Vídeo: Nem Todo Mundo Preso em um Elevador Aprecia Matemática

Neste vídeo, aprendemos como o seu conhecimento das equações de movimento de Newton sob aceleração constante pode ajudá-lo a passar o tempo em que você está preso em um elevador, mas também precisa ser cuidadoso ao usá-las, em parte porque outros passageiros podem não apreciar suas conclusões.

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Transcrição do vídeo

Acontece que nem todo mundo preso em um elevador aprecia as equações de movimento de Newton. Alguns anos atrás, encontrei-me preso a um elevador com cinco dos meus colegas, em algum lugar entre o térreo e o sétimo andar, a caminho de uma reunião. Se estivéssemos na América, teríamos ficado presos em um elevador em algum lugar entre o primeiro e o oitavo andares.

No nível do solo, todos nós entramos, alguém apertou o botão sete, a porta fechou, e partimos, discutindo alegremente os prós e contras de usar diferentes caracteres como separadores entre elementos de dados em nosso protocolo de aplicação para aplicação para mensagens de computador antes mesmo da reunião começar oficialmente.

Um dos colegas sugeriu: “Acho que devemos fazer um corte.” E vários de nós novamente consideraram as diferenças entre o idioma inglês no Reino Unido e nos EUA. De repente, houve um estrondo e o elevador parou. Nós estávamos presos. Peguei o telefone “Chame por Ajuda” no elevador e me disseram que o engenheiro seria chamado, mas provavelmente levaria algumas horas.

O clima coletivo era razoavelmente alegre e decidimos ver se poderíamos nos libertar nesse meio tempo. Dois de nós conseguiram separar a porta do elevador, esperando que pudéssemos sair e usar as escadas. Mas, infelizmente, havia outro par de portas além daquelas, e não conseguimos movê-las; elas estavam presas rapidamente. Nós não íamos a lugar algum, então fizemos nossa reunião no elevador e depois conversamos um pouco.

Depois de um tempo, a conversa parou e percebi que havia um pequeno espaço entre as duas portas abertas, abaixo do qual estava a queda até o fundo do poço do elevador. Sugeri que, se derrubássemos um centavo pelo espaço e contássemos quantos segundos demorava a atingir o chão, poderíamos usar uma das equações de movimento de Sir Isaac Newton sob aceleração constante para descobrir o quão alto estávamos.

𝑆 é igual a 𝑢𝑡 mais um meio de 𝑎𝑡 ao quadrado, onde 𝑆 é a distância percorrida em metros, 𝑢 é a velocidade inicial do objeto em metros por segundo, 𝑡 é o tempo em segundos e 𝑎 é a taxa constante de aceleração do objeto em metros por segundo por segundo.

A velocidade inicial da moeda seria zero se a deixássemos de lado, em vez de jogá-la com uma força através da abertura. E isso significaria que o primeiro termo era zero vezes o tempo, apenas zero, então poderíamos ignorá-lo. Lembrei que a aceleração devido à gravidade era de 9.8 metros por segundo por segundo. E nós iríamos ignorar a resistência do ar, o que achamos que seria bastante insignificante por um pequeno centavo sob essas condições, com a mesma altura que nós. E isso nos daria a aceleração constante que precisávamos para calcular essa fórmula.

Então, o nosso centavo começaria sua queda a zero metros por segundo. E a cada segundo, ele teria 9.8 metros por segundo mais rápido. Depois de um segundo, estaria viajando a 9.8 metros por segundo. Depois de dois segundos, estaria viajando a 19.6 metros por segundo. Depois de três segundos, estaria viajando a 29.4 metros por segundo, e assim por diante. E por conveniência, poderíamos arredondar a aceleração para 10 metros por segundo por segundo para facilitar nossos cálculos, porque ninguém tinha uma calculadora com eles.

Então, tudo o que precisávamos fazer para descobrir o quão longe estávamos do chão era o dinheiro, contar quantos segundos levou para chegar ao chão, elevar esse número ao quadrado, multiplicar a resposta por 10 e depois reduzir pela metade o resultado. Isso pareceu divertir o grupo e levantou um pouco o ânimo. Poderíamos fazer um experimento científico e teríamos uma reviravolta interessante para acrescentar à nossa anedota sobre ficar preso em um elevador por duas horas pela manhã.

