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Propriedades dos Determinantes
Neste vídeo, aprenderemos como identificar diferentes propriedades dos determinantes e como usar essas propriedades dos determinantes para simplificar problemas. Antes de começarmos a listar as propriedades dos determinantes, podemos nos lembrar de que já conhecemos vários métodos diferentes de cálculo do determinante de diferentes matrizes.
Por exemplo, sabemos que podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada adicionando e subtraindo os produtos das diagonais. Ou, alternativamente, podemos calcular o determinante de uma matriz expandindo sobre a primeira linha. Na verdade, também podemos mostrar que podemos expandir sobre qualquer linha ou coluna da matriz. Ainda obteremos o mesmo valor para o determinante. O que isso significa é que podemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz para expandir e calcular seu determinante; podemos escolher a linha ou coluna mais fácil. Podemos usar esse resultado para provar uma propriedade muito útil dos determinantes.
Se tivéssemos uma matriz quadrada com uma linha ou coluna inteira preenchida com zeros, poderíamos calcular o determinante dessa matriz expandindo sobre a linha ou coluna zero. Nesse cálculo, todo termo teria um fator zero. Então poderíamos mostrar que o determinante dessa matriz é zero. E vale a pena reiterar aqui que só podemos calcular o determinante de matrizes quadradas. Então, quando estamos falando sobre as propriedades dos determinantes, assumimos que todas as nossas matrizes são quadradas. Caso contrário, não poderíamos calcular o determinante dessa matriz.
Outra propriedade útil que podemos mostrar é que a transposição de uma matriz não afeta seu determinante. Em outras palavras, para qualquer matriz quadrada 𝐴, o determinante de 𝐴 transposta é igual ao determinante de 𝐴, onde lembramos para tomar a transposição de uma matriz, escrevemos as linhas da matriz como as colunas correspondentes de nossa nova matriz. E antes de continuarmos, vale a pena ressaltar aqui que podemos provar todas as propriedades do determinante mostradas neste vídeo. A maioria das provas das propriedades envolverá apenas o uso da definição de um determinante e a verificação de que o lado esquerdo da equação e o lado direito da equação são iguais. No entanto, como veremos, há muitas propriedades do determinante para provar neste vídeo.
E antes de passarmos para a próxima propriedade, há uma coisa útil. Podemos usar os resultados sobre o determinante de uma matriz ser igual ao determinante de sua transposição. Se quiséssemos provar uma de nossas propriedades anteriores envolvendo linhas e colunas de uma matriz, já sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. E as linhas da matriz 𝐴 são as colunas da matriz 𝐴 transposta. Portanto, precisaríamos apenas provar essa propriedade para linhas e, em seguida, usar a propriedade transposta para prová-la para colunas.
A próxima propriedade que podemos mostrar é que se todas as entradas em uma única linha ou coluna de uma matriz compartilham um fator comum, então podemos tirar esse fator compartilhado fora do determinante. E podemos ver um exemplo disso. Considere o determinante da matriz dois por dois, dois, um, cinco, 10. Nesta matriz, podemos ver que a segunda linha tem um fator compartilhado de cinco. Nossas propriedades determinantes nos dizem que podemos considerar o fator compartilhado de cinco fora do cálculo do determinante. É igual a cinco vezes o determinante da matriz dois por dois, dois, um, um, dois. E poderíamos calcular ambos os lados dessa equação separadamente.
Em nossa primeira matriz, pegamos a diferença nos produtos da diagonal. Isso é duas vezes 10 menos cinco vezes um, o que é igual a 15. E faríamos o mesmo em nossa segunda matriz. Nós pegamos a diferença nos produtos das diagonais. Isso é duas vezes dois menos um vezes um, que é igual a três. Então, multiplicamos isso por um fator de cinco para ver que o lado direito da equação também é 15.
Outra propriedade útil que podemos mostrar é se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna repetida, então seu determinante será igual a zero. E esse resultado pode ser particularmente útil para encontrar os determinantes de grandes matrizes. Devemos sempre verificar se há uma linha ou coluna repetida em alguma matriz para que possamos determinar que seu determinante é zero.
