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Neste vídeo, vamos aprender sobre o centro de massa. Aprenderemos o centro da massa, porque ele é útil e como calculá-lo. Para começar, imagine que você trabalha em uma instalação de sopro de
vidro que é especializada em trabalhos personalizados e belas
artes. Um dia, enquanto você move uma das esculturas de vidro de um ponto da
loja para outro, ela começa a escorregar e cair no chão. Reagindo rapidamente, você alcança o trabalho que está caindo tentando
mantê-lo no lugar mais estável.
Para saber onde está no ponto de maior estabilidade, será útil saber algo
sobre o centro de massa. O centro de massa ou CM para um objeto é a localização média de toda a
sua massa. Por exemplo, o centro de massa de um quadrado, triângulo e círculo
estaria aproximadamente nesses locais. Para formas bidimensionais, uma maneira de pensar sobre o centro de massa
é o ponto em que se a forma fosse suportada ali, seria
equilibrada.
Frequentemente, o centro de massa é definido em relação a um sistema de
coordenadas de referência. Digamos, por exemplo, que tivéssemos uma forma tridimensional em um
sistema de coordenadas 𝑥𝑦𝑧. Poderíamos expressar o centro de massa deste objeto como um ponto de
coordenada relativo à origem desses eixos.
Falando de coordenadas do centro de massa, vamos falar um pouco sobre
como calcular o centro de massa. Vamos considerar um caso simples, em que temos duas massas 𝑚 um e 𝑚
dois em uma reta coordenada. Se quisermos calcular o centro de massa desse sistema de duas massas, a
maneira como fazemos isso matematicamente é no numerador somamos o
produto de cada massa individual 𝑚 um e 𝑚 dois com sua posição —
que chamamos 𝑥 um e 𝑥 dois, respectivamente. Estes valores de posição são medidos em relação ao nosso ponto de
referência — neste caso, o nosso ponto zero em uma reta. Esse é o numerador dessa fração. E no denominador, temos a soma de nossas duas massas 𝑚 um e 𝑚 dois.
Essa equação para o centro de massa é específica para esse cenário, mas
podemos generalizar essa ideia para aplicar a qualquer forma de
qualquer dimensão. Mas se tivermos uma distribuição geral de massas em algum sistema de
coordenadas. Então, ao longo de qualquer das nossas coordenadas independentes, podemos
resolver o centro de massa naquela direção usando uma fórmula
similar. Elemento de massa um vezes a distância ao longo do eixo desse elemento de
massa mais elemento de massa dois vezes a distância ao longo do eixo
para esse segundo elemento de massa e assim por diante para todos os
elementos de massa ao longo dessa linha.
Esse numerador é dividido por um denominador igual à soma de todos os
elementos de massa individuais. Podemos também escrever esta expressão como a soma de todos os elementos
de massa 𝑖 como 𝑚 sub 𝑖 vezes 𝑑 sub 𝑖 divididos pela soma de
todos os elementos de massa deles. Calculando o centro de massa de um sistema de massas pode ser muito
útil. Porque uma vez localizado o centro de massa de um sistema, sabemos que se
aplicássemos uma força diretamente àquele ponto no sistema, supondo
que seja um ponto material, então o sistema de massas se moveria sem
girar. Ou seja, isso seria transladado.
Pensando no nosso exemplo inicial de tentar pegar uma escultura de vidro
que está caindo, é por isso que queremos pegar essa escultura em seu
centro de massa para que, depois de segurá-la, a massa não gire. Uma das melhores maneiras de entender o centro de massa é calculá-lo em
alguns exemplos práticos. Vamos fazer isso agora.
Uma barra de ferro de 0.75 metros de comprimento, com uma densidade de
8.0 gramas por centímetro cúbico, é unida, de ponta a ponta, com uma
barra de cobre de 0.75 metros de comprimento, com uma densidade de
2.7 gramas por centímetro cúbico. Se as barras tiverem uma área de seção transversal igual uma à outra, a
que distância da extremidade não unida da barra de ferro está o
centro de massa do objeto?
