O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Grau e Coeficiente de Polinômios Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como determinar o grau de um polinômio e usar a terminologia associada aos polinômios, como termos, coeficientes e constantes.

17:11

Transcrição do vídeo

Grau e Coeficiente de Polinômios

Neste vídeo, aprenderemos o que queremos dizer com polinômio e definiremos várias palavras diferentes para nos ajudar a descrever diferentes partes dos polinômios. Aprenderemos o que queremos dizer com o grau de um polinômio, o que queremos dizer com os coeficientes de diferentes partes de um polinômio e veremos como podemos encontrá-los dado um polinômio.

Para fazer isso, vamos começar definindo os blocos de construção dos polinômios. Estes são chamados de monômios. E um monômio é uma expressão que consiste apenas em um produto de constantes e variáveis, onde é importante saber que nossas variáveis só podem ter expoentes inteiros não negativos. Podemos então dar um exemplo de alguns monômios. Por exemplo, dois 𝑥 é um monômio porque é um produto entre a constante dois e 𝑥. E lembre-se, 𝑥 é apenas 𝑥 elevado a primeira potência. Outro exemplo pode ser menos 𝑦 ao quadrado. 𝑦 é uma variável, então podemos elevar isso à potência de dois. E lembre-se, menos 𝑦 ao quadrado é menos um vezes 𝑦 ao quadrado. Então, este é outro exemplo de um monômio.

Outro exemplo é qualquer constante. Por exemplo, poderíamos pegar a constante três. E é importante perceber que podemos pegar qualquer expoente de nossas constantes. Por exemplo, poderíamos pegar a raiz quadrada de três. Este também é um exemplo de um monômio. Um último exemplo de um monômio é a raiz quadrada de duas vezes 𝑥 vezes 𝑦 ao quadrado. É importante perceber que podemos ter várias variáveis em nossos monômios, desde que nossos expoentes sejam números inteiros não negativos. Agora que definimos o monômio, estamos prontos para definir um polinômio.

Um polinômio é apenas uma expressão que é a soma de um ou mais monômios. Em outras palavras, criamos polinômios adicionando vários monômios. Então, para construir alguns exemplos de polinômios, podemos usar nossos monômios. A primeira coisa que podemos notar é que um polinômio é a soma de um ou mais monômios. Isso significa que qualquer monômio é um polinômio. Por exemplo, dois 𝑥 também é um polinômio porque é a soma de um monômio. No entanto, também podemos criar mais polinômios. Vamos somar dois 𝑥 à primeira potência e menos 𝑦 ao quadrado. Adicionando esses dois monômios significa que dois 𝑥 à primeira potência mais menos 𝑦 ao quadrado é um monômio. E é claro que podemos simplificar isso. Poderíamos escrever isso como dois 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado. Este também é um exemplo de um polinômio.

Este é um exemplo importante para ilustrar quando dizemos que um polinômio é a soma dos monômios. Isso não significa que todas as nossas operações precisam ser de adição, pois sabemos que dois 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado é um polinômio. Podemos criar mais exemplos de polinômios. Por exemplo, poderíamos somar um termo com 𝑥 com uma constante. Por exemplo, 𝑥 mais três é um exemplo de um polinômio. Estes, de fato, têm um nome especial. Elas são chamadas de expressões lineares, porque se as desenharmos em um gráfico, elas formam linhas retas.

Mas não precisamos parar por aí. Poderíamos adicionar ainda mais monômios envolvendo 𝑥 a isso. Por exemplo, poderíamos adicionar dois 𝑥 ao quadrado a isso. Isso nos dá dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais três também é um polinômio. E podemos dar mais um exemplo de um polinômio. Uma expressão como menos um meio multiplicado por 𝑧 é um polinômio. Isso ocorre porque é um monômio. Então, para verificar se uma expressão é um polinômio, basta olhar para cada parte individualmente e verificar se é um monômio.

Então, vamos ver alguns exemplos de expressões que não são polinômios. O primeiro exemplo de uma expressão que não é um polinômio é 𝑥 elevado a menos dois. E a razão para que isso seja um polinômio, 𝑥 elevado a menos dois deve ser um monômio. E lembre-se, em um monômio, todas as nossas variáveis devem ter expoentes inteiros não negativos. No entanto, no nosso caso, o expoente de 𝑥 é menos dois. Isso é negativo, então não é um monômio. E, portanto, essa expressão não é um polinômio.

