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Vídeo: Gráfico de Inequações de Duas Variáveis

Aprenda como plotar gráficos de inequações lineares de duas variáveis, como 𝑦 >3𝑥 - 1, plotando um gráfico de igualdade adequado e considerando se a região da inequação está acima, abaixo ou na reta.

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Transcrição do vídeo

Gráficos de Inequações com Duas Variáveis

Dada essa inequação, podemos dizer que, 𝑦 é maior ou igual a três 𝑥 menos um. Então, como vamos desenhar isso, basicamente vamos fingir que estamos desenhando. E se estivéssemos traçando a linha 𝑦 é igual a três 𝑥 menos um. A primeira coisa que precisamos é de uma tabela de valores. Bem, precisamos escolher três coordenadas. Meus favoritos são menos um, zero e um. Pode ter mais de três valores, mas nunca pode ser menor. Então, vamos pegar cada uma dessas coordenadas 𝑥 que escolhemos e substituí-las na função para obter o valor de 𝑦.

Então, para a primeira, colocamos 𝑦 igual a três multiplicado por menos um menos um. Bem, três multiplicados por menos um são menos três. E subtraindo um deles, temos menos quatro. Então, fazendo para zero, sabemos que três multiplicado por zero é zero. Então zero menos um é menos um. E então, finalmente, substituindo um na coordenada 𝑥, teremos três multiplicados por um, que é três e menos um é dois.

Então agora temos algumas coordenadas. Essas coordenadas são: menos um, menos quatro; zero, menos um; e um, dois. Nós temos cada uma dessas coordenadas, obviamente, olhando para as coordenadas 𝑥 na tabela de valores e olhando para o 𝑦, e então dizendo, bem, é o 𝑥 e é o 𝑦, para encontrar cada um dos conjuntos de coordenadas. Agora, o que precisamos fazer é plotar este gráfico. Mas é aí que precisamos nos preocupar com o fato de ser uma inequação.

Então, plotando cada um desses pontos, temos menos um, menos quatro; zero, menos um; e um, dois. Agora, essa é uma inequação que é uma desigualdade “igual a”, como podemos ver aqui. Então, o que isso significa é que, quando chegamos a plotar o gráfico, precisamos ter uma linha reta, em vez de uma linha pontilhada. Porque para a linha pontilhada, temos apenas maior ou menor que, enquanto que com uma linha reta, também incluímos “ou igual a”. E isso segue, se você se lembra de colocar as inequações em uma reta numérica, colocamos um círculo vazio no caso em que tivemos apenas maior que ou menor que, e um círculo colorido para “ou igual a”.

Então, de qualquer maneira, voltando à questão, podemos ver que a nossa é “ou igual a”, então ela precisa ser uma linha reta. Isso eu fiz antes. Agora, a coisa com inequações de duas variáveis, o que é diferente de quando temos inequações lineares simples, é que não podemos simplesmente dizer “Ah, tudo bem, isso significa que vou sombrear esse lado”. Precisamos realmente fazer alguns testes. Então, vamos testar acima e testar abaixo e ver qual se ajusta à nossa inequação. Então, se nós testarmos este ponto abaixo de cinco, cinco e nós testarmos menos cinco, dez acima. Nós podemos realmente escolher qualquer ponto. Mas nós só precisamos ver se esses pontos satisfazem a inequação. Então nós temos que 𝑦 é dez, então nós colocamos dez é maior que ou igual a três multiplicado pelo valor 𝑥, que é menos cinco, menos um. Bem, sabemos que três multiplicados por menos cinco são menos quinze e menos quinze menos um são menos dezesseis. Então dez é maior ou igual a menos dezesseis. Então, acima da linha. Mas não vamos apenas tomar isso como uma resposta e dizer “Bem, lá vamos nós. Vou sombrear a região acima, pois isso satisfaz a inequação”, porque temos sempre que assumir que temos algo errado. Então vamos verificar o nosso teste abaixo, e isso deve estar errado; não deve satisfazer a inequação.

Então, temos cinco é maior ou igual a três multiplicado por cinco menos um. Bem, três multiplicados por cinco são quinze e subtraindo um obtemos quatorze. Agora, não é verdade que cinco seja maior ou igual a quatorze. Então, sabemos que abaixo não funciona, o que é exatamente o que queremos. Assim, podemos sombrear a região que satisfaz a inequação, e isso está acima da linha. E agora temos sombreado a inequação corretamente traçando a linha e testando acima e testando abaixo. Agora, uma coisa que precisa ser colocada em prática para podermos fazer uma tabela de valores é que nossa inequação tem que estar na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, o que podemos ver que não está nessa questão. Portanto, nessa questão, precisamos primeiro obter nossa inequação na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐.

Então, o que essencialmente precisamos fazer é reorganizar para obter o 𝑦 da função em evidência. Então, o que vamos fazer primeiro é subtrair dois 𝑥 de ambos os lados. E isso nos dá do lado esquerdo três 𝑦, que é menor ou igual a sete menos dois 𝑥 do lado direito. Podemos ver que isso ainda não está exatamente do jeito que precisamos. Precisamos que seja apenas 𝑦, é menor ou igual a. Então vamos ter que dividir ambos os lados por três, nos dando 𝑦 é menor ou igual a sete menos dois 𝑥, todos divididos por três. E embora isso não esteja exatamente na forma que queremos, podemos ver que é um número e um coeficiente 𝑥 do lado direito com 𝑦 sozinho à esquerda.

Então, podemos usar isso para ter uma tabela de valores e plotar o gráfico. Então, substituindo menos um na função, obtemos 𝑦 é menor ou igual a sete menos duas vezes menos um, todos divididos por três. Os negativos no numerador se tornam positivos, então temos sete mais dois, nove, dividido por três, nos dá uma resposta de três. E, em seguida, substituindo em zero e um, obtemos algumas frações de sete sobre três e cinco sobre três. Então agora isso nos dá algumas coordenadas de menos um, três; zero, sete sobre três; e um, cinco sobre três. Essas não são as coordenadas mais legais para traçar, mas definitivamente podemos usá-las. E quando plotamos nosso gráfico, conseguimos isso.

E então, finalmente, devemos testar acima e testar abaixo. Então, vamos escolher cinco, cinco acima e menos cinco, menos cinco abaixo. Então, para facilitar para nós, vamos usar a função original. Bem, temos três multiplicados por cinco, que são quinze. Mais dois multiplicados por cinco, que são dez. E isso deve ser menor ou igual a sete, o que não é. Então, o acima não funciona. Então, precisamos testar abaixo.

Agora, novamente, usando a função original, temos três multiplicados por menos cinco, o que é menos quinze. Mais dois multiplicados por menos cinco, o que é menos dez. E isso é menor ou igual a sete. Então abaixo funciona. Então, para sombrear a região que satisfaz a inequação, precisamos sombrear abaixo da linha.

E agora nós temos isso. Nós terminamos as inequações com duas variáveis. E as coisas mais importantes são lembrar de plotar usando uma tabela de valores, e verificar acima e abaixo da linha, para poder saber que lado sombrear.