Podemos chamar essa distância 𝑑 sub cm e começar desenhando um diagrama
dessa situação. Neste exemplo, temos uma barra de ferro de 0.75 metros de comprimento
conectada na extremidade direita com uma barra de cobre de 0.75
metros de comprimento. E nós recebemos a densidade da barra de ferro e a densidade da barra de
cobre. Considerando essas barras como um sistema inteiro em si mesmas, se o
centro de massa está localizado em algum lugar ao longo deste
comprimento de 1.50 metros, nós queremos resolver a distância — nós
a chamamos de 𝑑 sub cm — daquele centro de massa da extremidade
livre da barra de ferro.
Podemos recordar a relação matemática que descreve o centro de massa ao
longo de um eixo particular. O centro de massa de uma distribuição de elementos de massa — nós os
chamamos de 𝑚 sub 𝑖 — é igual à soma de cada elemento multiplicado
pela distância que existe de uma origem definida, todos divididos
pela soma de suas massas. Olhando para o nosso exemplo particular do nosso sistema de duas barras
de metal, sabemos que o centro de massa da barra de ferro existe em
seu centro geométrico e o centro de massa da barra de cobre também
existe em seu centro geométrico. Assim, podemos escrever que 𝑑 sub cm o centro de massa deste sistema de
duas barras é igual à massa do ferro multiplicada pela sua distância
de um ponto de referência mais a massa do cobre vezes sua distância
de um ponto de referência todos divididos pela soma dessas duas
massas.
Disseram-nos as densidades de nossas barras de ferro e cobre, mas não
suas massas. Podemos lembrar, no entanto, que a densidade 𝜌 é igual à massa dividida
pelo volume. Ou, em outras palavras, a massa é igual à densidade vezes o volume. Então, em substituição a 𝑚 sub i e 𝑚 sub c em nossa equação para 𝑑 sub
cm, podemos escrever 𝜌 sub i vezes 𝑉 e 𝜌 sub c vezes 𝑉,
respectivamente. Sabemos que os volumes das duas barras são os mesmos porque tinham o
mesmo comprimento e a mesma área de seção transversal.
Olhando para esta expressão para 𝑑 sub cm, vemos que o volume 𝑉 aparece
em todos os termos. Isso significa que podemos fatorar esse termo e cancelá-lo da nossa
expressão. Vemos agora que, como sabemos 𝜌 sub i e 𝜌 sub c, tudo o que precisamos
resolver para determinar 𝑑 sub cm é a distância do centro de massa
da barra de ferro e a distância do centro de massa da barra de cobre
da origem. Uma vez que essas duas barras são uniformes, a distância do centro de
massa da barra de ferro da extremidade mais à esquerda dessa barra é
a metade de 0.75 metros ou 0.375 metros. Da mesma forma, 𝑑 sub c é igual a esse mesmo valor mais o comprimento da
barra de ferro de 0.75 metros.
Agora estamos prontos para substituir e resolver 𝑑 sub cm. Quando substituímos todos esses valores — a densidade do ferro e a
posição do seu centro de massa; a densidade do cobre e a posição do
seu centro de massa — e inserimos essa expressão em nossa
calculadora, encontramos um resultado de 0.56 metros. Essa é a distância da extremidade livre da barra de ferro do centro de
massa deste sistema de duas barras.
Agora, vamos ver um exemplo envolvendo um centro de massa que varia no
tempo.
Duas partículas de massa de 2.0 kg e 4.0 kg se movem em círculos
uniformes com raios de 5.0 centímetros e 𝑅 centímetros,
respectivamente. A coordenada 𝑥 da partícula que se move no círculo de raio de 5.0
centímetros é dada por 𝑥 em função de 𝑡 é igual a 5.0 cosseno de
dois 𝑡. E a coordenada 𝑦 é dada por 𝑦 em função de 𝑡 é igual a 5.0 seno de
dois 𝑡. A coordenada 𝑥 do centro de massa das partículas é dada por 𝑥 sub cm em
função de 𝑡 é igual a 6.0 cosseno de dois 𝑡. E a coordenada 𝑦 do centro de massa das partículas é dada por 𝑦 sub cm
como função de 𝑡 é igual a 6.0 seno de dois 𝑡. Encontre 𝑅.
