Vídeo: O Que Há de tão Especial no Número de Euler 𝑒?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Que Há de tão Especial no Número de Euler 𝑒?

13:14

Transcrição do vídeo

Eu introduzi algumas fórmulas derivadas. Mas uma coisa realmente importante que eu deixei de fora foram as exponenciais. Então, aqui, eu quero falar sobre as derivadas de funções como dois elevado a 𝑥, sete elevado a 𝑥, e também mostrar por que o 𝑒 elevado a 𝑥 é sem dúvida a mais importante das exponenciais.

Primeiro de tudo, para obter uma intuição, vamos nos concentrar na função dois elevado a 𝑥. E vamos pensar nessa entrada como um tempo, 𝑡, talvez em dias, e a saída, dois elevado a 𝑡, como um tamanho populacional. Talvez de um grupo particularmente fértil de criaturas 𝜋 que dobra a cada dia. E, na verdade, em vez do tamanho da população, que cresce em pequenos saltos discretos a cada nova criatura 𝜋 bebê. Talvez pensemos em dois elevado a 𝑡 como a massa total da população. Eu acho que isso reflete melhor a continuidade dessa função, não é? Assim, por exemplo, no tempo 𝑡 é igual a zero, a massa total é de dois elevado a zero é igual a um, para a massa de uma criatura. Em 𝑡 é igual a um dia, a população cresceu para dois elevado a um é igual a duas massas de criatura. No dia 𝑡 é igual a dois, é 𝑡 ao quadrado ou quatro. E, em geral, continua dobrando a cada dia dias.

Para a derivada, queremos d𝑀 d𝑡, a taxa na qual essa massa populacional está crescendo. Pensado como uma pequena mudança na massa dividida por uma pequena mudança no tempo. E vamos começar pensando na taxa de variação durante um dia inteiro, digamos entre o dia três e o dia quatro. Bem, neste caso, cresce de oito para 16. Então, são oito novas massas de criaturas adicionadas ao longo de um dia. E observe que essa taxa de crescimento é igual ao tamanho da população no início do dia. Entre o dia quatro e o dia cinco, cresce de 16 para 32. Portanto, é uma taxa de 16 novas massas de criaturas por dia. O que novamente equivale ao tamanho da população no início do dia. E, em geral, essa taxa de crescimento ao longo de um dia inteiro é igual ao tamanho da população no início desse dia. Portanto, pode ser tentador dizer que isso significa que a derivada de dois elevado a 𝑡 é igual a si mesma. Que a taxa de variação dessa função em um determinado momento 𝑡 é igual a, bem, o valor dessa função. E isso definitivamente está na direção certa, mas não está totalmente correto.

O que estamos fazendo aqui é fazer comparações durante um dia inteiro. Considerando a diferença entre dois elevado a 𝑡 mais um e dois elevado a 𝑡. Mas para a derivada, precisamos perguntar o que acontece para variações cada vez menores. Qual é o crescimento ao longo de um décimo de dia? Centésimo de dia? Um bilionésimo de dia? Foi por isso que eu pensei que a função representasse a massa populacional. Uma vez que faz sentido perguntar sobre uma pequena variação de massa em uma pequena fração de dia. Mas não faz muito sentido perguntar sobre a pequena variação em um tamanho discreto da população por segundo. Mais abstratamente, para uma pequena variação no tempo, d𝑡, queremos entender a diferença entre dois elevado 𝑡 mais d𝑡 e dois elevado a 𝑡 todos divididos por d𝑡. Uma variação na função por unidade de tempo. Mas agora, estamos olhando muito de perto para um determinado ponto no tempo e não ao longo de um dia inteiro.

E aqui está a coisa. Eu adoraria se houvesse alguma imagem geométrica muito clara que fizesse tudo o que está prestes a seguir aparecer. Algum diagrama em que você pode apontar para um valor e dizer: “Veja! Aquela parte! Essa é a derivada de dois elevado a 𝑡.” E se você souber de um, por favor me avise. E enquanto o objetivo aqui, como no restante da série, é manter um espírito lúdico de descoberta. O tipo de jogo a seguir terá mais a ver com a descoberta de padrões numéricos do que visuais.

