Vídeo: Forma Trigonométrica de um Número Complexo

Neste vídeo, vamos aprender a representar um número complexo na forma trigonométrica, a calcular o módulo e o argumento e a utilizar isto para mudar a forma do número complexo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender a forma trigonométrica de um número complexo. Esta é uma maneira de escrever um número complexo que é particularmente adequado para problemas que envolvem multiplicação. Esta nova forma é melhor compreendida utilizando o plano de Argand. Então vamos recapitular.

O plano Argand representa todos os números complexos num plano. Os números reais situam-se no eixo horizontal ou no eixo O𝑥 e os números puramente imaginários situam-se no eixo vertical ou O𝑦. Que ponto deste plano representa o número complexo quatro menos quatro 𝑖? Bem, consideramos a parte real quatro para ser a coordenada em 𝑥 e a parte imaginária menos quatro para ser a coordenada em 𝑦. Assim o ponto representando quatro menos quatro 𝑖 está aqui no quarto quadrante do plano.

Já aprendemos sobre duas propriedades dos números complexos: o módulo de um número complexo e o argumento de um número complexo. Vamos começar com o módulo. O módulo generaliza o conceito de valor absoluto de um número dos números reais para os números complexos. E é escrito da mesma forma com duas barras verticais em cada lado do número. Escrevendo um número complexo em termos da sua parte real 𝑎 e da sua parte imaginária 𝑏, temos uma fórmula para o módulo. Esta é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Mas, na verdade, esta fórmula é melhor compreendida utilizando o plano de Argand.

Se desenharmos um vetor da origem até o ponto que representa o nosso número complexo, o módulo do nosso número complexo é o comprimento ou a norma desse vetor e da mesma maneira que o módulo do nosso número complexo dá a norma desse vetor. O seu argumento dá a direção do vetor. O argumento de um número complexo 𝑧 é escrito como arg 𝑧. E a fórmula para arg 𝑎 mais 𝑏𝑖 depende do quadrante em que se encontra, mas em cada caso envolve arctan de 𝑏 sobre 𝑎. Novamente, a melhor maneira de pensar sobre o argumento é utilizando o plano de Argand.

É o ângulo do vetor medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo. Então começamos no eixo real positivo e movemo-nos no sentido anti-horário até chegarmos ao nosso vetor. Este é o ângulo. Não é muito difícil ver que este ângulo agudo tem uma amplitude de 45 graus ou 𝜋 sobre quatro radianos. E considerando o ângulo num ponto, o nosso argumento é de 350 graus ou sete 𝜋 sobre quatro radianos.

Quando falamos sobre o argumento de um número complexo, tendemos a utilizar radianos. E assim, podemos escrever que arg de quatro menos quatro 𝑖 é sete 𝜋 sobre quatro. Poderíamos também subtrair dois 𝜋 para obter o argumento principal menos 𝜋 por quatro, o que pode imaginar como a amplitude do ângulo agudo laranja com um sinal de menos porque este ângulo precisa de ser medido no sentido oposto.

Tendo encontrado o argumento do nosso número complexo, poderíamos também determinar o seu módulo. Determinamo-lo utilizando a fórmula que temos. 𝑎 é quatro e 𝑏 é menos quatro. E simplificando, obtemos a raiz quadrada de 32, que na forma mais simples é quatro raiz de dois. Vamos arrumá-los e interpretá-los no nosso plano. Encontrámos o módulo e o argumento do nosso número complexo utilizando suas partes real e imaginária. Bem, na verdade, tivemos sorte com o argumento porque reparámos no ângulo de 45 graus. Mas poderia verificar que calcular arctan da parte imaginária menos quatro sobre a parte real quatro daria a mesma resposta.

Uma pergunta que podemos fazer é poderemos andar em sentido contrário. Dado o módulo e o argumento de um número complexo 𝑧, poderemos determinar as partes real e imaginária e escrever o nosso 𝑧? Parece que deveríamos ser capazes. Sabemos que o argumento do nosso número complexo é menos 𝜋 por quatro. E assim, se tirarmos o nosso transferidor, podemos ver que o nosso número complexo deve estar algures nesta semirreta ou reta. E a seguir, o módulo diz-nos quão longe na reta precisamos de ir. Nós pegamos na nossa régua e medimos quatro raiz de dois a partir da origem para descobrir que o nosso número complexo deve estar aqui.

A ideia de que podemos especificar um ponto, dada sua distância da origem e a direção medida a partir do eixo O𝑥, em vez das suas coordenadas 𝑥 e 𝑦, dá origem a coordenadas trigonométricas que poderá já conhecer. Aplicar a mesma ideia no plano de Argand a números complexos dá origem à forma trigonométrica de um número complexo. Vamos ver como podemos escrever um número complexo 𝑧 em termos do seu módulo e do seu argumento.

