Vídeo: O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais

Neste vídeo, vamos aprender como classificar extremos locais utilizando o teste da segunda derivada.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como aplicar o teste da segunda derivada para classificar um ponto crítico como um mínimo local, um máximo local ou um ponto de inflexão.

Já devemos estar familiarizados com a definição de pontos críticos como pontos de uma função em que o declive da tangente à curva é igual a zero ou não está definida e como determinar os pontos críticos da função utilizando derivadas. Também pode estar familiarizado com o teste da primeira derivada para classificar pontos críticos, também chamado de determinação da sua natureza. Os pontos críticos podem ser mínimos locais, máximos locais ou pontos de inflexão. E estes são classificados de acordo com a forma da curva nesse ponto. Este é determinado pelo comportamento do declive da curva em redor do ponto.

Lembre-se de que a primeira derivada de uma função 𝑓 linha de 𝑥 ou d𝑦 sobre d𝑥, se estivermos a utilizar a notação de Leibniz, indica o declive de uma curva. Esta é a taxa de variáção da própria curva. E em pontos críticos, a primeira derivada é igual a zero. Portanto, a segunda derivada de uma função, que é a derivada da primeira derivada, diz-nos o declive do declive. Ou, de forma mais útil, diz-nos a taxa de variação do declive de uma curva. Vamos considerar como o declive de uma curva muda em torno de um ponto crítico, começando com um mínimo local.

Ao desenhar tangentes na curva em ambos os lados do ponto crítico, vemos que o declive da curva e, portanto, a primeira derivada da função é negativa à esquerda do nosso ponto crítico e positiva à direita do ponto crítico. O declive e, portanto, o valor de 𝑓 linha de 𝑥 muda de negativo para zero para positivo. E, portanto, o valor do declive está a aumentar. Lembre-se de que se uma função for crescente, terá uma derivada positiva. Portanto, isto diz-nos que, à medida que o declive aumenta, a derivada do declive é positiva.

A derivada do declive é a segunda derivada da função original. Portanto, podemos concluir que, no mínimo local, a segunda derivada da função será positiva: 𝑓 duas linhas de 𝑥 é maior que zero. Podemos aplicar o mesmo raciocínio a um máximo local. Desta vez, o declive 𝑓 linha de 𝑥 muda de positivo para zero para negativo e, portanto, o valor de 𝑓 linha de 𝑥 está a diminuir. Se uma função é decrescente, a sua derivada é negativa. Portanto, podemos concluir que, no máximo local, a derivada de 𝑓 linha de 𝑥, que é 𝑓 duas linhas de 𝑥, a segunda derivada da função original, será negativa.

Infelizmente, o teste da segunda derivada não é particularmente útil para identificar pontos de inflexão. Num ponto de inflexão o declive muda de positivo para zero para positivo ou de negativo para zero para negativo. E assim, o sinal de 𝑓 linha de 𝑥 é o mesmo em ambos os lados de um ponto de inflexão. Consequentemente, não podemos utilizar resultados sobre funções crescentes ou decrescentes para utilizar o teste da segunda derivada para classificar um ponto de inflexão. De facto, acontece que nos pontos de inflexão, a segunda derivada de uma função é igual a zero. Mas isso também pode ser verdade nalguns mínimos locais ou máximos locais. Portanto, não basta concluir que, num ponto crítico, deve haver um ponto de inflexão.

Por exemplo, considere a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 elevado a quatro. Sabemos pelo gráfico que tem um ponto mínimo local na origem. Se determinarmos a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥, esta é igual a quatro 𝑥 ao cubo. E estabelecendo-a igual a zero, confirmamos que existe realmente um ponto crítico quando 𝑥 é igual a zero. A segunda derivada da função 𝑓 duas linhas de 𝑥 é 12𝑥 ao quadrado. E se substituíssemos 𝑥 igual a zero na segunda derivada, obteríamos zero. Mas, como vimos, esse ponto crítico é um mínimo local, não um ponto de inflexão. O que isto diz-nos é que, se a segunda derivada num ponto crítico for igual a zero, devemos utilizar o teste da primeira derivada para determinar a natureza do ponto crítico, pois pode ser um ponto de inflexão, mas também pode ser um mínimo local ou máximo local. Vamos agora considerar alguns exemplos.

Determine os valores máximos e mínimos locais da função 𝑦 igual a menos três 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 menos quatro.