Portanto, comece examinando muito de perto esse termo, dois elevado a 𝑡 mais d𝑡. Uma propriedade central das exponenciais é que você pode dividir elas em dois elevado a 𝑡 vezes dois elevado a d𝑡. Essa é realmente a propriedade mais importante dos expoentes. Se você adicionar dois valores nesse expoente, poderá dividir a saída como um produto de algum tipo. É isso que permite relacionar ideias aditivas, como pequenos passos no tempo, com ideias multiplicativas, como taxas e razões. Quero dizer, veja o que acontece aqui. Após esse movimento, podemos fatorar o termo dois elevado a 𝑡, que agora é multiplicado por dois elevado a d𝑡 menos um todos divididos por d𝑡. E lembre-se, a derivada de dois elevado a 𝑡 é o que toda essa expressão se aproxima quando d𝑡 se aproxima de zero. E, à primeira vista, isso pode parecer uma manipulação sem importância. Mas um fato tremendamente importante é que esse termo à direita, onde todas as coisas d𝑡 vivem, é completamente separado do próprio termo 𝑡. Não depende do momento real em que começamos.

Você pode ir para uma calculadora e substituir valores muito pequenos para d𝑡 aqui. Por exemplo, talvez digitando dois elevado a 0.001 menos um dividido por 0.001. O que você encontrará é que, para escolhas cada vez menores de d𝑡, esse valor se aproxima de um número muito específico, em torno de 0.6931. Não se preocupe se esse número parecer misterioso. O ponto central é que isso é algum tipo de constante. Diferentemente das derivadas de outras funções, todas as coisas que dependem de d𝑡 são separadas do valor de 𝑡 em si. Portanto, a derivada de dois elevado a 𝑡 é apenas ela mesma, mas multiplicada por alguma constante. E isso deve meio que fazer sentido. Porque, anteriormente, parecia que a derivada de dois elevado a 𝑡 deveria ser ela mesma. Pelo menos, quando analisamos as variações ao longo de um dia inteiro. E, evidentemente, a taxa de variação dessa função em escalas de tempo muito menores não é exatamente igual a si mesma. Mas é proporcional a si mesma, com essa constante de proporcionalidade muito peculiar de 0.6931.

E não há muito especial sobre o número dois aqui. Se, em vez disso, tivéssemos lidado com a função três elevado a 𝑡. A propriedade exponencial também nos levaria à conclusão de que a derivada de três elevado a 𝑡 é proporcional a si mesma. Mas desta vez, teria uma proporcionalidade constante a 1.0986. E para outras bases do seu expoente, podemos nos divertir tentando ver quais são as várias constantes de proporcionalidade. Talvez vendo se você pode encontrar um padrão nelas. Por exemplo, se você substituir oito à potência de um número muito pequeno menos um e dividir pelo mesmo número pequeno. O que você encontrará é que a constante de proporcionalidade relevante é de cerca de 2.079. E talvez, apenas talvez, você notaria que esse número é exatamente três vezes a constante associada à base para dois. Portanto, esses números certamente não são aleatórios. Existe algum tipo de padrão, mas qual ele é? O que dois têm a ver com o número 0.6931? E o que oito tem a ver com o número 2.079?

Bem, uma segunda pergunta que acabará explicando essas constantes misteriosas é se existe alguma base em que essa constante de proporcionalidade seja um. Onde a derivada de 𝑎 elevado a 𝑡 não é apenas proporcional a si mesma, mas na verdade igual a si mesma. E aqui está! É a constante especial 𝑒, por volta de 2.71828. De fato, não é apenas o número 𝑒 que aparece aqui. Em certo sentido, é isso que define o número 𝑒. Se você perguntar por que 𝑒, de todos os números, possui essa propriedade. É um pouco como perguntar por que 𝜋, de todos os números, é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Isso é, em sua essência, o que define esse valor. Todas as funções exponenciais são proporcionais à sua própria derivada. Mas 𝑒 sozinho é o número especial, de modo que essa constante de proporcionalidade é um. Significa 𝑒 elevado a 𝑡 é igual a sua própria derivada.