A próxima propriedade útil que podemos mostrar é se mudarmos quaisquer duas linhas ou colunas de nossa matriz, então isso mudará o sinal do determinante dessa matriz. Para ver um exemplo disso, eu trocaria as duas colunas em nossa matriz dois por dois, dois, um, cinco, 10. Trocando a primeira coluna, a segunda coluna nos dá a matriz dois por dois, um, dois, 10, cinco. E nós temos notação para isso: 𝑐 sub um é a primeira coluna da matriz e 𝑐 sub dois é a segunda coluna da matriz. Usamos uma seta dupla para mostrar que estamos trocando as duas colunas. Se calcularmos o determinante dessa matriz, obtemos um multiplicado por cinco menos 10 multiplicado por dois, que podemos calcular como menos 15, o negativo da matriz original. Então, mudar duas linhas ou colunas de nossa matriz mudará o sinal de nosso determinante.
Outra propriedade que podemos mostrar sobre os determinantes é que podemos adicionar ou subtrair múltiplos escalares das linhas ou colunas da matriz para outras linhas ou colunas da matriz sem afetar o determinante. E para nos ajudar a ver o que isso significa, vamos dar uma olhada em um exemplo. Se quiséssemos calcular o determinante da matriz dois por dois, um, três, zero, dois, poderíamos fazer isso diretamente ou poderíamos reescrever nossa matriz usando essa propriedade. Podemos substituir a segunda coluna dessa matriz subtraindo três vezes a primeira coluna dessa matriz. E lembre-se, nossa propriedade garante que isso não afetará o valor do determinante. Podemos escrever isso como 𝑐 dois está sendo substituído por 𝑐 dois menos três 𝑐 um. Subtraindo três vezes a primeira coluna da segunda coluna, obtemos zero, dois.
Portanto, o determinante da matriz dois por dois um, três, zero, dois é igual ao determinante da matriz dois por dois, um, zero, zero, dois. Essa propriedade é particularmente útil para nos ajudar a simplificar os determinantes de matrizes de ordem três por três e superior.
Existem muito mais propriedades de determinantes que podemos mostrar. Então, vamos limpar algum espaço e ver mais algumas dessas propriedades. Nossa próxima propriedade que podemos mostrar é que, se multiplicarmos todas as entradas de uma linha ou coluna pelos cofatores correspondentes de uma linha ou coluna diferente, a soma desses valores será zero. Essa é uma propriedade bastante complicada, então é muito mais fácil ver o que isso significa em um exemplo. Vamos começar aplicando essa propriedade à matriz três por três, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove. E vamos usar a primeira linha dessa matriz, mas lembre-se, podemos usar qualquer linha ou coluna dessa matriz.
Agora queremos multiplicar todas as entradas dessa linha da matriz pelos cofatores correspondentes de outra linha dessa matriz. Então, quando somarmos esses valores, devemos obter zero. Vamos multiplicar essas entradas pelos cofatores correspondentes da terceira linha da matriz; essa é a linha sete, oito, nove. Vamos começar encontrando a matriz menor que obtemos da entrada sete em nossa matriz. Esse é o determinante da matriz dois por dois que obtemos removendo a primeira coluna e a terceira linha da matriz. Essa é a matriz dois por dois, dois, três, cinco, seis. Lembre-se, precisamos verificar a paridade da soma dos números da linha e da coluna dessa entrada, e está na primeira coluna e na terceira linha. Isso dá quatro, que é par. Então, isso será um menor positivo.
Finalmente, em nossa propriedade, estamos multiplicando isso pela entrada correspondente na primeira linha. Então, nós multiplicamos isso por um. Podemos fazer exatamente o mesmo para a próxima entrada nesta linha. A matriz menor dessa entrada será o determinante da matriz dois por dois, um, três, quatro, seis. Precisamos pegar o negativo desse valor. E, finalmente, precisamos multiplicar isso pela entrada correspondente na primeira linha; são dois.
Em seguida, fazemos exatamente o mesmo para a terceira entrada nesta linha. Obtemos três vezes o determinante da matriz dois por dois, um, dois, quatro, cinco. E nossa propriedade de matriz garante que essa soma deve ser igual a zero. Podemos calcular isso para verificar se isso é verdade neste caso. E há outra maneira ligeiramente diferente de pensar sobre essa propriedade. Poderíamos dizer que estamos calculando o determinante dessa matriz expandindo sobre a terceira linha da matriz. No entanto, estamos usando os coeficientes da primeira linha.
