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Inverso de uma Matriz: O Método da Matriz Adjunta
Neste vídeo, vamos discutir como encontrar o inverso de qualquer matriz quadrada com determinante diferente de zero usando o método da matriz adjunta. Vamos passar pelo método em detalhes, explicando como encontrar as matrizes menores, como construir a matriz de cofator e, em seguida, como construir as adjuntas de nossa matriz. Em seguida, passaremos por alguns exemplos explicando como podemos aplicar esse método para encontrar inversos.
Antes de discutirmos esse novo método de encontrar o inverso de uma matriz quadrada, precisaremos passar por alguns conceitos novos primeiro. Vamos começar definindo uma matriz menor. Se tivermos uma matriz 𝐴 que é da ordem 𝑚 vezes 𝑛, então a matriz menor, que representamos com 𝐴 𝑖𝑗, é a matriz 𝐴 onde removemos a 𝑖-ésima linha e a 𝑗-ésima coluna da matriz 𝐴. Então nossa matriz menor 𝐴 𝑖𝑗 é exatamente a mesma que a matriz 𝐴. No entanto, removemos a 𝑖-ésima linha e a 𝑗-ésima coluna. E sabemos que se removermos uma linha e uma coluna da matriz 𝐴, nossa nova ordem será 𝑚 menos um por 𝑛 menos um. E a maneira mais fácil de entender esse conceito é por meio de um exemplo.
Vamos começar com a matriz 𝐴, que é uma matriz de três por quatro dada como segue. Agora, vamos ver como construiríamos a matriz menor 𝐴 dois três. De nossa definição de matriz menor, podemos ver que precisamos remover a 𝑖-ésima linha e a 𝑗-ésima coluna de nossa matriz 𝐴. Primeiro, nosso valor de 𝑖 é dois. Então, precisamos remover a segunda linha de nossa matriz 𝐴. Em seguida, podemos ver que o valor de 𝑗 é igual a três. Então, precisamos remover a terceira coluna da matriz 𝐴. Então nossa matriz menor 𝐴 dois três serão todos os elementos restantes que não removemos. 𝐴 dois três será a seguinte matriz.
No entanto, esta não é a única matriz menor que poderíamos ter construído. Agora, vamos construir a matriz menor 𝐴 três um. Desta vez, podemos ver que o valor de 𝑖 é igual a três. Então, precisamos remover a terceira linha de nossa matriz 𝐴. E podemos ver que o valor de 𝑗 é um. Então, precisamos remover a primeira coluna da matriz 𝐴. E então podemos construir nossa matriz 𝐴 três um usando todos os elementos restantes, aqueles que não removemos de 𝐴. Isso nos dá 𝐴 três um é a seguinte matriz.
Os métodos pelos quais passamos neste vídeo nos ajudarão a determinar se podemos encontrar o inverso de qualquer matriz 𝑛 por 𝑛. No entanto, precisaremos encontrar o determinante de qualquer matriz da qual queremos encontrar o inverso. E vimos anteriormente que é difícil calcular o determinante para grandes matrizes quadradas. Então, vamos nos concentrar principalmente em matrizes três por três.
E antes de fazermos isso, vamos precisar lembrar como encontramos o determinante de uma matriz dois por dois. Seja 𝐴 igual à matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Então o determinante de 𝐴 é igual a 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Agora estamos prontos para discutir a parte chave que nos ajudará a encontrar o inverso de qualquer matriz quadrada com determinante diferente de zero. Precisamos discutir o que é a matriz de cofator de uma matriz 𝐴.
Primeiro, porque estamos usando isso para encontrar o inverso de uma matriz, precisamos que nossa matriz 𝐴 seja uma matriz quadrada. Digamos que sua ordem seja 𝑛 por 𝑛. Em seguida, para construir nossa matriz de cofator, precisaremos encontrar todas as matrizes menores de 𝐴. Vamos chamá-los de 𝐴 𝑖𝑗. Agora estamos prontos para construir a matriz de cofator de 𝐴. Vamos chamar essa matriz de 𝐶. E vamos defini-la elemento por elemento. A entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 da nossa matriz de cofator será dada por menos um elevado à potência de 𝑖 mais 𝑗 multiplicado pelo determinante da matriz menor 𝐴 𝑖𝑗. E lembre-se, nossa matriz 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑛 por 𝑛. Portanto, nossos valores de 𝑖 percorrerão as linhas de nossa matriz 𝐴. E os valores de 𝑗 estarão correndo através das colunas de nossa matriz 𝐴. Portanto, nossos valores de 𝑖 variam de um a 𝑛 e nossos valores de 𝑗 variam de um a 𝑛. Isso significa que nossa matriz de cofator será uma matriz quadrada. Será da ordem de 𝑛 por 𝑛.