Queremos resolver o raio de rotação da nossa partícula de 4.0 kg. E para fazer isso, podemos começar desenhando um diagrama desse
cenário. Neste exemplo, somos informados sobre duas massas que estão se movendo em
círculos. A massa um se move em um círculo de raio que chamamos 𝑟 de 5.0
centímetros. A segunda massa, massa dois se move em um círculo de raio 𝑅 maiúsculo o
qual queremos resolver.
Com relação à massa menor, nos dizem as coordenadas 𝑥 e 𝑦 dessa massa
em função do tempo. E também nos dizem as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centro de massa deste
sistema de duas massas como função do tempo. Mesmo com o centro de massa que varia com o tempo, a relação que o centro
de massa é igual à soma do produto de cada elemento de massa
multiplicado por sua distância do centro de massa dividido pela soma
de todas as massas ainda se aplica a nossa situação.
Vamos olhar por um momento para a posição 𝑥 da nossa partícula e a
posição 𝑥 do centro de massa do sistema. Percebemos que essas duas expressões têm a mesma fase. E se olharmos para 𝑦 como uma função de 𝑡 e para a coordenada 𝑦 do
centro de massa, vemos a mesma relação que a fase é a mesma. Isso significa que podemos resolver o raio da nossa segunda partícula 𝑅
maiúsculo olhando para a coordenada 𝑥 ou separadamente para a
coordenada 𝑦. Ambas nos darão as mesmas informações.
Apenas escolhendo uma das coordenadas, vamos anotar a relação do centro
de massa na direção 𝑥. A coordenada 𝑥 do nosso sistema de massas, o centro de massa é igual a
𝑚 um vezes 𝑥 em função de 𝑡 vezes 𝑚 dois vezes a função que
chamamos 𝑥 sub dois como uma função de 𝑡 atualmente desconhecida,
todos divididos pela soma de 𝑚 um e 𝑚 dois. Vamos substituir nessa equação, o que sabemos. Sabemos 𝑥 sub cm, 𝑚 um, 𝑚 dois e 𝑥 como uma função do tempo.
Quando escrevemos todas as informações que conhecemos, vemos que a forma
final do nosso centro de massa tem uma expressão cosseno de dois
𝑡. Nós vemos essa mesma forma na expressão da exposição de nossa partícula
menor. E sabendo que o 5.0 que precede essa informação de fase representa o raio
de rotação de nossa menor partícula. Isto nos dá um indício de que a expressão para 𝑥 sub dois como uma
função de 𝑡 será o raio do maior capital de partícula 𝑅
multiplicado pela mesma fase cosseno de dois 𝑡.
Sabemos que 𝑥 sub dois de 𝑡 terão essa forma porque essa é a exposição
da partícula com um capital de raio 𝑅. E sabemos que o relacionamento de fase da posição dessa segunda partícula
deve ser consistente com a relação de fase do centro geral de massa
do sistema. Assim, substituindo essa expressão em nossa equação do centro de massa,
vemos que as unidades de quilos se anulam na expressão. E se multiplicarmos ambos os lados da nossa equação por 6.0 e então
subtrairmos 10.0 vezes o cosseno de dois 𝑡 de ambos os lados e
vemos que o cosseno de dois 𝑡 aparecendo em ambos os lados cancelam
esse termo trigonométrico. Vemos que 26 é igual a 4.0 𝑅 ou 𝑅 é igual a 26 dividido por 4.0, onde
𝑅 está implicitamente em unidades de centímetros. Para dois algarismos significativos como um decimal, 𝑅 é igual a 6.5
centímetros. Esse é o raio do círculo no qual a maior partícula se move.
Vamos resumir o que aprendemos sobre o centro de massa. Vimos que o centro de massa de um objeto é a localização média de toda a
sua massa. Uma das razões pelas quais o conhecimento do centro de massa de um objeto
é útil é porque uma força aplicada através de um centro de massa de
objeto tende a transladar sem girá-lo. E, finalmente, vimos que, como uma relação matemática, o centro de massa
de um objeto é igual à soma do produto de seus elementos de massa 𝑚
sub 𝑖 multiplicado pela distância de cada elemento de um ponto de
referência dividido pela soma dos elementos de massa
individuais. E notamos que cada dimensão do centro de massa de um objeto, seja 𝑥 ou
𝑦 ou alguma outra dimensão, precisa ser computada
separadamente.