Primeiro, lembramos que em pontos críticos, a primeira derivada da função — neste caso d𝑦 sobre d𝑥 — é igual a zero. Portanto, o nosso primeiro passo será determinar a primeira derivada desta função. Aplicando a regra das potências das derivadas, descobrimos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a menos seis 𝑥 menos seis. Em seguida, estabelecemos a nossa expressão de d𝑦 sobre d𝑥 igual a zero e resolvemos em ordem a 𝑥, dando 𝑥 igual a menos um. A nossa função, portanto, tem um ponto crítico, que ocorre quando 𝑥 é igual a menos um.

Em seguida, precisamos de calcular a função no ponto crítico, o que fazemos substituindo 𝑥 igual a menos um na equação que nos foi dada. Obtemos 𝑦 igual a menos três multiplicado por menos um ao quadrado menos seis multiplicado por menos um menos quatro, o que simplifica para menos um. Isto diz-nos então que o único ponto crítico desta função é o ponto com coordenadas menos um, menos um. Mas precisamos de determinar se este é o mínimo local ou o máximo local, o que faremos aplicando o teste da segunda derivada.

Para determinar a segunda derivada, precisamos de derivar a nossa primeira derivada em ordem a 𝑥. Então, estamos a determinar a derivada de menos seis 𝑥 menos seis em ordem a 𝑥. Aplicando a regra das potências, vemos que esta derivada é apenas igual a menos seis. Agora, esta segunda derivada é na verdade apenas uma constante, porque derivámos uma expressão quadrática duas vezes. Portanto, não precisamos de substituir a coordenada em 𝑥 no nosso ponto crítico para o calcular porque a segunda derivada é constante para todos os valores de 𝑥. Observamos que menos seis é menor que zero. Lembramos que, se a segunda derivada de uma função é negativa no ponto crítico, então o ponto crítico é um máximo local. Portanto, o ponto menos um, menos um, é de facto o máximo local desta função.

Portanto, podemos concluir que esta função não possui valor mínimo local, mas possui um valor máximo local negativo. Observe que é o valor da própria função que temos aqui, não o valor de 𝑥, embora ambos sejam iguais neste caso. Também podemos confirmar este resultado utilizando o nosso conhecimento sobre gráficos de funções quadráticas. Como o coeficiente de 𝑥 ao quadrado nesta curva é negativo, o gráfico desta quadrática será uma parábola negativa. Sabemos que as parábolas têm apenas um único ponto crítico. E se o coeficiente de 𝑥 ao quadrado for negativo, o seu ponto crítico será um máximo local.

Vamos agora considerar outro exemplo.

Determine os pontos 𝑥, 𝑦 onde 𝑦 é igual a nove 𝑥 mais nove sobre 𝑥 tem um máximo local ou um mínimo local.

Máximos locais e mínimos locais são exemplos de pontos críticos. E lembramos que nos pontos críticos de uma função, a primeira derivada d𝑦 sobre d𝑥 é igual a zero. Antes de derivar, podemos achar útil reescrever o segundo termo da nossa função como nove 𝑥 elevado a menos um. Podemos então utilizar a regra das potências das derivadas para determinar a primeira derivada d𝑦 sobre d𝑥. Lembre-se de que, quando derivamos, diminuímos expoente uma unidade. Então, quando diminuímos este expoente menos um, tornar-se-á menos dois, não zero. Cuidado com isso! Este é um erro comum. Podemos reescrever esta derivada como nove menos nove sobre 𝑥 ao quadrado e, em seguida, estabeleceremos esta derivada igual a zero.

Agora, resolveremos a equação resultante para determinar os valores de 𝑥 nos pontos críticos. Começamos por multiplicar todos os termos da equação por 𝑥 ao quadrado. Podemos então dividir por nove para dar 𝑥 ao quadrado menos um igual a zero. Adicione um aos dois membros e, finalmente, aplique a raiz quadrada, lembrando que temos soluções positivas e negativas. Determinamos que 𝑥 é igual a mais ou menos um. Portanto, esta função tem dois pontos críticos.