Também vale a pena ressaltar que às vezes você verá isso escrito em toda a sua forma de matriz. E se fizéssemos isso, obteríamos a seguinte representação matricial de nossa matriz de cofator. E vale a pena ressaltar que tudo o que fizemos aqui foi criar uma matriz quadrada de 𝑛 por 𝑛 onde na linha 𝑖 e coluna 𝑗 usamos nossa fórmula para construir a entrada. Mas geralmente é muito mais fácil trabalhar com nossa definição para cada entrada individualmente. Antes de discutirmos como vamos usar a matriz de cofator para encontrar o inverso de uma matriz, vamos ver alguns exemplos.
Dado que 𝐴 é igual à matriz três por três, menos cinco, oito, menos sete, seis, zero, um, cinco, menos quatro, menos oito, determine o valor de menos um elevado a um mais dois multiplicado pelo determinante da matriz menor 𝐴 um dois.
Recebemos uma matriz quadrada três por três. E nos é pedido para determinar o valor de menos um elevado a um mais dois vezes o determinante da matriz menor 𝐴 um dois. E embora não seja necessário responder a essa pergunta, vale a pena ressaltar que essa será a entrada na linha um e na coluna dois de nossa matriz de cofator.
O primeiro passo para responder a essa pergunta é lembrar o que queremos dizer com a matriz 𝐴 um dois. Nós chamamos isso de matriz menor. A matriz menor 𝐴 𝑖𝑗 significa que removemos a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 da nossa matriz 𝐴. No nosso caso, podemos ver que o valor de 𝑖 é igual a um e 𝑗 é igual a dois. Podemos então escrever isso em nossa definição para a matriz menor. Vemos que a matriz menor 𝐴 um dois significa que removemos a linha um e a coluna dois da matriz 𝐴.
Então, para encontrar nossa matriz menor 𝐴 um dois, precisamos começar com nossa matriz 𝐴 e depois remover a linha um. Isso significa que removemos as três entradas a seguir. Então, também precisamos remover a coluna dois. Isso significa que precisamos remover toda a segunda coluna da matriz 𝐴. E podemos ver que isso nos deixa com apenas quatro elementos. Então, podemos construir nossa matriz menor 𝐴 um dois construindo uma matriz com os quatro elementos restantes. Isso dá 𝐴 um dois é a matriz dois por dois seis, um, cinco, menos oito.
Mas a questão não é apenas nos pedir para encontrar a matriz menor 𝐴 um dois. Também precisamos encontrar seu determinante. E como 𝐴 um dois é uma matriz dois por dois, podemos fazer isso lembrando a fórmula para o determinante de uma matriz dois por dois. Lembramos que o determinante da matriz quadrada 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 é igual a 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. No nosso caso, podemos ver que 𝑎 é igual a seis e 𝑑 é igual a menos oito. E também podemos ver que nosso valor de 𝑏 é igual a um e 𝑐 é igual a cinco. Então, usando essa fórmula, temos o determinante de 𝐴 um dois é igual a seis vezes menos oito menos um vezes cinco. E se calcularmos essa expressão, obtemos menos 53.
Agora estamos prontos para encontrar o valor da expressão dada a nós na pergunta. Temos menos um elevado a um mais dois multiplicado pelo determinante de 𝐴 um dois é igual a menos um ao cubo, pois um mais dois é igual a três, e menos 53, pois já encontramos o valor desse determinante. E podemos simplificar isso para dar 53. Portanto, fomos capazes de mostrar para a matriz quadrada 𝐴 dada a nós na questão, o valor de menos um elevado a um mais duas vezes o determinante da matriz menor 𝐴 um dois é igual a 53.
Vamos agora passar por um exemplo de como encontrar uma matriz de cofator de uma matriz quadrada três por três. Vamos começar com a matriz quadrada três por três 𝐴 é igual a três, zero, menos três, menos dois, menos três, menos seis, sete, três, menos cinco. E agora lembramos que o elemento na linha 𝑖 e coluna 𝑗 da nossa matriz de cofator será menos um elevado a 𝑖 mais 𝑗 multiplicado pelo determinante da matriz menor 𝐴 𝑖𝑗.
