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Determine o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥
menos nove.
O primeiro passo é escrever este limite novamente, e podemos aplicar a propriedade da
diferença de limites, que diz que o limite de uma diferença de funções é igual à
diferença dos limites dessas funções. Assim, estabelecendo 𝑓 de 𝑥 igual a menos nove ao quadrado menos seis 𝑥 e 𝑔 de 𝑥
igual a nove, obtemos que o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de menos nove 𝑥 ao
quadrado menos seis 𝑥 menos nove é igual ao limite como 𝑥 tende a menos cinco de
menos nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a menos cinco
de nove.
Então agora, no lugar de um limite muito complicado, temos que simplificar os
limites. E, de fato, podemos dividir o primeiro limite, como a diferença de dois, limites de
𝑓 de 𝑥 é igual a menos nove 𝑥 ao quadrado e 𝑔 de 𝑥 igual a seis 𝑥. E assim aplicando isso. Obtemos o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de menos nove
𝑥 ao quadrado menos o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de seis 𝑥 menos o
limite quando 𝑥 tende a menos cinco de nove. E comparando isso com o que começamos, vemos que poderíamos fazer isso em uma
etapa.
O limite de uma soma ou diferença de qualquer número de termos é igual à soma ou
diferença, conforme apropriado, dos limites desses termos. Podemos agora passar a encontrar o limite de cada termo individualmente. E assim, para o primeiro termo, o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de menos nove
𝑥 ao quadrado, podemos aplicar a propriedade da constante múltipla ou múltiplo
escalar, que diz que o limite de uma constante múltipla da função é igual a essa
constante múltipla vezes o limite dessa função.
Então tomando 𝑘 igual a menos nove e 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, obtemos que o
limite quando 𝑥 tende a menos cinco de menos nove 𝑥 ao quadrado é igual a menos
nove vezes o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de 𝑥 ao quadrado. Podemos aplicar a mesma propriedade ao limite quando 𝑥 tende a menos cinco de seis
𝑥. Isso se torna seis vezes o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de 𝑥. E finalmente, reduzimos o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de nove.
Podemos usar a propriedade de potência para reescrever o primeiro termo. Assim, o limite de uma potência de uma função é igual à potência do limite da
função. Então, definindo 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 e 𝑛 igual a dois, o primeiro termo torna-se
menos nove vezes o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de 𝑥 ao quadrado. Nós copiamos os outros dois termos inalterados da linha anterior. E agora podemos ver que os únicos limites que temos que encontrar são o limite da
função de identidade 𝑥 quando 𝑥 tende a menos cinco.
Nós temos dois deles, e o limite quando 𝑥 tende a menos cinco da função constante
nove. E esperamos que saibamos quais devem ser esses dois limites. Os limites da função identidade 𝑥 quando 𝑥 tende a 𝑐 é apenas 𝑐, e o limite de
uma função constante 𝑘 quando 𝑥 tende a 𝑐 é apenas esse valor constante 𝑘. No nosso caso, 𝑐 é igual a menos cinco, portanto, o limite quando 𝑥 tende a menos
cinco de 𝑥 é apenas menos cinco. Assim, os dois primeiros termos tornam-se menos nove vezes menos cinco ao quadrado
menos seis vezes menos cinco.
E tomando 𝑘 para ser nove, vemos o limite quando 𝑥 tende a menos cinco de nove é
apenas nove. Então, finalmente, nos livramos de todos os limites e temos uma expressão numérica
que podemos calcular. Antes de fazermos isso, vamos apenas observar que essa linha é exatamente o que você
obteria se pegasse a função que estávamos encontrando o limite e apenas substituísse
o ponto limite menos cinco. O limite quando 𝑥 tende a menos cinco desta função é apenas a função calculada em
menos cinco.
O conjunto de funções para o qual isso é verdade é um conjunto muito bom de funções,
que você encontrará em breve, se ainda não tiver, e esse conjunto de funções inclui
todas as funções polinomiais. Então, para encontrar o limite de uma função polinomial, tudo o que você precisa
fazer é substituir o ponto limite. Isso não é verdade para todas as funções, mas certamente é verdade para funções
polinomiais. De qualquer forma, vamos continuar encontrando nossa resposta final. Colocando isso em nossa calculadora, obtemos um resultado de menos 204. O limite quando 𝑥 tende a menos cinco de menos nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥
menos nove é menos 204.