Uma maneira de pensar nisso é que, se você olhar para o gráfico de 𝑒 elevado a 𝑡. Tem a propriedade peculiar de que a inclinação de uma reta tangente a qualquer ponto deste gráfico seja igual à altura desse ponto acima do eixo horizontal. A existência de uma função como essa responde à questão das constantes misteriosas. E é porque fornece uma maneira diferente de pensar em funções que são proporcionais à sua própria derivada. A chave é usar a regra da cadeia. Por exemplo, qual é a derivada de 𝑒 elevado a três 𝑡? Bem, você toma a derivada da função mais externa, que devido a essa natureza especial de 𝑒 é apenas ela mesma. E então multiplique pela derivada dessa função interna, três 𝑡, que é a constante, três. Ou, em vez de apenas aplicar uma regra cegamente, você pode aproveitar esse momento para praticar a intuição da regra da cadeia que falei no último vídeo. Pensar em como uma leve cutucada em 𝑡 altera o valor de três 𝑡. E como essa mudança intermediária desloca o valor final de 𝑒 elevado a três 𝑡.

De qualquer forma, o ponto é, 𝑒 elevado a alguma constante vezes 𝑡 é igual ao mesmo tempo constante. E a partir daqui, a questão dessas constantes misteriosas realmente se resume a uma certa manipulação algébrica. O número dois também pode ser escrito como 𝑒 no logaritmo natural de dois. Não há nada chique aqui. Esta é apenas a definição do log natural. Ele faz a pergunta, 𝑒 elevado a que é igual a dois. Portanto, a função dois elevado a 𝑡 é a mesma que a função 𝑒 para a potência do logaritmo natural de duas vezes 𝑡. E pelo que acabamos de ver, combinar os fatos que 𝑒 elevado a 𝑡 é sua própria derivada com a regra da cadeia. A derivada dessa função é proporcional a si mesma, com uma constante de proporcionalidade igual ao logaritmo natural de dois. E, de fato, se você substituir o log natural de dois em uma calculadora, verá que é 0.6931. A constante misteriosa que encontramos anteriormente.

E o mesmo vale para todas as outras bases. A constante de proporcionalidade misteriosa que aparece ao tomar derivadas é apenas o logaritmo natural da base. A resposta para a pergunta 𝑒 elevado a que é igual a essa base. De fato, em todas as aplicações de cálculo, você raramente vê exponenciais escritos como uma base para uma potência 𝑡. Em vez disso, você quase sempre escreve a exponencial como 𝑒 elevado a alguma constante vezes 𝑡. É tudo equivalente. Quero dizer, qualquer função como dois elevado a 𝑡 ou três elevado a 𝑡 também pode ser escrita como 𝑒 elevado a alguma constante vezes 𝑡. Correndo o risco de ficar focado demais nos símbolos aqui, eu realmente quero enfatizar que existem muitas, muitas maneiras de escrever qualquer função exponencial específica. E quando você vê algo escrito como 𝑒 elevado a alguma constante vezes 𝑡, é uma escolha que fazemos para escrevê-lo dessa maneira. E o número 𝑒 não é fundamental para essa função em si. O que há de especial em escrever exponenciais em termos de 𝑒 assim é que ela confere a essa constante no expoente um significado agradável e legível.

Aqui, deixe-me mostrar o que eu quero dizer. Todos os tipos de fenômenos naturais envolvem alguma taxa de variação proporcional à coisa que está mudando. Por exemplo, a taxa de crescimento de uma população realmente tende a ser proporcional ao tamanho da própria população. Supondo que não haja recursos limitados que atrasem as coisas. E se você colocar um copo de água quente em uma sala fria. A taxa na qual a água esfria é proporcional à diferença de temperatura entre a sala e a água. Ou, dito um pouco diferente, a taxa em que essa diferença muda é proporcional a si mesma. Se você investe seu dinheiro, a taxa na qual ele cresce é proporcional à quantidade de dinheiro existente a qualquer momento.

Em todos esses casos, onde a taxa de variação de uma variável é proporcional a ela mesma. A função que descreve essa variável ao longo do tempo parecerá algum tipo de exponencial. E mesmo que haja muitas maneiras de escrever qualquer função exponencial. É muito natural optar por expressar essas funções como 𝑒 elevado a alguma constante vezes 𝑡. Uma vez que essa constante carrega um significado muito natural. É o mesmo que a constante de proporcionalidade entre o tamanho da variação da variável e a taxa de variação.

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