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Vídeo da aula: Dividindo polinómios por binómios utilizando fatorização Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como dividir polinómios por binómios utilizando fatorização.

14:26

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como dividir polinómios por binómios utilizando fatorização. Existem várias maneiras de dividir expressões algébricas. Um deles utilizou um processo chamado divisão polinomial. Mas este pode ser um método bastante lento. E, portanto, devemos sempre verificar se há outras maneiras de realizar esta divisão. Um destes métodos é utilizar fatorização. Essencialmente, começamos por escrever a nossa divisão como uma fração. E, em seguida, podemos escrever o numerador e o denominador, sempre que possível, de forma fatorizada.

Depois de fazer isto, simplificamos como faremos com qualquer outra fração numérica, dividindo por um fator comum. Agora, antes de prosseguirmos, é importante notar que este processo depende de termos confiança na fatorização de expressões algébricas. Estas serão principalmente de ordem dois. Também consideraremos polinómios de ordem três, que podem ser escritos como um produto de dois binómios. Portanto, certifique-se de que é capaz de fatorizar expressões deste tipo antes de avançar. Vamos agora considerar um exemplo simples.

Simplifique dois 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 menos três sobre 𝑥 mais três.

Primeiro, lembramos que esta linha de fração significa divisão. E assim, quando simplificamos, estamos na verdade a dizer como podemos dividir dois 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 menos três por 𝑥 mais três. Bem, uma vez que o nosso problema de divisão está escrito como uma fração, procuramos para fatorizar sempre que possível. Agora, não é possível fatorar a expressão no denominador. Mas podemos fatorizar o numerador. Vamos considerar o fator dois 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 menos três. Existem várias maneiras de fazer isto. Uma maneira é designada por método AC. É designado por método AC porque dada uma equação do segundo grau da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, começamos poe multiplicar o valor de 𝑎 e 𝑐. Na nossa equação, 𝑎, que é o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, é dois e 𝑐 é menos três. Dois multiplicado por menos três é menos seis.

O nosso próximo passo é como quando fatorizamos uma equação do segundo grau em que o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um. Procuramos dois números que se multiplicam para fazer menos seis e somam para fazer cinco. Bem, seis multiplicado por menos um é menos seis. E seis mais menos um é cinco. E assim vamos procurar dividir este termo do meio em seis 𝑥 e menos um 𝑥. Agora escrevemos a nossa quadrática como dois 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos um igual a três. Agora, não fizemos nada de alucinante aqui. Acabámos de reescrever a nossa expressão original. Se simplificássemos agora a expressão do segundo membro, isto levar-nos-ia de volta à expressão à esquerda.

O próximo passo é considerar os dois pares de termos. Vamos fatorizar cada par. Vemos que dois 𝑥 ao quadrado e seis 𝑥 têm um máximo fator comum ou um maior fator comum de dois 𝑥. E assim dois 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 podem ser escritos como dois 𝑥 vezes 𝑥 mais três. Da mesma forma, menos um 𝑥 menos três tem um fator comum de menos um. Então, quando fatorizamos esta expressão, obtemos menos um 𝑥 mais três.

Observe agora que cada termo contém um fator de 𝑥 mais três. E assim podemos fatorizar por 𝑥 mais três. Dois 𝑥 vezes 𝑥 mais três dividido por 𝑥 mais três dá-nos dois 𝑥. Então, menos um vezes 𝑥 mais três dividido por 𝑥 mais três dá-nos menos um. E assim, fatorizamos totalmente a nossa quadrática. É 𝑥 mais três vezes dois 𝑥 menos um. E isto é ótimo porque agora podemos reescrever a nossa fração. Substituímos a forma quadrática pela sua forma fatorizada. E vemos que é igual a 𝑥 mais três vezes dois 𝑥 menos um sobre 𝑥 mais três.

