Vídeo da aula: Ordem das Operações: PEMDAS Matemática • 5º Ano

Abordaremos uma série de exemplos para explicar como aplicar as regras da ordem das operações para calcular com consistência expressões aritméticas tais como 11 − 10 / 5 ∗ 4 + 9. Utilizaremos o acrónimo PEMDAS para ajudar a recordar a ordem.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos a ordem das operações e utilizaremos um sistema chamado PEMDAS. Podes já ter ouvido falar de BODMAS ou BIDMAS, mas utilizaremos o PEMDAS.

Quando tiveres expressões complicadas para calcular, o PEMDAS o ajudará a decidir quais as partes a executar em primeiro, quais as partes a executar em segundo, etc. Então, vamos seguir as regras e ver alguns exemplos. O primeiro da lista é P, entre parênteses. E é mesmo sobre parênteses ou agrupamentos.

Portanto, alguns exemplos disso seriam quando tem parênteses redondos, como três mais cinco. Podes ter parênteses retos, quatro menos dois. Ou podes ter uma fração e o numerador implicar um agrupamento; precisas de manter o três e o seis juntos, o que implica um agrupamento. Por exemplo, temos uma expressão como esta cinco mais três está entre parênteses e depois seis. Então, cinco mais três, temos que calcular primeiro, e cinco mais três é obviamente oito. E quando calculamos os parênteses, obviamente, podemos nos livrar deles. Então, isto transformou-se em oito vezes seis, que é quarenta e oito.

Portanto, outro exemplo é cinco mais três tudo sobre dois. Bem, isto significa cinco mais três dividido por dois. Mas como o cinco mais três é o numerador, isso implica que precisamos de resolvê-lo primeiro; está agrupado. Portanto, é quase como se tivéssemos parênteses em torno do numerador. Então, fazendo isso primeiro, acabamos com oito sobre dois. Obviamente, oito sobre dois, não precisamos mais dos parênteses. E o que oito sobre dois realmente significa é oito dividido por dois e oito dividido por dois é quatro. Mais um exemplo três mais dois entre parênteses vezes sete menos dois entre parênteses. Portanto, P está no topo da lista, então precisamos de calcular os parênteses primeiro. Mas temos dois, então o que fazemos? Bem, primeiro fazemos o da esquerda e depois trabalhamos o da direita. Então, fazemos primeiro o da esquerda, depois o da direita. E três mais dois é cinco, então é o mesmo que cinco vezes sete menos dois. Agora podemos calcular os parênteses à direita. E sete menos dois é cinco, então temos cinco vezes cinco, ou seja, vinte e cinco.

Portanto, é importante lembrar com o PEMDAS que, se dois termos diferentes tiverem igual prioridade, os dois terão parênteses à volta, e trabalhará da esquerda para a direita. Por isso fizemos este primeiro e depois fizemos este. Agora E, expoentes. Por exemplo, 𝑥 ao quadrado, 𝑥 elevado a dois. E depois de calcular os parênteses, precisas de calcular os seus expoentes e ter cuidado para aplicar os expoentes apenas às suas bases. Vamos ver alguns exemplos. Dois mais três ao quadrado. Bem, com parênteses, precisamos de calcular primeiro. E dois mais três é igual a cinco, então é igual a cinco ao quadrado, o que significa cinco vezes cinco, o que nos dá uma resposta de vinte e cinco.

Mas e se tivéssemos começado com apenas dois mais três ao quadrado sem parênteses? Bem, sem parênteses, nada a fazer ali. Então, a seguir, vamos aos nossos expoentes. Portanto, temos que calcular três ao quadrado, que é três vezes três, que é nove, e dois mais nove são onze. Logo, é importante ver que este expoente se aplica apenas a esta base, a três, e não à totalidade do dois mais três. Precisávamos de parênteses para forçar isto a acontecer. Certo, e este menos três ao quadrado? Bem, como não existem parênteses, não precisamos nos preocupar com isto. O próximo da lista são os expoentes, por isso temos que fazer o três ao quadrado. E o que fazer ao nosso sinal negativo à frente do três? Isto pode ser interpretado como menos um vezes três ao quadrado ou pode ser interpretado como tirar três ao quadrado, apenas três ao quadrado. Em ambos os casos, é uma multiplicação ou subtração; estão mais abaixo na lista do que expoentes. Então, primeiro que tudo, temos que fazer apenas o três ao quadrado. Três ao quadrado é nove, então temos o negativo de nove. Então, aqui está a nossa resposta: menos nove. Agora, alguns de vocês podem estar a pensar: “Espera! o quadrado de menos três é menos três vezes menos três. Isto deveria ter sido positivo nove!” Mas da maneira que escrevemos, não escrevemos menos três ao quadrado, apenas escrevemos o negativo de três ao quadrado. Agora, se tivéssemos escrito menos três entre parênteses, é o conjunto destes parênteses ao quadrado. Então, isso significa menos três vezes menos três, e é nove. Então, precisas mesmo de prestar atenção ao que estás a fazer com isto.