Então, deixamos cair um centavo na abertura e contamos quanto tempo demorou para atingir a parte inferior do poço do elevador. Foi cerca de dois segundos. E a distância era cerca de um meio vezes 10 vezes dois ao quadrado; são 20 metros. Isso pareceu uma queda e o clima no elevador de repente mudou quando todos nós pegamos essa informação.

Com um cálculo simples, passamos de um grupo de pessoas relaxadas conversando com um grupo preso em um espaço confinado sob condições perigosas, com cinco delas querendo me derrubar no poço do elevador. Felizmente, o pequeno espaço não era grande o suficiente para permitir que isso acontecesse.

Sugeri que superestimamos um pouco a altura porque usamos um valor de 10 metros por segundo por segundo para aceleração devida à gravidade, em vez de 9.8. Agora, um meio vezes 9.8 vezes o quadrado de dois foi realmente muito fácil de resolver em nossas cabeças. A multiplicação é comutativa e associativa, portanto, poderíamos fazer primeiro um meio vezes dois ao quadrado para obter dois e depois multiplicá-los por 9.8.

Isso significava que tínhamos apenas 19.6 metros de altura. Eu economizei 40 centímetros. Mas eles ainda não estavam felizes. Então eu disse: “E nós contamos dois segundos, mas isso poderia facilmente ter sido tão baixo quanto um segundo e meio, porque é tão difícil contar uma quantidade tão pequena de tempo em sua cabeça.” Isso significaria que nós estávamos apenas a mais de 11 metros acima do solo. Então alguém disse que “ainda é como saltar quase três ônibus de dois andares empilhados uns sobre os outros; eles têm cerca de quatro metros de altura cada um, então isso não nos fará muito bem.” E outra pessoa acrescentou: “E nós poderíamos facilmente ter subestimado o tempo; talvez tenha sido dois segundos e meio. Quão alto estaríamos então?” “Cerca de 30 metros”, calculei. ”E são quase oito ônibus de dois andares”, acrescentou o primeiro.

”Ótimo”, eu disse. “Acho que todos aprendemos algo aqui, por exemplo, sobre limites superiores e inferiores. Quando tentamos medir alguma coisa, há um limite para medir com precisão o que podemos fazer. Então, é errado dar apenas uma resposta. No nosso caso, considerando a margem de erro de nosso tempo, mais ou menos meio segundo, podemos dizer com confiança que estávamos entre 11 e 30 metros acima do solo. Isso nos dá uma imagem realista da precisão de nossas medições”.

Então alguém disse: “Mas não precisamos saber quanto pesa o centavo? Com certeza, coisas mais pesadas caem mais rápido que coisas mais leves.” Esse foi um ponto interessante. Se você soltar uma pena e um martelo, parece óbvio que o martelo mais pesado atingiria o solo primeiro, enquanto a pena mais leve flutuaria suavemente até o chão algum tempo depois. Isto é devido à resistência do ar.

Há excelentes vídeos da missão Apollo 15 da NASA em 1971, na qual o astronauta David Scott deixou cair um martelo e uma pena na lua, onde não há atmosfera para fornecer resistência ao ar. Os dois caíram no mesmo ritmo e bateram no chão juntos. A massa de cada objeto não afetou a taxa na qual ele acelerou em direção ao solo quando não havia resistência do ar.

Quando um objeto está caindo em direção à Terra, ele tem uma força devido à gravidade atuando sobre ele, puxando-o para baixo. Mas à medida que fica mais rápido, tem uma força crescente de resistência do ar agindo contra a gravidade, para reduzir a força resultante para baixo e assim reduzir a aceleração.

A resistência do ar é igual à densidade do ar, medida em quilogramas por metro cúbico, vezes o coeficiente de resistência da moeda de um centavo, que é uma constante específica para esse centavo em particular, vezes a área da moeda de um centavo, que está voltada para baixo enquanto cai, em metros quadrados, vezes o quadrado da velocidade, em metros por segundo, todos divididos por dois.