Agora que está nesta forma, podemos simplificar a nossa fração como faremos na fração numérica, dividindo por quaisquer fatores comuns. Neste caso, podemos dividir por 𝑥 mais três. Quando o fazemos, vemos que a nossa expressão simplifica totalmente para dois 𝑥 menos um sobre um ou simplesmente dois 𝑥 menos um. E assim, a resposta à nossa questão e, de facto, a resposta para dois 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 menos três dividido por 𝑥 mais três é dois 𝑥 menos um. Agora, utilizamos algo chamado método AC para fatorizar a nossa expressão quadrática. Pode estar acostumado a utilizar algum outro método. E isto é absolutamente bom, desde que realmente termine com 𝑥 mais três vezes dois 𝑥 menos um.

Agora, veremos como determinar o denominador de uma fração ao dividir um polinómio por um binómio utilizando fatorização.

Determine o denominador da fração nesta equação: três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito sobre o que é igual a 𝑥 mais um.

Vamos chamar o denominador da nossa fração de 𝑦 por enquanto, onde 𝑦 será uma função de 𝑥. Em seguida, vamos relembrar a relação entre frações e divisão. Uma fração é apenas outra maneira de escrever uma divisão. Então, o que esta questão também nos está a perguntar é: qual é o valor de 𝑦 tal que três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito dividido por 𝑦 igual a 𝑥 mais um? Agora, poderemos reorganizar isto para isolar 𝑦. Ou podemos enunciar que, se 𝑎 dividido por 𝑏 é igual a 𝑐, então 𝑎 dividido por 𝑐 deve ser igual a 𝑏. Isto faz muito sentido porque, se reorganizarmos cada equação, descobriremos que 𝑎 é igual a 𝑏 vezes 𝑐. Podemos pensar em 𝑏 e 𝑐 como um par de fatores de 𝑎. Podemos, portanto, dizer que três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito dividido por 𝑥 mais um deve ser igual a 𝑦.

Mas como resolvemos esta divisão no primeiro membro? Bem, temos vários métodos, mas a fatorização é geralmente o mais direto. Vamos fatorizar a expressão três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito. Existem várias maneiras de fazer isto. Um método é o tipo de observação. É uma equação quadrática e não há fatores comuns além de um em cada um dos nossos termos. E assim sabemos que podemos escrevê-lo como o produto de dois binómios. O primeiro termo em cada binómio deve ser três 𝑥 e 𝑥 porque três 𝑥 vezes 𝑥 dá-nos os três 𝑥 ao quadrado de que precisamos.

E, em seguida, precisamos de procurar pares de fatores de oito, tendo em mente que um deles será multiplicado por três. E assim que isto acontecer, quando somarmos os nossos números, obteremos 11. Bem, um par de fatores que poderemos utilizar é oito e um. E se multiplicarmos três por um, obtemos três. Então, três mais oito é 11. Para que isto funcione, oito e um precisam de ser positivos. E assim, fatorizamos a nossa expressão. É três 𝑥 mais oito vezes 𝑥 mais um. E assim podemos agora reescrever a nossa equação como três 𝑥 mais oito vezes 𝑥 mais um tudo sobre 𝑥 mais um igual a 𝑦.

Agora, o nosso próximo passo, uma vez que é escrito como uma fração, é simplificar como faremos com qualquer outra fração, dividindo por um fator comum. Aqui, vemos que temos um fator comum de 𝑥 mais um. 𝑥 mais um dividido por 𝑥 mais um é simplesmente um. E assim vemos que 𝑦 é igual a três 𝑥 mais oito? E como dissemos que 𝑦 é o denominador da nossa fração, então o denominador é três 𝑥 mais oito. Agora, uma maneira realmente rápida de verificar esta resposta é verificar se o produto de 𝑥 mais um e o nosso denominador é realmente igual a três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito. E, de facto, se multiplicarmos estes dois binómios, obtemos de facto três 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 mais oito.