Então, para encontrar nossa matriz de cofator, primeiro precisaremos encontrar todas as nossas matrizes menores. Vamos começar com a matriz menor 𝐴 um um. Lembre-se, isso significa que precisaremos remover a primeira linha e a primeira coluna da matriz 𝐴. Isso dá a seguinte matriz dois por dois. Isso dá 𝐴 um um é menos três, menos seis, três, menos cinco. Para encontrar nossa matriz de cofator, precisaremos encontrar todas as nossas matrizes menores.
Vamos agora encontrar a matriz menor 𝐴 um dois. Isso significa que precisamos remover a linha um e a coluna dois da nossa matriz 𝐴. E fazer isso nos deixa com os seguintes quatro elementos. Então a matriz menor 𝐴 um dois é menos dois, menos seis, sete, menos cinco. Como nossa matriz 𝐴 é uma matriz três por três, nossos valores de 𝑖 e 𝑗 variam de um a três. Então, teremos nove matrizes menores para calcular. E podemos encontrar todas as nove usando o mesmo método. Removemos a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 de nossa matriz 𝐴. Isso dá as seguintes nove matrizes menores.
Agora podemos ver a partir de nossa definição da matriz de cofator que precisaremos encontrar o determinante de todas essas matrizes menores. E como todas essas matrizes são dois por dois, podemos fazer isso lembrando o determinante da matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 é igual a 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Então, vamos começar encontrando o determinante da matriz menor 𝐴 um um. Isso é igual a menos três vezes menos cinco menos menos seis multiplicado por três. E se calcularmos essa expressão, é igual a 33.
Podemos então fazer exatamente o mesmo para encontrar o determinante de nossa matriz menor 𝐴 um dois. É igual a menos duas vezes menos cinco menos menos seis multiplicado por sete. E se calcularmos essa expressão, vemos que é igual a 52. Usando exatamente o mesmo método, podemos encontrar os determinantes de todas as nossas matrizes menores. Nós obteríamos os seguintes valores.
Agora que encontramos os determinantes de todas as nossas matrizes menores, podemos encontrar todos os elementos da nossa matriz de cofator. Começaremos com a entrada na linha um e na coluna um de nossa matriz de cofator. Será igual a menos um elevado a um mais um multiplicado pelo determinante de nossa matriz menor 𝐴 um um. Bem, sabemos que menos um elevado a um mais um é igual a um. E já mostramos que o determinante de 𝐴 um um é igual a 33. Então, 𝐶 um um será igual a 33. Então, mostramos que 𝐶 um um é igual a 33. E, de fato, podemos adicionar isso à nossa matriz de cofator na linha um, coluna um.
Podemos fazer o mesmo para encontrar a entrada na linha um, coluna dois. É igual a menos um elevado a um mais duas vezes o determinante de 𝐴 um dois. E como o determinante de 𝐴 um dois é 52, isso simplifica para dar menos 52. E podemos adicionar isso à nossa matriz de cofator na linha um, coluna dois. E poderíamos fazer exatamente o mesmo para encontrar todas as entradas restantes de nossa matriz de cofator. Fazer isso nos daria os seguintes valores. E assim como fizemos antes, podemos adicioná-los à nossa matriz de cofator 𝐶.
Há uma coisa que vale a pena ressaltar aqui. Quando calculamos 𝐶 𝑖𝑗, multiplicamos o determinante de nossa matriz menor por menos um elevado a 𝑖 mais 𝑗. Isso significa que na linha um, coluna um, nós sempre multiplicaremos por um positivo. E então, na linha um e na coluna dois, nós sempre multiplicaremos por menos um. E esse padrão vai continuar. E algumas pessoas preferem usar isso em vez de multiplicar por menos um elevado a 𝑖 mais 𝑗. Precisamos apenas nos lembrar de multiplicar nosso determinante pelo valor.
Agora que construímos nossa matriz de cofator, podemos discutir como podemos usar isso para encontrar o inverso de nossa matriz. Primeiro, precisamos de uma última definição. A matriz adjunta de uma matriz 𝐴, denotada adjunta de 𝐴, é igual à transposta de nossa matriz 𝐶, onde 𝐶 é a matriz cofator de 𝐴. E também vale a pena lembrar que quando pegamos a transposição de uma matriz, trocamos as linhas e colunas.
E agora estamos finalmente prontos para determinar como encontrar o inverso de uma matriz quadrada. Temos se 𝐴 é uma matriz quadrada e o determinante de 𝐴 não é igual a zero, então o inverso de 𝐴 será igual a um dividido pelo determinante de 𝐴 multiplicado pela adjunta de 𝐴. Então, para encontrar o inverso de qualquer matriz quadrada, existem duas partes. Primeiro, precisamos encontrar o determinante de 𝐴 e, em seguida, precisamos encontrar a adjunta de 𝐴. E lembre-se, se o determinante de 𝐴 for igual a zero, a matriz não tem uma inversa. Então, normalmente, nós verificamos isso primeiro.
