Video Transcript
Neste vídeo, vamos falar sobre como determinar o volume de um
cilindro. Primeiro, vamos ver prismas e como calcular o volume de um prisma e,
depois. Vamos explicar porque um cilindro é um prisma circular. Por fim, analisaremos alguns exemplos de cilindros e como calcular os
seus volumes.
Antes de falarmos sobre cilindros, vamos pensar em prismas. Um prisma é uma forma 3D com uma secção perpendicular constante. Por exemplo, aqui está um paralelepípedo. Eu assinalei a secção perpendicular com estas linhas azuis aqui. E se eu cortasse este prisma em qualquer ponto — este paralelepípedo em
qualquer ponto; então, digamos assim, aqui — olha para a fatia que
obtenho, eu tenho exatamente esta mesma secção perpendicular.
Aqui está outro exemplo de um prisma — um prisma em forma de estrela. Esta seção perpendicular que é uma forma de estrela é a mesma em todo o
comprimento do prisma. E aqui está um prisma circular. Esta forma circular é a mesma em todo o
comprimento do prisma. Na verdade, este prisma circular tem o nome especial de cilindro.
Agora, antes de irmos longe demais a pensar em volumes, vamos falar sobre
um cubo com cada lado com comprimento de uma unidade. A área da secção perpendicular deste cubo será uma unidade por uma
unidade, que é uma unidade ao quadrado. Agora podemos calcular o volume ao multiplicar a área da seção
perpendicular pelo comprimento ou, neste caso, pela altura do
prisma. Então, isto será um vezes um, que é igual a um. E porque é o volume, são unidades cúbicas.
Agora, se retirarmos um cubo de uma unidade cúbica e empilharmo-lo em
cima de outro idêntico, teremos duas unidades cúbicas. Agora, um terceiro faz três unidades cúbicas. E um quarto produz quatro
unidades cúbicas, e assim por diante. Mas e se nós começássemos com duas dessas unidades cúbicas uma ao lado da
outra? De cada vez que adicionarmos uma camada extra, adicionamos mais duas
unidades cúbicas. Assim, três camadas dar-nos-á seis unidades cúbicas. E quatro camadas
dar-nos-á oito unidades cúbicas. Então, a ideia geral é que, para o volume, consideras a área da seção
perpendicular como tínhamos aqui e multiplicamo-la pelo número de
camadas ou o comprimento ou a altura deste prisma.
Agora, como dissemos antes, um cilindro é apenas um prisma com uma área
perpendicular circular. Então, novamente, para calcular o volume, apenas tratamos a área da seção
perpendicular e multiplicamo-la pela altura. Quanto mais alto for, maior o volume. Agora lembra-te que calcular a área de um círculo é 𝜋 vezes o quadrado
do raio. Então, se designarmos o nosso raio por 𝑟, a área é igual a 𝜋 vezes 𝑟
ao quadrado. E se designar a altura do meu cilindro ou o comprimento do meu cilindro
por ℎ, porque o volume é igual à área da seção perpendicular vezes a
altura, podemos dizer que o volume é 𝜋𝑟 ao quadrado vezes ℎ. E este é o resultado que utilizaremos nos nossos exemplos no resto deste
vídeo.
Por exemplo, determina o volume do cilindro arredondado às décimas. E o círculo na extremidade do nosso cilindro tem um raio de quatro ponto
dois pés. E o cilindro tem uma altura de seis ponto cinco pés.
Então, vamos marcar 𝑟, o raio, igual a quatro ponto dois e ℎ, a altura,
igual a seis ponto cinco. Portanto, a nossa abordagem será que o volume seja igual à área da seção
perpendicular vezes a altura. E como a área da secção perpendicular é um círculo, a área será 𝜋 vezes
o raio ao quadrado. Então, é 𝜋 vezes quatro ponto dois ao quadrado. Agora é importante lembrar que é apenas o quatro ponto dois que está ao
quadrado e não 𝜋. Então, isto vai ser 𝜋 vezes dezassete ponto seis quatro, o que nos dá
uma área de cinquenta e cinco ponto quatro um sete seis nove quatro
quatro um, e assim por diante, pés quadrados.