Outra propriedade útil dos determinantes que podemos mostrar é que os determinantes de qualquer matriz triangular quadrada serão iguais aos produtos de todas as suas entradas em sua diagonal principal. E há algumas coisas que valem a pena apontar aqui. Primeiro, isso funciona para matrizes triangulares superiores e inferiores. Da mesma forma, como as matrizes diagonais são matrizes triangulares superiores e inferiores, essa propriedade também funcionará para matrizes diagonais. Finalmente, se alguma das entradas na diagonal principal de nossa matriz triangular for zero, esse produto terá um fator igual a zero. Então, seu determinante é zero e, portanto, não é invertível. Vamos ver o uso dessa propriedade em um exemplo.
Digamos que queremos calcular o determinante da matriz três por três, um, dois, três, zero, quatro, cinco, zero, zero, seis. Podemos ver que estamos calculando o determinante de uma matriz triangular superior porque todas as entradas abaixo da diagonal inicial são zero. E, portanto, nossa propriedade nos diz que podemos calcular o determinante dessa matriz calculando apenas os produtos das diagonais principais. Isso é um vezes quatro vezes seis, o que equivale a 24.
A próxima propriedade que vamos discutir é verdadeira para uma matriz quadrada de qualquer ordem e é verdadeira para qualquer linha ou coluna dessa matriz. No entanto, se quiséssemos incluir todas essas possibilidades em nossa declaração, a própria declaração se tornaria muito complicada. Então, vamos apenas declarar essa propriedade para a primeira linha de uma matriz três por três. No entanto, isso vale para qualquer linha, coluna e matriz quadrada de qualquer tamanho.
O determinante de qualquer matriz quadrada em que uma das linhas ou colunas é escrita como uma soma pode ser dividido da seguinte maneira. É igual à soma dos determinantes das duas matrizes a seguir. E a única diferença entre essas duas matrizes é que dividimos a linha ou coluna sobre a qual tivemos uma soma em nossa matriz original. A primeira matriz pegou o primeiro termo em cada uma dessas somas e a segunda matriz pegou o segundo termo em cada uma dessas somas.
E, finalmente, vale a pena reiterar, embora a afirmação que escrevemos seja escrita apenas para a primeira linha de uma matriz três por três, a afirmação vale para qualquer matriz quadrada e funciona para qualquer linha ou coluna da matriz. A segunda coisa que podemos não notar sobre essa afirmação é que ela também funciona na direção oposta. Em outras palavras, se estamos calculando a soma dos determinantes de duas ou mais matrizes em que a única diferença envolve uma linha ou uma coluna, podemos adicionar essas linhas ou colunas, de modo que só precisamos calcular o determinante de uma matriz.
Existem mais duas propriedades de determinantes que precisamos mostrar. Primeiro, o determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes, onde, é claro, tanto 𝐴 quanto 𝐵 precisam ser matrizes quadradas. Caso contrário, não poderíamos calcular seus determinantes. E podemos realmente usar essa propriedade para mostrar uma propriedade útil final. O determinante de 𝐴 vezes 𝐴 será igual ao determinante de 𝐴 multiplicado pelo determinante de 𝐴. Em outras palavras, o determinante de 𝐴 vezes 𝐴 é igual ao determinante de 𝐴 todos ao quadrado.
Podemos continuar isso para mostrar para qualquer expoente inteiro positivo 𝑛 o determinante da matriz 𝐴 à 𝑛-ésima potência é igual ao determinante da matriz 𝐴 tudo elevado à 𝑛-ésima potência. Vamos agora ver alguns exemplos de como podemos usar essas propriedades de determinantes para simplificar e calcular problemas envolvendo os determinantes de diferentes matrizes.
Encontre o valor do determinante da matriz três por três, quatro, um, menos oito, menos seis, três, seis, zero, zero, zero.
Nesta pergunta, somos solicitados a calcular o determinante de uma matriz três por três. E podemos ser tentados a pular imediatamente e calcular esse determinante expandindo a primeira linha. E isso funcionaria; nós obteríamos a resposta correta. No entanto, sempre que somos solicitados a calcular um determinante, podemos sempre verificar se podemos simplificar esse problema usando propriedades dos determinantes. E neste caso, podemos notar que a terceira linha dessa matriz é toda zeros.