Vamos agora ver alguns exemplos do uso do método da matriz adjunta para encontrar o inverso de algumas matrizes.
Considere a matriz um, zero, três, um, zero, um, três, um, zero. Determine se a matriz tem uma inversa descobrindo se o determinante é diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, encontre o inverso usando a fórmula para o inverso que envolve a matriz do cofator.
Recebemos uma matriz três por três. E a primeira coisa que nos é solicitada é determinar se essa matriz tem uma inversa, primeiro encontrando o determinante de nossa matriz e verificando se isso é igual a zero. Lembre-se, se o determinante de uma matriz é igual a zero, então essa matriz não pode ser invertida. E para uma matriz quadrada, se seu determinante não for igual a zero, então é invertível. Então, precisamos começar encontrando o determinante de nossa matriz. Vamos chamar essa matriz de 𝐴.
Existem muitas maneiras diferentes de encontrar o determinante de uma matriz. A maneira mais fácil é descobrir qual linha ou coluna contém o maior número de zeros. Para a nossa matriz 𝐴, podemos ver que esta é a coluna dois. Tem dois zeros. Então, precisamos lembrar nossa fórmula para o determinante de uma matriz três por três onde escolhemos uma coluna 𝑗. Isso dá a seguinte expressão, onde 𝑎 um 𝑗, 𝑎 dois 𝑗 e 𝑎 três 𝑗 são as entradas na linha um, coluna 𝑗; linha dois, coluna 𝑗; e linha três, coluna 𝑗 de nossa matriz 𝐴. E 𝐴 um 𝑗, 𝐴 dois 𝑗 e 𝐴 três 𝑗 são nossas matrizes menores.
Como escolhemos a segunda coluna, definiremos nosso valor de 𝑗 igual a dois. Então, usando 𝑗 é igual a dois, obtemos a seguinte expressão. E podemos simplificar. Primeiro, menos um elevado a um mais dois é igual a menos um. Menos um elevado a dois mais dois é igual a um. E menos um elevado a três mais dois é igual a menos um. Assim, podemos simplificar nossa expressão para dar o seguinte.
Podemos então usar nossa definição da matriz 𝐴 para encontrar alguns desses valores. Primeiro, 𝑎 um dois é a entrada na linha um, coluna dois de nossa matriz. Podemos ver que isso é zero. Em seguida, 𝑎 dois dois é a entrada na linha dois, coluna dois. Podemos ver que isso também é zero. Finalmente, 𝑎 três dois é a entrada na linha três, coluna dois. Podemos ver que isso é igual a um. Portanto, nossos dois primeiros termos têm um fator de zero e, portanto, são iguais a zero. Portanto, toda essa expressão é simplificada para dar menos um vezes o determinante da matriz menor 𝑎 três dois. E podemos encontrar nossa matriz menor 𝐴 três dois da nossa definição de 𝐴.
Lembre-se, precisamos remover a linha três e a coluna dois da nossa matriz 𝐴. E isso deixa com apenas quatro elementos: um, três, um, um. Portanto, nossa matriz adjunta 𝐴 três dois é a matriz dois por dois, um, três, um, um. Portanto, o determinante de 𝐴 é menos um vezes o determinante da matriz dois por dois, um, três, um, um. E sabemos como encontrar o determinante de uma matriz dois por dois. O determinante de uma matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 é igual a 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. E usando isso, podemos mostrar o determinante da matriz dois por dois, um, três, um, um é igual a um vezes um menos três vezes um. E, claro, ainda precisamos multiplicar isso por menos um. E se simplificarmos essa expressão, vemos que temos dois. E, portanto, como o determinante de nossa matriz quadrada não é igual a zero, podemos concluir que deve ter uma inversa.
A próxima parte de nossa pergunta nos pediu para encontrar o inverso de nossa matriz usando a fórmula que envolve a matriz de cofator. Então, vamos limpar algum espaço e, em seguida, lembrar como faríamos isso para nossa matriz 𝐴. Lembramos que podemos encontrar o inverso de uma matriz seguindo cinco etapas.
Primeiro, precisamos calcular o determinante de nossa matriz 𝐴. Fazemos isso primeiro porque se isso for igual a zero, não podemos encontrar o inverso. E já fizemos isso na primeira parte da nossa pergunta. Descobrimos que o determinante da nossa matriz 𝐴 era igual a dois.
