima de 90 graus, tan de 𝜃 se aproxima de ∞. Não podemos calculá-la e, portanto, representamos este facto utilizando assíntotas verticais no nosso gráfico.
O gráfico de 𝑦 igual a tan 𝜃 aproxima-se cada vez mais destas assíntotas, mas nunca chega a tocar nelas. E assim, o gráfico de 𝑦 igual a tan de 𝑥 parece-se um pouco com isto. Mais uma vez, vemos que a função tan de 𝜃 é periódica. Mas desta vez, o seu período é de 180 graus. Tem simetria rotacional em torno da origem. E não podemos definir os seus máximos ou mínimos, porque vimos que quando 𝜃 se aproxima de 90 e, depois, múltiplos de 180 graus, tan de 𝜃 aproxima-se de ∞.
É realmente importante que possamos identificar e esboçar os gráficos de 𝑦 igual a sen de 𝑥, 𝑦 igual a cos de 𝑥 e 𝑦 igual a tan de 𝑥. E também precisamos ser capazes de transformá-los de tal forma que, para o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 seja uma translação pelo vetor menos 𝑎, zero, enquanto 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais 𝑏 seja um translação pelo vetor zero, 𝑏. 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑎 vezes 𝑥 é uma dilatação horizontal por um fator de escala de um sobre 𝑎. E 𝑦 igual a 𝑏 vezes 𝑓 de 𝑥 é uma dilatação vertical por um fator de escala de 𝑏. Então, 𝑦 igual a menos 𝑓 de 𝑥 é uma reflexão no eixo O𝑥, e 𝑦 igual a 𝑓 de menos 𝑥 é uma reflexão no eixo O𝑦.
Finalmente, às vezes medimos ângulos em radianos tais que dois 𝜋 radianos é igual a 360 graus e 𝜋 radianos é180 e assim por diante. Agora, não se preocupe se ainda não os abordou, são apenas outra maneira de representar um ângulo. Então, vamos dar uma olhadela nalgumas questões sobre gráficos trigonométricos.
Atribua a cada gráfico apresentado embaixo a função que representa.
Aqui, vemos que temos dois gráficos de aparência muito semelhante. Estes gráficos são claramente periódicos. Parecem repetir-se a cada dois 𝜋 radianos. Lembre-se, estes repetem-se a cada 360 graus. Vemos que têm máximos em um e mínimos em menos um, respetivamente. Na verdade, sabemos que podemos descrever os gráficos das funções seno e cosseno da mesma maneira.
A principal diferença é onde estes gráficos intersetam o eixo O𝑦. 𝑦 igual a sen de 𝑥 passa pelo eixo O𝑦 em zero, enquanto 𝑦 é igual a cos de 𝑥 passa em um. E dissemos, é claro, que ambos têm um período de 360 graus ou dois 𝜋 radianos, máximos em um e mínimos em menos um. Isto significa que o gráfico vermelho que interseta o eixo O𝑦 em um deve ser à curva do cosseno, enquanto o gráfico azul deve ser a curva do seno.
Agora, isto realmente mostra uma característica realmente interessante destas funções. Vamos definir 𝑓 de 𝑥 como sendo igual a sen de 𝑥. Então, vemos que a função 𝑓 de 𝑥 mais 𝜋 sobre dois ou 𝑓 de 𝑥 mais 90, que representa uma translação pelo vetor menos 90, zero, transforma a curva do seno na curva do cosseno. E, é claro, o inverso também é verdadeiro. Então, vimos que há uma relação entre os gráficos do seno e do cosseno por uma translação horizontal. Agora, vamos dar uma olhadela numa dilatação.
Determine o valor máximo da função 𝑓 de 𝜃 igual a 11 sen 𝜃.
Em primeiro lugar, vamos recordar como é o gráfico de 𝑓 de 𝜃 igual a sen de 𝜃. Tem máximos e mínimos em um e menos um, respetivamente. Sabemos que passa pela origem e que é periódica e tem um período que se repete a cada 360 graus. Então, 𝑓 de 𝜃 igual a sen de 𝜃 tem um gráfico que se parece um pouco com isto. Mas é claro, estávamos realmente interessados no gráfico da função 𝑓 de 𝜃 igual a 11 sen 𝜃.
E assim, recordamos que para uma função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑎 vezes 𝑓 de 𝑥 representa uma dilatação vertical por um fator de escala de 𝑎. Neste caso, podemos ver que o nosso fator de escala é 11. E assim, 𝑓 de 𝜃 igual a 11 sen 𝜃 parece-se com algo assim. Este ainda interseta os eixos O𝑥 e O𝑦 nos mesmos lugares, mas agora desloca-se tão alto quanto 11 e tão baixo quanto menos 11. E assim, o valor máximo da função 𝑓 de 𝜃 igual a 11 sen 𝜃 é 11.
Vamos agora dar uma olhadela numa reflexão.
Qual dos seguintes é o gráfico de 𝑦 igual a menos tan de 𝑥?
Vamos começar por recordar como é o gráfico de 𝑦 igual a tan de 𝑥. É periódico e repete-se a cada 180 graus. Passa pela origem, o ponto zero, zero. Tem assíntota vertical em 𝑥 igual a 90 graus, mas também a cada 180 graus em ambos os lados, ou seja, 𝑥 igual a 90, 𝑥 igual a 270 e assim por diante. Na verdade, o gráfico de 𝑦 igual a tan de 𝑥 é este. É (A).
Observe que o gráfico se aproxima das assíntotas, mas nunca chega a tocar nelas. Mas é claro, estávamos interessados no gráfico de 𝑦 igual a menos tan de 𝑥. Então, recordamos que para uma função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a menos 𝑓 de 𝑥 é uma reflexão no eixo O𝑥. E vemos que o único gráfico que corresponde a isto é (D). (D) é o gráfico de 𝑦 igual a menos tan de 𝑥.
Neste vídeo, aprendemos como são os gráficos de 𝑦 igual a sen de 𝑥, 𝑦 igual a cos de 𝑥 e 𝑦 igual a tan de 𝑥. Vimos que os gráficos de 𝑦 igual a sen de 𝑥 e 𝑦 igual a cos de 𝑥 são periódicos; têm um período de 360 graus, enquanto o gráfico de 𝑦 é igual a tan de 𝑥 se repete a cada 180 graus. Finalmente, vimos que 𝑦 igual a sen de 𝑥 e cos de 𝑥 têm máximos e mínimos em um e menos um, respetivamente, enquanto o gráfico de 𝑦 igual a tan de 𝑥 tem assíntotas em 𝑥 igual a 90 e depois múltiplos de 180 graus.