Mas, para calcular o volume, lembra-te de que também precisamos de
multiplicar pela altura. Então vamos adicionar isto ao nosso cálculo. E cinquenta e cinco ponto quatro um sete seis nove quatro quatro um vezes
seis ponto cinco dá trezentos e sessenta ponto dois um cinco o um
três sete, e assim por diante, em pés cúbicos. Mas a questão pediu-nos para arredondar a nossa resposta às décimas. Então, vou tapar tudo depois da casa das décimas e, em seguida, vou dar
uma olhadela no algarismo que lhe segue para ver se preciso de
aproximar por excesso ou não. Bem, o algarismo seguinte é apenas um. E se fosse cinco ou mais, então seria arredondado o dois para um
três. Mas não é o caso; é só um. Então vamos mantê-lo um dois. Portanto, a nossa resposta arredondada às décimas é trezentos e sessenta
e dois pés cúbicos.
Agora, vamos ver um exemplo semelhante. Mas desta vez dão-nos o diâmetro do cilindro em vez do raio.
Lembra-te que o raio é metade do diâmetro. Então, para calcular o raio, precisamos apenas de dividir catorze por
dois ou multiplicá-lo por um meio. E isso dá-nos sete polegadas. E a fórmula para o nosso volume é 𝑉 igual a 𝜋𝑟 ao quadrado ℎ. E assim, substituindo os números pelo raio de sete polegadas e a altura
de treze polegadas, temos 𝜋 vezes sete vezes ao quadrado vezes
treze. Novamente, é importante lembrar que apenas o sete está ao quadrado e não
o 𝜋. Então, é 𝜋 vezes quarenta e nove vezes treze. E quando colocamos isso na nossa calculadora e arredondamos às décimas,
obtemos dois mil e um ponto e dois polegadas cúbicas.
Neste exemplo, pedem-nos que determinemos o volume de um cilindro com um
raio de quatro centímetros e uma altura de catorze centímetros. Também nos disseram que temos que deixar a resposta em termos de 𝜋.
Agora, há algumas coisas aqui. Um, não nos deram um esquema e dois, temos
que deixar a nossa resposta em termos de 𝜋. Portanto, não se trata apenas de digitar o número numa calculadora e
fazer um arredondamento qualquer. Bem, não precisas necessariamente de um esquema, mas muitas vezes
desenhar um ajuda a organizar os teus pensamentos sobre uma
questão. Portanto, eu recomendo efetivamente fazer um esboço rápido. Aqui está o nosso cilindro. Tem uma altura de catorze centímetros e um
raio de quatro centímetros.
Em seguida, podemos escrever a fórmula para o volume. O volume de um
cilindro é 𝜋 vezes o raio ao quadrado vezes a sua altura. E podemos substituir pelos números que nos foram dados, então 𝜋 é igual
a quatro ao quadrado vezes catorze, que é 𝜋 vezes dezasseis vezes
catorze. E dezasseis vezes catorze é duzentos e vinte e quatro. Então, a nossa resposta é duzentos e vinte e quatro vezes 𝜋. Agora, na questão, ambas as medidas foram dadas em centímetros. Assim, o volume será em centímetros cúbicos. E aqui está. Esta é a nossa resposta. Duzentos e vinte e quatro 𝜋
centímetros cúbicos. Então, quando a questão nos diz para deixar a resposta em termos de 𝜋,
significa escrevê-la como um múltiplo de 𝜋.
Agora, podemos tornar as coisas um pouco mais difíceis ao transformar
estas coisas em problemas contextualizados e com histórias. Em vez de apenas dizer explicitamente que temos um cilindro e dizer qual
é o raio e a altura e apenas fazer o cálculo, precisas de descobrir
o significado das diferentes variáveis no contexto da questão.
Então, vamos ver isso em alguns exemplos como este.
Dado que aproximadamente sete ponto cinco galões de água podem encher um
pé cúbico, sobre quantos galões inteiros de água caberiam num tanque
de água cilíndrico com diâmetro de vinte pés e altura de doze pés,
se estivesse cheio?