Podemos usar o mesmo raciocínio para chegar a mais exemplos que não sejam polinômios, por exemplo, 𝑥 elevado a um meio. Mais uma vez, para que isso seja um polinômio, 𝑥 elevado a um meio precisa ser um monômio. Mas lembre-se, o expoente de 𝑥 precisa ser um número inteiro não negativo. Nesse caso, é um meio. Este não é um número inteiro, portanto, não é um monômio. E, portanto, este não é um polinômio.

E sabemos algo sobre 𝑥 elevado a um meio. Usando nossas propriedades de potências, podemos reescrever isso como a raiz quadrada de 𝑥. Então, também sabemos que a raiz quadrada de 𝑥 não é um polinômio porque o expoente de 𝑥 não é um inteiro. Mas então, se nos é permitido usar nossas propriedades de potências, podemos fazer exatamente o mesmo para 𝑥 elevado a menos dois. Lembre-se, elevar um número à potência de menos dois é o mesmo que dividir por este elevado ao expoente positivo. Portanto, um sobre 𝑥 ao quadrado também não é um polinômio. O expoente da nossa variável é negativo.

Vamos dar um último exemplo de algo que não é um polinômio. Considere a expressão três mais 𝑥𝑦 menos seis vezes 𝑥 elevado a quarta potência multiplicada por 𝑦 elevado a menos um vezes 𝑧 mais a raiz quadrada de dois. Lembre-se, para ser um polinômio, deve ser a soma dos monômios. Então, vamos verificar cada parte individual para verificar se é um monômio. Começaremos com três. Isso é uma constante, então é um monômio. Em seguida, temos 𝑥 multiplicado por 𝑦. Lembre-se, 𝑥 é igual a 𝑥 à primeira potência e 𝑦 é igual a 𝑦 à primeira potência. Portanto, o expoente de 𝑥 e o expoente de 𝑦 são números inteiros não negativos. Portanto, 𝑥 vezes 𝑦 também é um monômio.

No entanto, agora vemos que temos um problema. Nós elevamos 𝑦 à potência de menos um. E lembre-se, em nossos monômios, nossas variáveis não podem ter expoentes negativos. Portanto, essa expressão não é um polinômio porque uma das variáveis tem um expoente negativo.

Antes de continuarmos, também vale a pena ressaltar que geralmente chamamos cada parte individual de uma expressão de termo. Então, por exemplo, em nosso exemplo mais recente, ele contém quatro termos.

Agora que fizemos tudo isso, estamos prontos para definir algumas propriedades importantes que nos ajudarão a descrever certos atributos dos polinômios. Primeiro, vamos definir o que queremos dizer com o grau de um polinômio. O grau de um polinômio é a maior soma dos expoentes de nossas variáveis em um único termo. Esta é uma definição que soa muito complicada. No entanto, é mais fácil se analisarmos alguns exemplos.

Vamos começar encontrando o grau de alguns polinômios que já encontramos. Começaremos com dois 𝑥. Primeiro, precisaremos olhar termo por termo. Bem, este polinômio tem apenas um termo. Então, podemos nos concentrar em dois 𝑥. Em seguida, precisamos encontrar a soma dos expoentes das variáveis neste termo. Para fazer isso, já vimos que podemos escrever 𝑥 como 𝑥 elevado a primeira potência. Então, na verdade, isso tem apenas uma variável e seu expoente é um. Então, dizemos que o grau de dois 𝑥 é um.

Outro exemplo que poderíamos ver é a constante três. Lembre-se, este é um exemplo de um polinômio. E a princípio, pode parecer complicado como podemos encontrar o grau desse polinômio. Como é uma constante, não contém variáveis. Então, como devemos encontrar a soma dos expoentes de todas as variáveis? Felizmente, usando nossas propriedades de potências, sabemos que 𝑥 elevado a zero também é igual a um. Então, podemos reescrever três como três vezes 𝑥 elevado a zero. Então, como antes, podemos ver que o grau desse polinômio será zero. Portanto, pudemos mostrar que o grau desse polinômio é zero. Na verdade, exatamente o mesmo é verdade para qualquer constante. Se o considerarmos como um polinômio, o grau de um polinômio constante é sempre igual a zero.