Uma estimativa razoável para a densidade do ar a cerca de 15 graus Celsius ao nível do solo é de cerca de 1.225 kg por metro cúbico. Um centavo britânico tem um diâmetro de cerca de 20 milímetros e uma espessura de cerca de 1.5 milímetros. Então o seu lado, caindo, expõe uma área de cerca de 30 milímetros quadrados. Isso é 0.00003 metros quadrados.

Agora o coeficiente de resistência é um pouco mais complicado. Idealmente, você colocaria um centavo em um túnel de vento, faria muitas medições e calcularia um valor empírico estimado. Eu não tenho acesso a um túnel de vento, mas uma pesquisa na web me deu algumas estimativas entre 0.5 e 1.17. Então, por uma questão de argumento, eu vou por 0.8. E quando resolvemos isso, percebemos que a resistência do ar é igual a 0.0000147 vezes o quadrado da velocidade.

Como a moeda estava caindo por apenas alguns segundos, ela não atingia uma velocidade muito alta e a resistência do ar seria muito pequena. Mas à medida que a velocidade aumenta, a resistência do ar aumenta. E chegará um ponto em que ela equilibra a força gravitacional, e a moeda só continuará caindo a essa velocidade sem mais aceleração. Isso é chamado de velocidade terminal.

Então, qual é a velocidade terminal de um centavo britânico? Bem, há uma fórmula para resolver isso. A velocidade terminal é igual à raiz quadrada de dois vezes 𝑚 vezes 𝑔 sobre 𝜌 vezes 𝐴 vezes 𝐶, onde 𝑚 é a massa da moeda em quilogramas, 𝑔 é a aceleração devida à gravidade em metros por segundo por segundo, 𝜌 é a densidade do fluido sendo caído pelo objeto em quilogramas por metro cúbico, 𝐴 é a área do objeto projetada no fluido, em metros quadrados, e 𝐶 é o coeficiente de resistência, novamente uma constante.

Agora, usando minhas suposições sobre a moeda caindo de lado, projetando uma área muito pequena, um coeficiente de resistência de 0.8 e uma massa de 3.5 gramas, temos que a velocidade terminal é igual a 48.3 metros por segundo. Isso é cerca de 108 milhas por hora.

Agora eu vi vários cálculos na Internet que dizem que a velocidade terminal de um centavo está mais próxima de 11.1 metros por segundo. Mas eles são para centavos dos EUA, que são um pouco menores e mais leves do que moedas de um centavo do Reino Unido. E eles assumiram que a moeda cairia de face para baixo por todo o caminho, com uma área de superfície muito maior projetada, e também um coeficiente de resistência de 1.17. Eles usaram o mesmo método que eu, mas com base em uma moeda diferente e pressupostos diferentes de como a moeda cai.

Eu suspeito que a moeda realmente vira algumas vezes quando cai. Então, minha figura é provavelmente uma superestimativa da velocidade terminal de um centavo do Reino Unido, e a deles é provavelmente uma subestimativa para a velocidade terminal de um centavo dos EUA. De qualquer forma, o resultado de tudo isso é que a moeda não acelera a uma taxa constante. A cada segundo, não acrescentamos mais 9.8 metros por segundo à velocidade, como acontece no vácuo. Acrescentamos um pouco menos a cada segundo, até que a moeda atinja sua velocidade terminal. A taxa de aceleração diminui com o tempo e a equação de movimento que usamos não se aplica.

Para a altura limitada do nosso experimento, isso nos deu uma estimativa razoável. Mas como a moeda estava viajando um pouco mais devagar do que pensávamos com o passar do tempo, estávamos calculando um valor superestimado da altura.

Então, quão alto nós estávamos na verdade? Bem, eventualmente, o engenheiro do elevador veio e abriu a porta. E descobrimos que estávamos a meio caminho entre o quarto e o quinto andar. Supondo que a altura de cada andar do prédio fosse de cerca de 4.3 metros e houvesse talvez um poço de um metro abaixo do elevador, isso teria colocado a base do elevador a pouco mais de 20 metros acima do solo. Os erros nas nossas medições e os cálculos que usávamos tinham, felizmente, compensado e nos dado a resposta certa.

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