Dado que o módulo de 𝑧 é 𝑟 e o argumento de 𝑧 é 𝜃, determine 𝑧.

Desenhamos um plano de Argand para nos ajudar. E como o módulo de 𝑧 é 𝑟, o ponto que representa 𝑧 no plano de Argand deve estar a uma distância de 𝑟 da origem. Por isso, encontra-se no círculo com centro na origem e raio 𝑟. E como o argumento é 𝜃, deve estar algures nesta reta roxa também. Então aqui está 𝑧 na interseção. Mas se de facto determinámos 𝑧, o que devemos fazer é escrevê-lo na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖.

E para o fazer, temos que determinar a parte real 𝑎 e a parte imaginária 𝑏. Podemos ler a parte real 𝑎; é a coordenada em 𝑥 do nosso ponto e, da mesma forma, para a parte imaginária 𝑏. Como escreve estes 𝑎 e 𝑏 em termos de 𝑟 e 𝜃? Bem, se estivesse num círculo trigonométrico, então 𝑎 seria cos 𝜃 e 𝑏 seria sen 𝜃. Mas infelizmente não estamos. O raio é 𝑟. E, portanto, tudo é multiplicado por 𝑟, significando que 𝑎 é 𝑟 cos 𝜃 e 𝑏 é 𝑟 sen 𝜃.

Podemos ver isto de outra forma, percebendo um triângulo retângulo com hipotenusa 𝑟, o raio do círculo, comprimento lateral 𝑎 adjacente ao ângulo 𝜃, e 𝑏 que o opõe. Sen 𝜃 é, portanto, o cateto oposto 𝑏 sobre a hipotenusa 𝑟. E assim, 𝑟 sen 𝜃 é igual a 𝑏. E o que precisamos de fazer é trocar os lados. De forma análoga, cos 𝜃 é o comprimento lateral adjacente 𝑎 sobre a hipotenusa 𝑟. E assim, o nosso cos 𝜃 é igual a 𝑎. Mais uma vez, precisamos apenas de trocar os lados para descobrir que 𝑎 é 𝑟 cos 𝜃.

Tendo encontrado as partes real e imaginária de 𝑧 em termos de 𝑟 e 𝜃, podemos escrever 𝑧 em termos de 𝑟 e 𝜃 apenas substituindo. 𝑧 é 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑟 sen 𝜃 𝑖. E isso servirá de resposta à nossa pergunta. Isto significa que o número complexo 𝑧 cujo módulo é 𝑟 e cujo argumento é 𝜃 é representado pelo ponto 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃 no plano de Argand. Estas coordenadas devem parecer-lhe familiares se aprendeu sobre coordenadas trigonométricas. Se conhecermos o módulo e o argumento de um número complexo, podemos utilizá-los como uma fórmula para determinar o número complexo.

Dado que o módulo de 𝑧 é quatro raiz de dois e o argumento de 𝑧 é menos 𝜋 sobre quatro, determine 𝑧.

Bem, vemos que o módulo 𝑟 é quatro raiz de dois e o argumento 𝜃 é menos 𝜋 sobre quatro. Substituímo-los na nossa fórmula. E podemos simplificar utilizando uma calculadora ou utilizando as identidades para funções ímpares e pares e ângulos notáveis. Cos é uma função par. E assim, cos de menos 𝜋 sobre quatro é cos de 𝜋 sobre quatro. E 𝜋 sobre quatro é um ângulo notável cujo cosseno lembramos ser raiz de dois sobre dois. Da mesma forma, utilizando o facto de que o sen ser uma função ímpar, obtemos que sen de menos 𝜋 sobre quatro é menos raiz de dois sobre dois. Substituindo esses valores e simplificando, obtemos quatro menos quatro 𝑖. Mas às vezes, não queremos simplificar. Podemos reescrever a nossa fórmula ligeiramente colocando em evidência o fator comum 𝑟, obtendo 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃.

Observe que também trocamos a ordem de 𝑖 e sen 𝜃 aqui. E é muito útil escrever um número complexo nesta forma. Aplicando isto ao nosso exemplo, onde o módulo de 𝑧 é quatro raiz de dois e o seu argumento é menos 𝜋 sobre quatro, escrevemos 𝑧 na forma 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 vezes sen 𝜃. Substituindo simplesmente quatro raiz de dois em 𝑟 e menos 𝜋 sobre quatro em 𝜃, obtemos que 𝑧 é quatro raiz de dois vezes cos de menos 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre quatro. Este não é apenas um passo a trabalhar no caminho para escrever o valor de 𝑧. É uma maneira válida de escrever o valor de 𝑧 em si.