Vamos agora tentar encontrar o grau de um polinômio com mais de um termo. Vamos tentar encontrar o grau de dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais três. Mais uma vez, lembre-se, quando procuramos o grau de um polinômio, estamos interessados apenas na maior soma dos expoentes das variáveis em um único termo. Então, podemos olhar para o grau de cada termo separadamente. Então, vamos começar com o primeiro termo neste polinômio. São dois 𝑥 ao quadrado. Este termo contém apenas uma variável. E podemos ver que seu expoente é dois. Então, o grau de dois 𝑥 ao quadrado é igual a dois.

Agora, vamos olhar para o nosso segundo termo. Bem, podemos ver que é igual a 𝑥. E já vimos que podemos escrever isso como 𝑥 elevado a um. Então, seu grau é um. Finalmente, temos nosso terceiro e último termo. É uma constante, então seu grau é igual a zero. Portanto, o grau desse polinômio será o maior desses valores. Seu grau será dois. Portanto, fomos capazes de mostrar que o polinômio dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais três tem grau dois.

Mas até agora, vimos apenas como encontrar o grau de polinômios em que cada termo contém apenas uma variável. E se tentarmos encontrar o grau de raiz de duas vezes 𝑥 vezes 𝑦 ao quadrado? Lembre-se, podemos fazer isso termo por termo e precisamos encontrar a soma dos expoentes de nossas variáveis. Então, mais uma vez, vamos escrever 𝑥 como 𝑥 elevado a um. Em seguida, adicionamos os expoentes de nossas variáveis. Nós temos um mais dois, o que é claro igual a três. Portanto, a raiz polinomial de duas vezes 𝑥 vezes 𝑦 ao quadrado tem grau três.

Há mais uma coisa que precisamos definir antes de passarmos a responder a algumas perguntas. Queremos definir o fator constante de um termo como o coeficiente desse termo. Outra maneira de dizer isso é que o coeficiente é o fator numérico em um termo algébrico. Isso geralmente aparece no início do nosso termo. Por exemplo, no termo dois 𝑥, temos que o coeficiente é dois. É o fator constante desse termo. Da mesma forma, se olharmos para o termo menos 𝑦 ao quadrado, então o coeficiente de menos 𝑦 ao quadrado é menos um. Dizer o coeficiente de um termo nos dá uma boa maneira de explicar a parte do termo que não varia conforme nossas variáveis mudam.

Vamos agora ver alguns exemplos de como usaríamos tudo isso para responder a algumas perguntas.

Quais das seguintes expressões são polinômios? Expressão (A) 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥𝑦 menos dois. Expressão (B) 𝑥 ao cubo vezes 𝑦 ao quadrado. Expressão (C) 𝑥 elevado a menos um vezes 𝑦 elevado a quatro. Expressão (D) cinco sobre 𝑥 menos quatro 𝑥𝑦.

Para responder a essa pergunta, primeiro precisamos lembrar que os polinômios são a soma dos monômios. E lembre-se, monômios são produtos de constantes e variáveis elevadas a expoentes inteiros não negativos. Portanto, para verificar se essas quatro expressões são polinômios, precisamos ver se alguma de nossas variáveis é elevada a expoentes inteiros não negativos.

Se começarmos com a expressão (A), podemos ver que isso é de fato a soma dos monômios. Todas as nossas variáveis são elevadas a valores inteiros positivos. Portanto, a expressão (A) é a soma dos monômios. Portanto, é um polinômio. E o mesmo é verdadeiro para a expressão (B). Os expoentes três e dois são números inteiros positivos.

No entanto, na expressão (C), podemos ver que o expoente de 𝑥 é menos um. E se uma de nossas variáveis contiver um expoente negativo, isso não é um monômio. Portanto, a expressão (C) também não é um polinômio. Podemos ver que algo muito semelhante é verdadeiro para a expressão (D). Usando nossas leis de expoentes, sabemos que dividir por 𝑥 é o mesmo que multiplicar por 𝑥 elevado a menos um. Mas isso significa que neste termo temos um expoente negativo de nossa variável 𝑥. Portanto, cinco sobre 𝑥 não é um monômio. Portanto, a expressão (D) não é a soma de monômios, portanto, não é um polinômio.

Portanto, fomos capazes de mostrar, das quatro expressões dadas, apenas as expressões (A) e (B) eram polinômios.

Vamos agora ver um exemplo de determinação do grau de um polinômio.