No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar um método semelhante para nos ajudar a determinar o valor de uma incógnita.

Determine o valor de 𝑘 que torna a expressão 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 divisível por 𝑥 menos cinco.

Quando dividimos polinómios por binómios, procuramos começar por escrevê-los como uma fração e simplificar o máximo possível. E assim, para dividir 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 por 𝑥 menos cinco, começamos por escrever como 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 sobre 𝑥 menos cinco. E, portanto, a implicação é que, para a nossa expressão ser divisível por 𝑥 menos cinco, esta fração pode ser simplificada. E simplificamos, é claro, dividindo por um fator comum. No denominador da nossa fração, temos 𝑥 menos cinco. Portanto, isto deve indicar-nos que 𝑥 menos cinco é um fator de 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30. Portanto, devemos ser capazes de escrever 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 como um binómio – designei-o por 𝑥 mais 𝑎, onde 𝑎 é uma constante - vezes 𝑥 menos cinco.

Mas como decidimos o que 𝑎 precisa de ser? Pensamos em como fatorizamos expressões quadráticas em que o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é igual a um. Temos um 𝑥 na frente de cada binómio. E a seguir, procuramos por dois números cujo produto é a constante - então aqui, seria 30 - e cuja soma é o coeficiente de 𝑥. Então, aqui, isto é menos 𝑘. Estes dois números dão-nos as partes numéricas dos nossos binómios. E, embora não saibamos quanto é 𝑘, podemos dizer que 𝑎 multiplicado por menos cinco deve ser 30. E assim, resolveremos 𝑎 dividindo por menos cinco. 30 dividido por menos cinco é menos seis. Então, dizemos que 𝑎 é igual a menos seis.

Se substituirmos 𝑎 por menos seis - e agora esqueceremos os denominadores, porque é claro que são iguais - vemos que os numeradores devem ser iguais. Vemos que 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 deve ser igual a 𝑥 menos seis vezes 𝑥 menos cinco. Se distribuirmos estes parênteses e simplificarmos, isto dir-nos-á o valor de 𝑘. Então, começamos por multiplicar o primeiro termo em cada binómio. 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. Em seguida, multiplicamos os termos externos para nos dar menos cinco 𝑥 e, em seguida, multiplicamos os termos internos para nos dar menos seis 𝑥. Finalmente, multiplicamos os últimos termos. Menos seis vezes menos cinco é 30. Então, obtemos 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 menos seis 𝑥 mais 30. E como menos cinco 𝑥 menos seis 𝑥 é menos 11𝑥, isto torna-se 𝑥 ao quadrado menos 11𝑥 mais 30.

Vamos comparar os dois membros desta equação. Temos 𝑥 ao quadrado em ambos os membros e temos mais 30. E assim podemos dizer que estes dois termos devem ser iguais. Menos 𝑘𝑥 deve ser igual a menos 11𝑥. Bem, para que isto seja verdade, 𝑘 deve ser igual a 11. O valor de 𝑘 que torna a expressão 𝑥 ao quadrado menos 𝑘𝑥 mais 30 divisível por 𝑥 menos cinco é 11.

Veremos agora como este processo nos pode ajudar a resolver problemas que envolvem geometria.

Um retângulo tem uma área de 𝑦 ao cubo mais dois 𝑦 ao quadrado mais cinco 𝑦 mais 10 centímetros quadrados e uma largura de 𝑦 mais dois centímetros. Determine o seu comprimento em termos de 𝑦 e o seu perímetro quando 𝑦 for igual a quatro.