A segunda coisa que precisamos fazer é encontrar todas as nossas matrizes menores. Lembre-se, a matriz menor 𝐴 𝑖𝑗 é a nossa matriz 𝐴 de onde removemos a linha 𝑖 e a coluna 𝑗. Vamos começar encontrando 𝐴 um um. Isso significa que precisamos remover a primeira linha e a primeira coluna da nossa matriz 𝐴. Então, removemos a primeira linha e a primeira coluna da nossa matriz 𝐴. E, ao fazer isso, ficamos com apenas quatro elementos. Então a matriz menor 𝐴 um um é igual à matriz dois por dois zero, um, um, zero. Precisamos encontrar todas as nossas matrizes menores. Agora precisamos encontrar 𝐴 um dois. Isso significa que removemos a primeira linha e a segunda coluna da nossa matriz 𝐴. Ao fazer isso, podemos ver que ficamos com quatro entradas: um, um, três e zero. Então a matriz menor 𝐴 um dois é a matriz dois por dois, um, um, três, zero. E podemos usar exatamente o mesmo método para encontrar todas as nossas matrizes menores. Obtemos as seguintes nove matrizes.
A terceira coisa que precisamos fazer é construir nossa matriz de cofator. E lembre-se, a entrada na linha 𝑖, coluna 𝑗 da nossa matriz de cofator é igual a menos um elevado a 𝑖 mais 𝑗 multiplicado pelo determinante da matriz menor 𝐴 𝑖𝑗. Isso significa que precisamos encontrar os determinantes de todas as nove matrizes menores de nossa matriz. E sabemos como encontrar o determinante de matrizes dois por dois. Por exemplo, o determinante de 𝐴 um um será igual a zero vezes zero menos um vezes um. E podemos calcular essa expressão. É igual a menos um.
Podemos fazer exatamente o mesmo para encontrar o determinante de nossa segunda matriz de cofator. Nós obtemos que é igual a um vezes zero menos um vezes três, o que podemos calcular é igual a menos três. E podemos fazer exatamente a mesma coisa para encontrar o determinante de todo o resto de nossas matrizes menores. Nós obtemos os seguintes valores. Mas lembre-se, precisamos multiplicar isso por menos um elevado a 𝑖 mais 𝑗. Em outras palavras, multiplicamos o determinante de 𝐴 um um por um. Nós então multiplicamos o determinante de 𝐴 um dois por menos um, isso dá três positivos, e multiplicamos o determinante de 𝐴 um três por um. Nós multiplicamos o determinante de 𝐴 dois um por menos um. Isso dá três positivos. E podemos continuar isso para todas as nossas matrizes menores d< matriz. Isso dá os seguintes valores.
E lembre-se, cada um desses valores é uma entrada em nossa matriz de cofator. Então, preenchendo a linha 𝑖, coluna 𝑗 com cada um desses valores, obtemos nossa matriz de cofator 𝐶 que é a seguinte matriz três por três. Então, vamos limpar nosso trabalho e passar para a quarta etapa. Agora precisamos encontrar nossa matriz adjunta. Essa é a transposição da nossa matriz de cofator.
Lembre-se, a transposição de uma matriz significa que precisamos trocar as linhas pelas colunas. Então, quando transpomos nossa matriz de cofator, nossa primeira linha será menos um, três, zero. Então escrevemos na primeira linha menos um, três, zero. E nossa segunda linha será três, menos nove, dois. E nossa terceira linha será um, menos um, zero. E esta é a adjunta da nossa matriz 𝐴. Tudo o que resta a fazer agora é usar nossa fórmula para encontrar o inverso de 𝐴.
Usando nossa fórmula para 𝐴 inversa, obtemos que 𝐴 inversa é igual à seguinte expressão. E então podemos simplificar essa matriz para encontrar a matriz três por três, que é o inverso de 𝐴.
Vamos agora rever os pontos principais deste vídeo. Primeiro, a matriz menor 𝐴 𝑖𝑗 de uma matriz 𝐴 é obtida removendo a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 de 𝐴. Também sabemos que para uma matriz quadrada, sua matriz de cofator terá a mesma ordem. E as entradas de nossa matriz de cofator são geradas usando a seguinte fórmula. Sabemos que a adjunta de 𝐴 é a transposta da matriz de cofator. E, finalmente, para uma matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero, descobrimos que o inverso de 𝐴 é igual a um sobre o determinante de 𝐴 vezes a adjunta de 𝐴.