O próximo da lista é multiplicação ou divisão. Novamente, é realmente importante lembrar que multiplicação ou divisão têm o mesmo nível de precedência; ambos são igualmente prioritários nesta lista. Mas trabalhas da esquerda para a direita em todas as expressões que estás a tentar calcular. Por exemplo, quinze dividido por cinco vezes dois. Como o M vem antes do D no PEMDAS, não significa dizer que devas fazer a multiplicação primeiro sempre. Trabalha da esquerda para a direita, lembras-te? Têm a mesma prioridade, então primeiro vamos fazer o quinze dividido por cinco, que é três, ou seja, três vezes dois. E agora só temos uma coisa a fazer, três vezes dois, que é seis. Então, vamos dar uma olhadela neste: dois vezes três mais quatro vezes cinco. Bem, não há parênteses, não há expoentes, mas temos dois lotes de multiplicação, então trabalharemos da esquerda para a direita. Primeiro que tudo, vamos fazer este. E dois vezes três é seis, o que significa seis mais quatro vezes cinco. E, em seguida, vamos fazer isto, e quatro vezes cinco é vinte, então temos seis mais vinte, que é vinte e seis.

E o último da lista é adição ou subtração. Novamente, ambos têm precedência igual nesta lista; portanto, trabalhas da esquerda para a direita na expressão. Então, por exemplo, um mais dois menos três. Temos uma adição e uma subtração. Então, vamos trabalhar da esquerda para a direita nesta expressão. Um mais dois é três, então temos três menos três. E três menos três é zero, que é a nossa resposta. Vamos ver outro: cinco menos dois mais três. Temos uma subtração e uma adição. Só porque diz AS no PEMDAS não significa dizer que devas fazer a adição primeiro; nós temos que trabalhar da esquerda para a direita nesta expressão. Então, primeiro que tudo, vamos fazer o cinco menos dois, que é três. Então, temos três mais três. Agora podemos adicionar três e três para nos dar seis. Agora dissemos que, se tens adição e subtração, as duas têm a mesma prioridade, então trabalhas da esquerda para a direita. Porém, colocando parênteses em dois termos à direita na expressão, podemos forçar as pessoas a executá-los primeiro. Portanto, estes parênteses significam que vamos olhar aqui dentro; faremos isto dois mais três antes de passarmos para o cinco. Bem, dois mais três é cinco, e cinco menos cinco, que é zero.

Agora, vamos ver alguns exemplos gerais. Onze menos dez dividido por cinco vezes quatro mais três ao quadrado. Bem, não temos parênteses, então não precisamos de fazer nada lá em cima. Expoentes? Sim, temos alguns expoentes, então é melhor fazê-los primeiro. E três ao quadrado é igual a nove, então agora temos onze menos dez dividido por cinco vezes quatro mais nove. Então, temos alguma multiplicação ou divisão? Sim, temos, então é melhor fazermo-las em seguida. Temos uma divisão e uma multiplicação. E temos que trabalhar da esquerda para a direita, então vou fazer a divisão primeiro e depois a multiplicação. Então, dez dividido por cinco é dois, então temos onze menos dois vezes quatro mais nove. Agora vamos fazer a multiplicação dois vezes quatro. E temos onze menos dois vezes quatro, que é onze menos oito e temos mais nove no final. Então, fizemos o P e o E e o M e o D, agora vamos à adição e subtração. E, novamente, vamos da esquerda para a direita. Então, primeiro, vamos fazer este, e depois vamos fazer este. E onze menos oito é três, então temos três mais nove, que é igual a doze.

Vamos ver outro exemplo: quatro vezes entre abre parênteses dois vezes dois fecha parênteses dividido por quatro vezes entre abre parênteses dois mais dois fecha parênteses. Então, temos dois parênteses; vou calcular primeiro o da esquerda e depois o da direita. E dois vezes dois é quatro, então isso deixa-nos com quatro vezes quatro dividido por quatro vezes dois mais dois. Portanto, calcular este segundo parênteses agora dá-nos quatro vezes quatro dividido por quatro vezes quatro. Então, fizemos os parênteses. Como não existem expoentes, passamos à multiplicação e divisão. Agora, estes têm precedência igual, só precisamos de trabalhar da esquerda para a direita. Então, primeiro vamos fazer este, depois vamos fazer este e depois vamos fazer este. Então, temos uma resposta de dezasseis.

Agora, vale a pena notar que há um erro comum que as pessoas cometem. Muitas pessoas percebem que tens parênteses aqui, então, na verdade, dizem: “Vamos calcular tudo isto”, e depois vêem estes parênteses aqui e calculam toda aquela parte. Pelo que dizem que dois vezes dois é quatro vezes quatro é dezasseis e dois mais dois é quatro vezes quatro são dezasseis. E fazem dezasseis dividido por dezasseis e obtêm a resposta um. Isto está errado! Portanto, este trabalho da esquerda para a direita é uma regra importante. Agora, se quiséssemos que a resposta fosse igual a um, o que precisamos de fazer é colocar um parênteses à volta da primeira expressão toda e um parênteses à volta da expressão toda. E isso forçar-nos-ia a fazer os parênteses dentro dos parênteses primeiro, e depois o da esquerdo, e depois os parênteses dentro destes parênteses primeiro e depois aquele. Isso forçar-nos-ia a obter dezasseis dividido por dezasseis que é igual a um.

