Vídeo: Utilizando a Relação Inversa entre Funções Exponenciais e Logaritmos

Resolva 𝑥 + 6 = 𝑒^(ln 𝑥²) para 𝑥, dando sua resposta a três casas decimais.

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Transcrição do vídeo

Resolva 𝑥 mais seis é igual a 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado para 𝑥, dando sua resposta a três casas decimais.

Bem, para começar a resolver este problema, a primeira coisa que olhamos é este termo aqui, que é 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado. Para entender como esse termo se tornará, o que vou fazer é dizer que 𝑦 é igual a 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado. Vale a pena notar que você também pode chamar ln ou logaritmo natural. Mas só para este vídeo, eu vou realmente dizer ln.

Ok, então a primeira coisa que vamos fazer é pegar o logaritmo natural de cada lado. Então, isso vai me dar que ln 𝑦 é igual a ln 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado. A seguir, aplicaremos uma regra de log que diz que ln 𝑒 elevado a 𝑥 é igual a 𝑥 ln 𝑒. E isso nos dará que ln 𝑦 é igual a ln 𝑥 ao quadrado multiplicado por ln 𝑒.

E então, vamos usar uma relação que sabemos que é ln 𝑒 igual a um. Então, portanto, ficamos com ln 𝑦 é igual a ln 𝑥 ao quadrado porque ele será ln 𝑥 ao quadrado multiplicado por um, o que apenas nos dá ln 𝑥 ao quadrado. E então, temos que 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado. E nós sabemos disso porque na verdade nós temos um log na mesma base de ambos os lados para a equação.

Ok, ótimo, então por que isso é útil? Bem, é útil porque, na verdade, sabemos que 𝑦 - olhando para o começo - era igual a 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado. Assim, portanto, podemos dizer que 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado é igual a 𝑥 ao quadrado.

Ok, ótimo, o que eu posso realmente fazer agora é olhar para nossa equação e nós podemos realmente aplicar esta relação e substituir 𝑥 ao quadrado em 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado. Então, portanto, temos 𝑥 mais seis é igual a 𝑥 ao quadrado. Então, agora, o que fazemos é realmente reorganizar para definir tudo igual a zero. Então, o que eu realmente fiz foi subtrair 𝑥 e seis de cada lado. Então, temos zero igual a 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos seis.

Então, na verdade, vamos resolver nossa quadrática e vamos resolvê-la utilizando a fatoração. Então, se nós fatoramos, nós temos zero é igual a 𝑥 menos três multiplicado por 𝑥 mais dois. E nós temos esse fator porque menos três multiplicado por dois é igual a menos seis. E isso é correto porque é o que deve ser igual ao termo final de nossa quadrática. E então, temos menos três mais dois é igual a menos um. E isso é correto porque esse é realmente o coeficiente do nosso termo 𝑥. Tão ótimo, eles estão ambos verificados. Então, sim, eles são definitivamente os fatores corretos.

Ok, agora podemos resolver. E a fim de encontrar nossos valores de 𝑥, neste ponto, o que realmente queremos fazer é definir cada um dos parênteses para zero, porque se a resposta da equação for zero, então pelo menos um dos nossos parênteses também terá que ser zero para conseguirmos isso. Então, primeiro de tudo, vamos começar com 𝑥 menos três é igual a zero. Portanto, se somarmos três a cada lado, obtemos que 𝑥 é igual a três. Tão bom, essa é uma das nossas soluções.

E então, se temos 𝑥 mais dois é igual a zero, se subtrairmos dois de cada lado, ficaremos com 𝑥 é igual a dois negativos. Então essa é a nossa outra solução. Portanto, podemos dizer que as soluções para 𝑥 mais seis é igual a 𝑒 elevado a ln 𝑥 ao quadrado para 𝑥 são 𝑥 é igual a três ou 𝑥 é igual a menos dois.

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