Podemos então lembrar o seguinte fato sobre os determinantes das matrizes. Se todas as entradas de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem zero, seu determinante também será igual a zero. E vale a pena ressaltar, neste caso, isso é exatamente o mesmo que dizer que vamos calcular o determinante de nossa matriz expandindo sobre sua terceira linha, pois então em nosso cálculo do determinante todo termo teria um fator de zero. Então, o determinante dessa matriz ainda seria zero. Em ambos os casos, fomos capazes de mostrar o determinante da matriz três por três, quatro, um, menos oito, menos seis, três, seis, zero, zero, zero é igual a zero porque tem uma linha inteiramente feita de zeros.
Vamos agora ver outro exemplo de cálculo do determinante de uma matriz três por três sem expandir sobre as linhas ou colunas.
Sem expandir, encontre o valor do determinante da matriz três por três, oito, menos três, menos dois, sete, um, menos oito, 24, menos nove, menos seis.
Nesta pergunta, somos solicitados a calcular o determinante de uma matriz três por três. Poderíamos fazer isso expandindo sobre qualquer uma de suas linhas ou colunas. No entanto, a pergunta nos pede explicitamente para fazer isso sem expandir. Existem alguns métodos diferentes que podemos usar para calcular os determinantes usando diferentes propriedades do determinante. Por exemplo, podemos lembrar que podemos adicionar e subtrair múltiplos lineares das linhas e colunas a outras linhas e colunas da matriz. E isso não afetará o determinante dessa matriz.
Poderíamos então usar isso para tentar reescrever nossa matriz como uma matriz triangular superior. Então, o determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas em sua diagonal principal. No entanto, esse é um processo complicado, então devemos sempre verificar se há um método mais fácil primeiro. Podemos começar lembrando que podemos retirar fatores compartilhados entre uma linha ou coluna da matriz. Em particular, podemos notar que a terceira linha desta coluna compartilha um fator de três. Tirando o fator compartilhado de três da linha dá três multiplicado pelo determinante da matriz três por três, oito, menos três, menos dois, sete, um, menos oito, oito, menos três, menos dois.
Nesse ponto, também podemos notar que na terceira coluna dessa matriz cada entrada compartilha um fator de dois ou menos dois. E poderíamos tirar esse fator de nossa matriz exatamente da mesma maneira. No entanto, já podemos calcular o determinante dessa matriz usando uma propriedade diferente. Em vez disso, podemos notar que a primeira linha dessa matriz é igual à sua terceira linha. Podemos então lembrar se uma matriz tem uma linha ou coluna repetida, então seu determinante será igual a zero. Então, como a primeira e a terceira linha dessa matriz se repetem, podemos concluir que seu determinante é zero, dando três vezes zero, que é igual a zero.
E antes de terminarmos com essa pergunta, vale a pena notar que mostramos uma propriedade útil sobre matrizes. Mostramos que se uma das linhas ou colunas dessa matriz é um múltiplo escalar da outra linha ou coluna dessa matriz, então seu determinante é zero. Em ambos os casos, conseguimos mostrar o determinante da matriz três por três, oito, menos três, menos dois, sete, um, menos oito, 24, menos nove, menos seis é igual a zero.
Vamos agora ver um exemplo de combinação de vários determinantes em um determinante.
Calcule o determinante da matriz menos seis, um, um, um mais o determinante da matriz menos cinco, um, um, um mais o determinante da matriz menos quatro, um, um, um. E nós continuamos adicionando determinantes de matrizes desta forma até o determinante da matriz 10, um, um, um.
Nesta pergunta, somos solicitados a calcular uma expressão. E podemos ver nesta expressão que cada termo é o determinante de uma matriz dois por dois. Então, uma maneira de responder a essa pergunta seria apenas calcular todos esses determinantes e adicioná-los. No entanto, podemos simplificar essa expressão primeiro usando as propriedades dos determinantes.
Para fazer isso, precisamos notar algo interessante sobre todas as matrizes que recebemos. Todas essas matrizes têm exatamente a mesma segunda linha. E uma de nossas propriedades de determinantes nos diz como adicionar duas matrizes que possuem apenas uma linha ou coluna que diferem. Lembramos que podemos adicionar os determinantes de duas matrizes que têm todos os mesmos elementos, exceto para a mesma linha ou coluna, combinando-os em uma matriz onde adicionamos as entradas correspondentes na linha ou coluna que difere.