Ok, primeiro vamos fazer um pequeno esquema. Aqui temos o nosso tanque cilíndrico completamente cheio de água,
profundidade ou altura de doze pés e diâmetro de vinte pés. Então, primeiro podemos escrever que o volume é igual a 𝜋 vezes o raio
ao quadrado vezes a altura. Agora, podemos substituir pelos números que conhecemos. Bem, o raio é metade do diâmetro, então metade dos vinte é dez. Então, o raio ao quadrado será dez ao quadrado. E é importante lembrar que é apenas dez que está ao quadrado e não
𝜋. E a altura é doze, então temos que multiplicar este resultado por
doze.
Portanto, este cálculo é 𝜋 vezes dez ao quadrado, que é cem vezes doze
vezes, portanto 𝜋 vezes mil duzentos ou mil e duzentos 𝜋 pés
cúbicos. Por enquanto, deixarei a minha resposta em termos de 𝜋 para máxima
precisão. Se eu começasse a arredondar já a algumas casas decimais, eu carregaria
este erro de arredondamento ao longo dos meus cálculos, e minha resposta final poderia ficar incorreta. Agora calculamos o volume do tanque em pés cúbicos, mas a questão pede
quantos galões de água estariam no tanque de água cilíndrico.
Cada pé cúbico contém sete ponto cinco galões de água. Portanto, se houver mil e duzentos 𝜋 pés cúbicos, haverá sete ponto
cinco vezes mais galões de água. Então, o cálculo que precisamos de fazer para calcular o número de galões
é sete ponto cinco vezes mil e duzentos 𝜋, que posso fazer na minha
calculadora. Agora, estará tudo bem em arredondar no final da questão. A pergunta é sobre quantos galões inteiros, então preciso de arredondar
às unidades do galão. Então, olhando para este número aqui, será vinte e oito mil duzentos e
setenta e quatro. Assim, podemos escrever a nossa resposta de maneira agradável e
meticulosa no final: vinte e oito mil duzentos e setenta e quatro
galões de água.
Qual tem o maior volume, um cubo cujas arestas têm quatro centímetros de
comprimento ou um cilindro com um raio de três centímetros e uma
altura de oito centímetros?
Então, o que vamos fazer aqui é calcular o volume do cubo e também
calcular o volume do cilindro e depois compará-los. Então, primeiro o cubo, vamos desenhar o nosso esboço: quatro centímetros
por quatro centímetros por quatro centímetros. E o volume vai ser
quatro vezes quatro vezes quatro. E como as unidades de comprimento eram centímetros, o nosso volume será
em centímetros cúbicos. E quatro vezes quatro vezes quatro é sessenta e quatro. Então o volume do
cubo é sessenta e quatro centímetros cúbicos
Agora, um esboço rápido do cilindro. E utiliza a fórmula volume igual a 𝜋
vezes o quadrado do raio vezes a altura. Agora, recordemo-nos que o quadrado só se aplica a três. Não se aplica ao
𝜋. Então temos 𝜋 vezes três vezes ao quadrado vezes oito. E três ao quadrado é nove. Então nove vezes oito é setenta e dois Então temos 𝜋 vezes setenta e dois. Agora, a questão não exige um nível de precisão. Mas eu arredondei a duas casas decimais para me dar duzentos e vinte e
seis ponto e nove centímetros cúbicos.
Então, novamente, as medidas eram em centímetros, o volume é em
centímetros cúbicos e os dois números que temos que comparar estão
nas mesmas unidades — centímetros cúbicos. Agora, podemos compará-los. E duzentos e vinte e seis ponto um nove é claramente muito maior do que
sessenta e quatro, portanto, o cilindro tem o maior volume.
Agora, vamos resumir o que aprendemos. Primeiro, um cilindro é um tipo de prisma com secção perpendicular
circular. Em seguida, para calcular o volume de um prisma, determina a área da
secção perpendicular e multiplica-a pelo comprimento ou às vezes
chamada de altura do prisma. O volume de um cilindro, 𝑉, é igual a 𝜋 vezes o quadrado do raio vezes
a altura.
E uma dica importante, verifica sempre se te deram o diâmetro ou o raio
do cilindro na questão. Isto é realmente importante E, finalmente, ao responder a problemas contextualizados, lê atentamente
a questão para determinar as informações relevantes e verificar as
suas unidades. Considere sempre também desenhar um esquema porque pode ser muito útil
para organizar os teus pensamentos sobre o problema.