Determine o grau de 𝑦 elevado à quarta potência menos sete 𝑦 ao quadrado.

Nesta questão, somos solicitados a encontrar o grau de uma expressão algébrica. E podemos ver algo interessante sobre essa expressão. Todas as nossas variáveis são elevadas a valores inteiros positivos. Em outras palavras, essa expressão é a soma dos monômios. Então, é um polinômio. Então, somos solicitados a encontrar o grau de um polinômio. Para fazer isso, vamos começar lembrando o que queremos dizer com o grau de um polinômio.

Lembramos que o grau de um polinômio é a maior soma dos expoentes das variáveis em qualquer termo único. O que isso significa é que olhamos para cada termo individual, adicionamos todos os expoentes de nossas variáveis e queremos encontrar o maior valor que isso nos dá. Então, vamos começar com o primeiro termo em nossa expressão, 𝑦 elevado a quatro.

Nesse caso, há apenas uma variável e seu expoente é quatro, então o grau de 𝑦 elevado a quatro é quatro. A seguir, vamos olhar para o nosso segundo termo, menos sete 𝑦 ao quadrado. Mais uma vez, há apenas uma variável e podemos ver seu expoente. Seu expoente é dois. Então, o grau de menos sete 𝑦 ao quadrado é igual a dois. E o grau do nosso polinômio é o maior desses números. Portanto, seu grau é quatro.

E, de fato, podemos usar exatamente o mesmo método para encontrar o grau de qualquer polinômio com apenas uma variável. Seu grau será apenas o maior expoente dessa variável que aparece em nosso polinômio. Portanto, fomos capazes de mostrar que 𝑦 elevado à quarta potência menos sete 𝑦 ao quadrado é um polinômio de quarto grau.

Vamos agora ver um exemplo de como encontrar o grau e o coeficiente de um monômio.

Determine o coeficiente e o grau de menos sete 𝑥 ao cubo.

Nós recebemos uma expressão algébrica, menos sete ao cubo, e somos solicitados a encontrar o coeficiente e o grau dessa expressão. Primeiro, podemos ver que isso contém apenas um termo. E podemos ver que nossa variável 𝑥 é elevada à potência de três. Como esse é um número inteiro positivo, isso significa que é um exemplo de monômio ou polinômio. Então, vamos começar lembrando o que queremos dizer com o coeficiente de um monômio. Isso significa o fator numérico do nosso monômio. No nosso caso, podemos ver que o fator numérico é menos sete. Então, o coeficiente desse monômio é menos sete.

Vamos agora encontrar o grau desse monômio. Poderíamos escrever a definição completa do grau de um polinômio. No entanto, notamos que nosso monômio contém apenas uma variável. Então, na verdade, há uma maneira mais fácil de encontrar o diploma. Quando nosso polinômio contém apenas uma variável, o grau desse polinômio será sempre o maior expoente dessa variável que aparece. E no nosso caso, temos apenas uma instância da nossa variável. E seu expoente é três porque temos 𝑥 ao cubo. Portanto, fomos capazes de mostrar que o coeficiente de menos sete 𝑥 ao cubo é menos sete e o grau de menos sete 𝑥 ao cubo é três.

Vamos agora ver como podemos usar a definição de um grau para encontrar o valor de uma constante.

Se o grau de sete 𝑥 elevado a cinco é o mesmo que menos seis elevado a 𝑛, qual é o valor de 𝑛?

Temos duas expressões algébricas. E nos é dito que ambas têm o mesmo grau. Para responder a essa pergunta, primeiro precisamos encontrar o grau de sete 𝑥 elevado à quinta potência. Podemos ver que isso é um monômio porque é um termo e o expoente de 𝑥 é cinco, que é um número inteiro positivo. Agora, poderíamos usar o fato de que isso é um polinômio para encontrar o grau dessa expressão como um polinômio. No entanto, também podemos usar uma definição equivalente porque nossa expressão contém apenas um termo.

O grau de um termo algébrico é a soma dos expoentes de todas as variáveis desse termo. E isso nos dará a mesma resposta que o grau do nosso polinômio, porque isso tem apenas um termo. Podemos ver que o expoente da nossa variável é cinco. Portanto, sete 𝑥 elevado a cinco é de grau cinco. Mas então, a pergunta nos diz que menos seis 𝑦 elevado a 𝑛 tem o mesmo grau. Então, também deve ser de grau cinco. E então, como este também é um termo singular, a soma de todos os expoentes das variáveis deve ser igual a cinco.