Aqui está uma definição. Quando um número complexo 𝑧 é escrito na forma 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, diz-se que está na “forma polar”. Também pode ser chamada “forma trigonométrica” porque envolve funções trigonométricas cosseno e seno ou “forma módulo-argumento”, pois essa forma facilita a leitura do módulo e do argumento. Com 𝑧 como na definição, o seu módulo é 𝑟 e o seu argumento é 𝜃.

Isto nos deixa com a questão de qual é o nome da forma original 𝑎 mais 𝑏𝑖. É chamada “forma algébrica”, “forma cartesiana” ou “forma retangular”. Quatro menos quatro 𝑖 está nesta forma. E quatro raiz de dois vezes cos de menos 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre quatro é o mesmo número complexo escrito na forma trigonométrica. Vamos ver agora um exemplo, em que alguns números estão escritos corretamente na forma trigonométrica e outros números não.

Qual dos seguintes números complexos estão escritos corretamente na forma trigonométrica?

Tire um momento agora para parar o vídeo e examinar cuidadosamente cada opção antes de os analisarmos juntos. Ok, está pronto? Aqui vamos nós. Dizemos que o nosso número complexo está escrito na forma trigonométrica se estiver escrito na forma 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 para certos valores de 𝑟 e 𝜃. Queremos sempre que o valor de 𝑟 seja maior ou igual a zero. Pois é o módulo do nosso número complexo. E, às vezes, quer que 𝜃 esteja no intervalo de menos 𝜋 a 𝜋, incluindo 𝜋 mas não menos 𝜋, de modo que seja o argumento principal do número complexo. Mas não nos preocuparemos com isto para já.

Ok, vamos começar com a opção A; está escrito na forma pedida? O valor da raiz de dois fora dos parênteses parece bem. Mas dentro dos parênteses, temos sen de algo mais 𝑖 cos de algo onde queremos cos de algo mais 𝑖 sen de algo. Isto não está escrito corretamente na forma trigonométrica.

Em relação à opção B? Bem, vemos que fora dos parênteses os valores de 𝑖 é cinco, o que é positivo. Isto é uma boa notícia. E dentro dos parênteses, temos cos de algo mais 𝑖 sen de algo que é o que queremos. E, mais importante, em ambos os casos, os algos são os mesmos; menos cinco 𝜋 sobre seis é o valor de 𝜃. Agora, este valor de 𝜃 é negativo. Mas tudo bem. Isso é permitido. Na verdade, é mesmo o argumento principal do nosso número complexo. E assim, B está escrito corretamente na forma trigonométrica.

Passando para C, vemos que o valor de 𝑟 é 𝑒 ao quadrado, novamente o número positivo. Mas dentro dos parênteses, temos cos de algo menos 𝑖 sen de algo. E nós precisaríamos que menos sen fosse positivo para este número complexo estar corretamente escrito na forma trigonométrica.

Então, passamos para D. O valor de 𝑟 aqui é três 𝜋 sobre quatro. Dentro dos parênteses, temos cos de algo mais 𝑖 sen de algo conforme pedido. E mais uma vez, estes algos são os mesmos. O valor de 𝜃 é raiz de 35. Agora, pode pensar que é estranho que este número complexo tenha um módulo de três s 𝜋 obre quatro e um argumento de raiz de 35. Deveriam estar ao contrário, certo? Mas, tecnicamente falando, não há nada de errado com isto. Está na forma trigonométrica. No entanto, se escrever um número complexo como este, em que o módulo é um múltiplo de 𝜋 e o argumento for a raiz quadrada de um número, provavelmente deve certificar-se de não alterar acidentalmente estes dois valores.

Finalmente, a opção E, temos um valor positivo de 𝑟 fora dos parênteses e cos de algo mais 𝑖 sen de algo dentro dos parênteses. Mas estas coisas não são as mesmas. E nós temos 35𝜋 sobre sete e 35𝜋 sobre seis. Estes devem ser o mesmo valor de 𝜃 que é o argumento do número complexo. Como não são iguais, esse número não está escrito corretamente na forma trigonométrica.

A nossa resposta é, portanto, que apenas B e D estão corretamente escritas na forma trigonométrica. Como um extra, pode querer utilizar algumas identidades que conhece sobre seno e cosseno para escrever corretamente as opções A e C na forma trigonométrica. Infelizmente, não há uma maneira fácil de o fazer para a opção E. Vejamos um exemplo rápido de conversão da forma trigonométrica para a forma algébrica antes de tentarmos converter em sentido contrário.

Determine cos 𝜋 sobre seis. Determine sen 𝜋 sobre seis. E, a seguir, escreva o número complexo 10 cos 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen 𝜋 sobre seis na forma algébrica.