Em seguida, precisamos encontrar os valores 𝑦 em cada ponto crítico, avaliando a própria função. Quando 𝑥 é igual a um positivo, 𝑦 é igual a nove multiplicado por um mais nove por um, que é igual a 18, dando um ponto crítico de um, 18. Quando 𝑥 é igual a um negativo, 𝑦 é igual a menos 18. Portanto, o nosso segundo ponto crítico tem coordenadas menos um, menos 18. Agora, precisamos de determinar se estes pontos críticos são mínimos locais ou máximos locais, o que faremos utilizando o teste da segunda derivada. Vamos limpar algum espaço para o fazer.

Para determinar a segunda derivada d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado, precisamos de derivar a primeira derivada, que era nove menos nove 𝑥 elevado a menos dois em ordem a 𝑥. Fazendo isso, obtemos menos nove multiplicado por menos dois 𝑥 elevado a menos três, que podemos escrever como 18 sobre 𝑥 ao cubo. Em seguida, precisamos de calcular esta segunda derivada em cada um dos nossos pontos críticos. Quando 𝑥 é igual a menos um, a segunda derivada é 18 sobre menos um ao cubo, que é igual a menos 18. É menor que zero. E lembramos que, se a segunda derivada de uma função é negativa num ponto crítico, então o ponto crítico é um máximo local. Calculando a segunda derivada quando 𝑥 é igual a um, obtém-se 18 sobre um ao cubo, que é 18. E como este é maior que zero, concluímos que o ponto crítico em que 𝑥 é igual a um é o mínimo local.

Assim, completamos o problema. Respondemos que o ponto um, 18 é um mínimo local e o ponto menos um, menos 18 é um máximo local.

No nosso próximo exemplo, aplicaremos o nosso conhecimento do teste da segunda derivada para extremos locais num problema que envolve a derivada de funções trigonométricas.

Determine, se houver, os valores máximos e mínimos locais de 𝑓 de 𝑥 igual a 19 sen 𝑥 mais 15 cos 𝑥, indicando o seu tipo.

Lembramos antes de mais que, nos pontos críticos de uma função, a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero. Também precisamos de lembrar o ciclo que podemos utilizar para derivar seno e cosseno. 𝑓 linha de 𝑥 é, portanto, igual a 19 cos 𝑥 menos 15 sen 𝑥 e estabelecemo-lo igual a zero. Para resolver, podemos primeiro separar os dois termos em membros opostos da equação e, em seguida, dividir os dois membros da equação por cos 𝑥 e 15 para dar sen 𝑥 sobre cos 𝑥 igual a 19 sobre 15. Nesta altura, recordamos uma das nossas identidades trigonométricas: tan 𝜃 igual a sen 𝜃 sobre cos 𝜃. Portanto, temos tan 𝑥 igual a 19 sobre 15.

Para a resolver, aplicamos a função inversa da tan. E devemos lembrar-nos, nesta altura, que, para derivar funções trigonométricas, precisamos de trabalhar com o ângulo medido em radianos, pois os principais limites utilizados ​​quando derivamos as derivadas por definição são verdadeiras apenas em radianos. Portanto, quando calculamos 𝑥 nas nossas calculadoras, precisamos de ter certeza de que estamos a trabalhar em radianos. Determinamos então que 𝑥 é igual a 0.9025 radianos. No entanto, tan 𝑥 é uma função periódica com um período de 𝜋. Portanto, existem outras soluções para esta equação que corresponderão a outros pontos críticos da função 𝑓. Isso significa que os pontos críticos ocorrerão com esse valor de 𝑥 que acabamos de encontrar mais ou menos múltiplos inteiros de 𝜋. Adicionar 𝜋 ao nosso valor de 0.9025 dá 4.0441 radianos. Portanto, este será o segundo valor de 𝑥 no qual ocorre um máximo ou mínimo local.

Em seguida, precisamos de calcular a função 𝑓 de 𝑥 em cada um dos pontos críticos. Para o nosso primeiro ponto crítico, quando 𝑥 é igual a 0.9025, obtemos 24.21 com duas casas decimais. E no nosso segundo ponto crítico, onde 𝑥 é igual a 4.0441, obtemos menos 24.21 com duas casas decimais. Agora, isto faz sentido, porque as funções seno e cosseno têm uma linha horizontal de simetria no eixo O𝑥 e, portanto, uma soma ou diferença das funções seno e cosseno, significando que o valor absoluto do máximo local será igual ao valor absoluto do mínimo local.