Mas podemos ver que há apenas um expoente em nossa variável, a incógnita 𝑛. Portanto, para fazer com que sete 𝑥 elevado a cinco e menos seis 𝑦 elevado a 𝑛-ésima potência tenham o mesmo grau, devemos ter que 𝑛 seja igual a cinco.

Vamos agora ver um exemplo de como encontrar o número de termos em uma expressão algébrica.

Quantos termos existem na expressão quatro 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado mais 27?

Para responder a essa pergunta, primeiro precisamos nos lembrar do que queremos dizer com termo. E em matemática, termos é uma daquelas palavras que tem muitas definições diferentes, dependendo do contexto. Nesse contexto, somos solicitados a informar o número de termos em uma expressão algébrica. E isso pode significar uma de duas coisas. Pode ser o número de monômios em nossa expressão ou também pode ser o número de expressões semelhantes em nossa expressão. Nesse caso, ambos nos darão a mesma resposta. Usaremos apenas o número de monômios em nossa expressão.

Lembre-se, um monômio é o produto entre constantes e variáveis elevadas à potência de números inteiros não negativos. Podemos ver que em nosso caso existem três monômios nessa expressão. Quatro 𝑥 é um monômio porque podemos escrever 𝑥 como 𝑥 elevado a primeira potência. Menos 𝑦 ao quadrado é um monômio porque menos um é uma constante e dois é um número inteiro não negativo. Finalmente, 27 é um monômio porque 27 é uma constante. Portanto, como nossa expressão continha três monômios diferentes, pudemos mostrar que havia três termos nessa expressão.

Às vezes, também podemos ser solicitados a escolher informações específicas sobre nosso polinômio. Vamos ver um exemplo disso.

Qual é o termo constante na expressão quatro 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado mais 27?

Para responder a essa pergunta, primeiro precisamos lembrar o que queremos dizer com o termo constante em uma expressão. Primeiro, uma constante é algo cujo valor não muda. Por exemplo, em nossa expressão, chamamos as variáveis 𝑥 e 𝑦 porque elas podem assumir muitos valores diferentes. No entanto, um número como 27 não muda à medida que nossos valores de 𝑥 ou 𝑦 mudam. É sempre igual a 27.

Em seguida, também precisamos nos lembrar do que queremos dizer com termo. Nesse contexto, quando dizemos um termo, queremos dizer as partes que estamos adicionando para formar nossa expressão. Portanto, quatro 𝑥 é um termo, menos 𝑦 ao quadrado é um termo e 27 é um termo. Alternativamente, podemos pensar em cada monômio como um termo. Podemos ver que quatro 𝑥 está variando conforme o valor de 𝑥 muda e 𝑦 ao quadrado está mudando conforme o valor de 𝑦 muda. Portanto, apenas 27 permanece constante. Portanto, o termo constante na expressão quatro 𝑥 menos 𝑦 ao quadrado mais 27 é 27.

Vamos agora rever os pontos principais deste vídeo. Primeiro, definimos um polinômio como a soma de um ou mais monômios. E lembre-se, um monômio é o produto entre constantes e variáveis, onde todas as nossas variáveis são elevadas a expoentes não negativos. Em seguida, também definimos o grau de um polinômio. O grau de um polinômio é a maior soma dos expoentes das variáveis em qualquer termo em nosso polinômio.

E isso nos deu dois resultados úteis. Primeiro, se nosso polinômio tiver apenas um termo, podemos apenas somar os expoentes das variáveis nesse termo para encontrar seu grau. E também vimos se nosso polinômio contém apenas uma variável, então para encontrar seu grau, tudo o que precisamos fazer é encontrar o maior expoente dessa variável que aparece em nosso polinômio.

Finalmente, definimos o coeficiente de um termo para ser o fator numérico desse termo. Outra maneira de pensar nisso é que o coeficiente de um termo é o número usado para multiplicar qualquer uma das variáveis. E sabemos que isso geralmente é escrito no início do nosso termo para evitar confusão. Mas nem sempre está escrito na frente. Por exemplo, o termo 𝑥 sobre dois tem o coeficiente de um meio porque estamos multiplicando 𝑥 por um meio.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.