Bem, 𝜋 sobre seis radianos que é de 30 graus é um ângulo notável. E assim, lembramos que cos de 𝜋 sobre seis é raiz de três sobre dois e sen de 𝜋 sobre seis é um meio. Em alternativa, a sua calculadora pode fornecer estes valores. E agora que temos estes dois valores, podemos substituí-los no nosso número complexo na forma trigonométrica, obtendo 10 vezes a raiz de três sobre dois mais um meio 𝑖. E distribuindo este 10 sobre os termos entre parênteses, obtemos cinco raiz de três mais cinco 𝑖 que, conforme pedido, está na forma retangular, também conhecida como forma algébrica ou forma cartesiana, a forma 𝑎 mais 𝑏𝑖. Agora, vamos converter um número complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica.

Determine o módulo do complexo número um mais 𝑖. Determine o argumento do número um complexo mais 𝑖. E, por fim, escreva o número complexo um mais 𝑖 na forma trigonométrica.

Podemos desenhar o plano de Argand para nos ajudar. E podemos desenhar o vetor desde a origem zero no plano Argand até o complexo número um mais 𝑖. O módulo de um mais 𝑖 é apenas a norma deste vetor. E considerando um triângulo retângulo e aplicando o teorema de Pitágoras, descobrimos que esta é a raiz quadrada de um ao quadrado mais um ao quadrado, que é a raiz quadrada de dois. Naturalmente, a fórmula para o módulo de 𝑎 mais 𝑏𝑖 teria nos dado a mesma resposta. Isto é um módulo de um mais 𝑖. E quanto ao seu argumento?

Bem, isso é uma amplitude deste ângulo aqui, que chamaremos de 𝜃. E porque temos um triângulo retângulo com o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente, sabemos que o tan 𝜃 é igual ao oposto sobre o adjacente. E assim, 𝜃 é um arctan de um sobre um que é um arctan de um que é 𝜋 sobre quatro. Também poderíamos ter visto isto, notando que estamos a trabalhar com um triângulo retângulo isósceles. E assim, 𝜃 deve ser de 45 graus, que é 𝜋 sobre quatro em radianos. Agora que temos o módulo e o argumento do nosso número complexo, podemos escrevê-lo na forma trigonométrica.

Dizemos que o nosso número complexo está escrito na forma trigonométrica se estiver escrito na forma 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. E, o que é importante para nós, se o número complexo 𝑧 estiver escrito nesta forma, então o seu módulo é 𝑟 e o seu argumento é 𝜃. Bem, conhecemos o módulo e o argumento do nosso número complexo para que possamos substituí-los nos valores de 𝑟 e 𝜃. O valor de 𝑟 é o módulo raiz de dois e o valor de 𝜃 é o argumento 𝜋 sobre quatro. Este é um número complexo um mais 𝑖 na forma trigonométrica. É assim que convertemos um número da forma algébrica para a forma trigonométrica. Determinamos o seu módulo e o seu argumento e a seguir substituímo-los na fórmula. Vamos ver outro exemplo.

Escreva o número complexo 𝑧 igual a quatro 𝑖 na forma trigonométrica.

Nós fazemos isto em três etapas. Determinamos 𝑟 que é o módulo de 𝑧. Determinamos 𝜃 que é o seu argumento. E substituímos esses valores em 𝑧 igual a 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. Mas primeiro, vamos desenhar o plano de Argand com quatro 𝑖, é claro, situado no eixo imaginário. Podemos ver que o seu módulo, a sua distância da origem, é quatro. Poderíamos tê-lo obtido utilizando a nossa fórmula. Em qualquer caso, 𝑟 é quatro. E quanto ao seu argumento?

Tentar utilizar uma fórmula que envolva arctan 𝑏 sobre 𝑎 não funcionará com 𝑎 igual a ​​zero. E não podemos dividir por zero. Mas, felizmente, temos o nosso plano onde o argumento é exatamente este ângulo aqui, cuja amplitude é de 90 graus ou 𝜋 sobre dois radianos. Então o argumento de 𝑧 é 𝜋 sobre dois. Este é um valor que temos que substituir por 𝜃. E agora estamos prontos para substituir. E fazendo-o, temos quatro vezes cos 𝜋 sobre dois mais 𝑖 sen 𝜋 sobre dois.

Aqui estão os principais pontos que abordámos no vídeo. Assim como os pontos no plano podem ser dados utilizando coordenadas cartesianas ou trigonométricas, os números complexos podem ser dados na forma algébrica ou trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo 𝑧 é 𝑧 igual a 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, onde 𝑟 que é maior que ou igual a zero é o módulo e 𝜃 é o argumento. Para converter 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖 que está na forma algébrica para forma trigonométrica, calculamos o seu módulo 𝑟 e o seu argumento 𝜃 e substituímos esses valores na fórmula acima. Para converter para 𝑧 igual a 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 que está na forma trigonométrica para a forma algébrica, calculamos o seno e o cosseno, distribuímos 𝑟 e simplificamos.

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