Agora, finalmente, precisamos de aplicar o teste da segunda derivada para classificar estes pontos críticos. Então, vamos dar um pouco de espaço. Derivamos 𝑓 linha de 𝑥 para dar menos 19 sen 𝑥 menos 15 cos 𝑥. Agora precisamos de calcular esta função em cada um dos nossos pontos críticos, mas há um truque que podemos utilizar aqui. Como derivamos duas vezes, estamos no meio do nosso ciclo de derivação, o que significa que a segunda derivada é na verdade quase idêntica à função original. O que é diferente é que ambos os termos são negativos em vez de positivos. Mas se tirarmos este menos da nossa expressão, veremos que, neste caso, 𝑓 duas linhas de 𝑥 é na verdade igual a menos 𝑓 de 𝑥.

A razão pela qual isto é útil é porque já calculámos 𝑓 de 𝑥 em cada um dos nossos pontos críticos. Assim, podemos utilizar os valores que já determinámos para determinar a segunda derivada nos nossos pontos críticos. No nosso primeiro ponto crítico, quando 𝑥 é igual a 0.9025, 𝑓 de 𝑥 era igual a 24.21. Portanto, a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑥 será igual a menos 24.21. Como isto é menor que zero, diz-nos que este ponto crítico será o máximo local. No nosso segundo ponto crítico, o valor de 𝑓 de 𝑥 foi menos 24.21. Portanto, o valor de 𝑓 duas linhas de 𝑥 será mais 24.21 e, como é maior que zero, o nosso segundo ponto crítico é um mínimo local.

Agora, esses são valores mínimos e máximos locais. Porém, devido à forma do gráfico de 𝑓 de 𝑥, também são os valores mínimo e máximo absolutos da função. Portanto, podemos concluir que o valor mínimo local e absoluto da função é menos 24.21 e o valor máximo local e absoluto da função é 24.21.

Vamos considerar o nosso exemplo final.

Suponha que 𝑓 linha de quatro é igual a zero e 𝑓 duas linhas de quatro é igual a menos quatro. O que pode dizer sobre 𝑓 no ponto 𝑥 igual a quatro? 𝑓 tem um mínimo local em 𝑥 igual a quatro. 𝑓 tem um máximo local em 𝑥 igual a quatro. 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑥 igual a quatro. Não é possível afirmar que a natureza do ponto de inflexão de 𝑓 em 𝑥 igual a quatro. Ou 𝑓 tem uma tangente vertical em 𝑥 igual a quatro.

Vamos considerar cada uma das informações que temos de cada vez. Em primeiro lugar, somos informados de que 𝑓 linha de quatro é igual a zero. E se a primeira derivada de uma função for igual a zero num determinado ponto, então a função terá um ponto crítico nesse ponto. Portanto, sabemos que 𝑓 tem um ponto crítico quando 𝑥 é igual a quatro. Em seguida, somos informados de que 𝑓 duas linhas de quatro é igual a menos quatro. Portanto, a segunda derivada da nossa função 𝑓 é negativa quando 𝑥 é igual a quatro. A segunda derivada será negativa no máximo local. Portanto, podemos concluir que 𝑓 tem um máximo local em 𝑥 igual a quatro.

Esta é a segunda opção na lista que nos foi dada. A primeira, terceira e quarta opções são, portanto, falsas. Se um ponto não é um máximo local, também não pode ser um mínimo local ou um ponto de inflexão. E foi possível determinar a natureza deste ponto de inflexão. Vamos considerar a quinta opção. Sabemos que a primeira derivada da nossa função 𝑓 é zero quando 𝑥 é igual a quatro, o que significa que o declive da curva e o declive da tangente serão zero. Portanto, 𝑓 terá uma tangente horizontal, não vertical em 𝑥 igual a quatro. Assim, completamos o problema. 𝑓 tem um máximo local em 𝑥 igual a quatro.

Vamos resumir o que vimos neste vídeo.

Se 𝑓 é uma função derivável, de modo que a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑎 seja igual a zero, então 𝑓 tem um ponto crítico em 𝑥 igual a 𝑎. Se a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑎 for positiva, o ponto crítico será um mínimo local. Mas se a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑎 for negativa, o ponto crítico é um máximo local. Se a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑎 for igual a zero, o ponto crítico poderá ser um ponto de inflexão. Mas é possível que também possa ser um mínimo local ou um máximo local. Portanto, neste caso, precisamos de utilizar o teste da primeira derivada para classificar o ponto crítico.

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