Certo, vamos olhar para este aqui. Temos cinco menos dois mais três tudo ao quadrado menos três menos seis ao quadrado dividido por dois. Então, nós temos para calcular os parênteses primeiro. E, olhando para dentro, só temos adição e subtração, então vamos trabalhar da esquerda para a direita dentro do primeiro parênteses. Então, primeiro que tudo, temos cinco menos dois, que é três, então isso torna-se três mais três. Agora temos três mais três é igual a seis, e temos seis ao quadrado menos três menos seis ao quadrado dividido por dois. Então, isto trata dos nossos parênteses. Em seguida, procuramos expoentes. E temos dois: este e este. Então, calculo primeiro o da esquerda, que se torna trinta e seis. E agora calculo o segundo, que também é seis ao quadrado. Então, também é trinta e seis. Bem, não há mais expoentes, então agora vamos para multiplicação e divisão. Bem, não há multiplicação, mas há alguma divisão a ocorrer aqui: trinta e seis dividido por dois é dezoito. Então isso deixa-nos com uma adição e subtração a fazer, na verdade apenas subtração. Então, temos trinta e seis, três, oito, e fazemos o primeiro primeiro. Trinta e seis tirar três é trinta e três e trinta e três menos dezoito é quinze, que é a nossa resposta.

Agora, vê este exemplo, temos dois conjuntos de parênteses: um interior e outro exterior. Então, vamos calcular o interior primeiro. E dentro deste, temos vinte e cinco dividido por cinco e dois, então temos divisão e subtração. Então, olhando para o PEMDAS, temos que fazer a divisão antes da subtração. Portanto, parece que a primeira coisa que fizemos foi calcular uma divisão e que está na lista abaixo entre parênteses. Mas lembra-te, estamos a trabalhar no parêntese interior, então vinte e cinco dividido por cinco é cinco. Então, agora temos que calcular cinco menos dois; estes estão entre parênteses novamente. E cinco menos dois é três, de modo que, entre parênteses, aqui mostra-se três ao quadrado. Então, agora ainda temos parênteses, então precisamos de calcular isto. Portanto, é o três ao quadrado menos um tudo ao quadrado. Então, tenho que calcular o parênteses primeiro, três ao quadrado menos um. E, dentro deste, temos que fazer o três quadrados primeiro porque é um expoente e depois subtrairemos um porque a subtração está mais abaixo na lista do que os expoentes. Portanto, este três ao quadrado é nove e nove menos um é oito. Portanto, esse parênteses de parênteses resultou em oito, então ficamos com oito ao quadrado, que é sessenta e quatro. Portanto, se tens vários parênteses, se tens parênteses entre parênteses, é necessário calculá-los primeiro. E como dentro parênteses ainda podes ter algumas expressões bastante complicadas, a primeira operação a realizar num cálculo pode ser multiplicação, divisão, adição ou subtração. Deves calcular o conteúdo dos parênteses antes de calcular outras partes da expressão.

Certo, vamos ver um último exemplo. E este é bem complicado. Portanto, em termos de parênteses, temos dois conjuntos de parênteses, pelo que podemos calcular primeiro o da esquerda. E dez menos cinco dá-nos cinco. Agora, na verdade, há um par implícito de parênteses aqui; esta linha aqui em fração que divide o numerador do denominador está a implicar um agrupamento em tudo no numerador. Então, podemos dizer que estes estão entre parênteses. Então, na verdade, vou calcular estes. E tenho cinco ao quadrado mais cinco; vou fazer o quadrado primeiro e depois vou adicionar o cinco. E vinte e cinco mais cinco é trinta. Então, isto lida com os parênteses lá. Agora posso calcular esta expressão aqui, então menos dois tudo ao quadrado significa menos dois vezes menos dois, o que é quatro positivo. Então, como lidei com os parênteses, agora posso procurar expoentes, e há um aqui: dois ao quadrado, dois ao quadrado é quatro. Portanto, todos estes parênteses e expoentes estão tratados. Agora é multiplicação e divisão. Bem, tenho uma divisão implícita aqui: trinta a dividir por seis, que é cinco. Então, agora só tenho adição e subtração. Vou trabalhar a partir da esquerda e vou fazer cinco mais quatro primeiro e depois vou subtrair quatro. Então, cinco mais quatro é nove, e nove menos quatro é cinco. Bem, vimos alguns exemplos aqui. Esperemos que estejamos a dar-te sabores suficientes do PEMDAS para calcular qualquer expressão que vejas.

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