O nosso retângulo pode parecer-se com isto. Sabemos que tem uma largura de 𝑦 mais dois centímetros e estamos a tentar determinar o seu comprimento em termos de 𝑦. Por enquanto, chamaremos o seu comprimento de 𝑥 centímetros, onde 𝑥 será alguma função em 𝑦. Agora, sabemos que a área de um retângulo é dada multiplicando-se a sua largura pelo seu comprimento. Portanto, neste caso, a área do retângulo será 𝑦 mais duas vezes 𝑥. Vamos escrever isto como 𝑥 vezes 𝑦 mais dois. Mas, na verdade, temos uma expressão para a área. É 𝑦 ao cubo mais dois 𝑦 ao quadrado mais cinco 𝑦 mais 10. E assim, na verdade, temos uma equação que podemos procurar resolver ou pelo menos isolar 𝑥.

Vamos isolar 𝑥 dividindo os dois membros por 𝑦 mais dois. No segundo membro, isto deixa-nos com 𝑥. Mas o que é que acontece no primeiro membro? Bem, por enquanto, vamos escrever como uma fração, já que uma linha de fração significa simplesmente dividir. E uma das melhores maneiras que temos de simplificar uma fração, que é o mesmo que dividir, é começar por fatorização sempre que possível. Vamos fatorizar a expressão 𝑦 ao cubo mais dois 𝑦 ao quadrado mais cinco 𝑦 mais 10. Para fazer isto, começamos por fatorizar os pares de termos. Quando fatorizamos 𝑦 ao cubo mais dois 𝑦 ao quadrado, obtemos 𝑦 ao quadrado vezes 𝑦 mais dois.

Da mesma forma, quando fatorizamos cinco 𝑦 mais 10, obtemos cinco vezes 𝑦 mais dois. Agora sabemos que existe um fator comum de 𝑦 mais dois nos nossos dois termos. E assim podemos fatorizar por 𝑦 mais dois. 𝑦 ao quadrado vezes 𝑦 mais dois dividido por 𝑦 mais dois é 𝑦 ao quadrado. Então, quando dividimos o nosso segundo termo, cinco vezes 𝑦 mais dois, por 𝑦 mais dois, ficamos simplesmente com cinco. Isto significa que podemos reescrever a nossa fração como 𝑦 mais duas vezes 𝑦 ao quadrado mais cinco sobre 𝑦 mais dois. E agora, vemos que há um fator comum de 𝑦 mais dois no numerador e no denominador da nossa fração. E assim vamos dividir por 𝑦 mais dois. E quando o fazemos, descobrimos que 𝑥 é igual a 𝑦 ao quadrado mais cinco.

Lembre-se, dissemos que o comprimento do nosso retângulo era de 𝑥 centímetros. Então, de facto, descobrimos que o comprimento em termos de 𝑦 é 𝑦 ao quadrado mais cinco centímetros. Agora, ainda não terminámos. A questão quer que determinemos o perímetro deste retângulo quando 𝑦 é igual a quatro. Então, vamos substituir 𝑦 igual a quatro nas expressões da largura e do comprimento. A largura torna -se quatro mais dois, ou seja, seis centímetros. E o comprimento torna-se quatro ao quadrado mais cinco, o que dá 21 centímetros. O perímetro é toda a distância dos lados. Então, vamos adicionar 21 e 6 e multiplicar por dois para representar os outros dois lados. 21 mais seis é 27 e 27 vezes dois é 54. O perímetro do nosso retângulo é, portanto, de 54 centímetros.

Neste vídeo, vimos que para dividir um polinómio por um binómio, um dos métodos mais eficientes é utilizar a fatorização. Ao utilizar este método, a primeira coisa que fazemos é escrever a nossa divisão como uma fração. O dividendo, é a expressão na qual estamos a dividir, é o numerador da nossa fração. E o divisor, pelo qual estamos a dividir, é o denominador. Em seguida, fatorizamos onde possível. E neste vídeo, fatorizámos principalmente os numeradores. Mas haverá casos em que precisaremos de fatorizar o denominador também. Depois de fazer isto, procuramos quaisquer fatores comuns e dividimos. Isto é o mesmo que simplificar qualquer fração normal. E uma vez que está totalmente simplificado, realizamos a nossa divisão.

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