Agora, poderíamos usar essa propriedade para adicionar apenas dois dos determinantes. No entanto, podemos notar, neste caso, que todas as nossas matrizes são da mesma forma. Então, em vez disso, vamos aplicar essa propriedade a todos os termos. Então, para usar essa propriedade nessa soma, primeiro sabemos que a segunda linha dessa matriz será um, um. Em seguida, a entrada na linha um, coluna um de nossa matriz será a soma de todas as entradas na linha um, coluna um de nossos termos. Isso será, é claro, menos seis mais menos cinco. E continuamos adicionando números inteiros dessa forma até 10.
Faríamos então o mesmo para as entradas na linha um, coluna dois. No entanto, podemos ver que todas essas entradas são iguais a um. Então, quando adicionamos isso, obtemos apenas o número de termos. E o número de termos de menos seis a 10 é igual a 17. Portanto, usando as propriedades dos determinantes, fomos capazes de reescrever a soma dos determinantes como um determinante.
Agora, para calcular o determinante dessa matriz dois por dois, precisaremos calcular a soma que temos em sua primeira linha e primeira coluna. E há várias maneiras diferentes de fazer isso. Por exemplo, esta é uma progressão aritmética com o primeiro termo menos seis e a razão um. Poderíamos então usar a fórmula para a soma de uma progressão aritmética finita. No entanto, há uma segunda maneira de fazer isso. Podemos notar que o termo menos seis será cancelado com seis, menos cinco será cancelado com cinco e isso continuará até o menos um cancelando com um. E, claro, adicionar zero não altera seu valor. Então, isso simplifica para dar sete mais oito mais nove mais 10. E se calcularmos isso, vemos que é igual a 34. Portanto, a soma desses determinantes é igual ao determinante da matriz dois por dois 34, 17, um, um.
Finalmente, podemos calcular o determinante dessa matriz encontrando a diferença nos produtos de suas diagonais. Isso é 34 vezes um menos 17 vezes um, o que equivale a 17. Portanto, fomos capazes de calcular a soma desses determinantes usando nossas propriedades de determinantes. Conseguimos mostrar que essa soma era igual a 17.
Vamos agora ver um último exemplo de uso das propriedades dos determinantes para responder a perguntas.
Considere que o determinante da matriz dois por dois, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 é igual a seis. Encontre o valor do determinante da matriz dois por dois, 𝑥 menos 10𝑦, 𝑦, 𝑧 menos 10𝑤, 𝑤.
Nesta pergunta, recebemos o determinante de uma matriz dois por dois e pedimos para determinar o determinante de uma matriz dois por dois diferente. E ambas as matrizes contêm quatro incógnitas, então não podemos calculá-las diretamente. Podemos ser tentados a expandir o determinante em nossa primeira matriz e, em seguida, expandir o determinante em nossa segunda matriz e tentar reescrever essa expressão em termos de nosso primeiro determinante. No entanto, há um método muito mais simples envolvendo as propriedades dos determinantes.
Para fazer isso, precisamos notar algo interessante sobre a segunda matriz que nos é dada. Na primeira entrada da primeira coluna, estamos subtraindo 10𝑦 e na segunda entrada da segunda coluna, estamos subtraindo 10𝑤. Este é um múltiplo escalar da segunda coluna da nossa primeira matriz. Na verdade, estamos subtraindo isso diretamente da primeira coluna desta matriz. Em outras palavras, para gerar a segunda matriz, estamos subtraindo 10 vezes a segunda coluna da primeira coluna de nossa primeira matriz. E podemos lembrar que adicionar e subtrair múltiplos escalares de uma linha ou coluna para uma linha ou coluna diferente não afetará o determinante. Portanto, o determinante da segunda matriz será igual ao determinante da primeira matriz, que nos é dito ser igual a seis.
Vamos agora rever alguns dos principais pontos deste vídeo. Primeiro, mostramos que podemos usar todas as muitas propriedades dos determinantes para simplificar as expressões que envolvem os determinantes. Isso significa que sempre que nos é dada uma expressão envolvendo determinantes ou solicitados a calcular um determinante, devemos sempre verificar se podemos simplificar esse problema usando as propriedades dos determinantes. E existem muitas propriedades dos determinantes, tantas que não podemos listar todas elas nos pontos-chave.
Alguns deles estão considerando que a transposição de uma matriz quadrada não afeta seu determinante. Se todas as entradas em uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem zero, seu determinante será igual a zero. Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou coluna repetida, seu determinante será igual a zero. E o determinante de qualquer matriz triangular será o produto de suas diagonais principais. E, claro, isso também se estende a matrizes diagonais.
