Vídeo: A Lei dos Senos: o Caso Ambíguo

Aprenda sobre o caso ambíguo da lei dos senos e por que isso leva a duas possíveis soluções para outros comprimentos e ângulos em um triângulo não retângulo. Siga um exemplo em um triângulo retângulo e outro em um triângulo não retângulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para o caso ambíguo da lei dos senos. Suponha que você tenha algumas informações sobre um triângulo, como o comprimento de dois de seus lados e o tamanho de um de seus ângulos. O caso ambíguo ocorre quando essas informações não definem um triângulo único, mas, na verdade, é possível desenhar mais de um triângulo usando as informações dadas. Mais especificamente, ocorre quando o ângulo que você recebe não está incluído entre os dois lados.

Então, vamos ver um exemplo para esclarecer o que queremos dizer. Eu tenho aqui um triângulo no qual eu tenho o comprimento de dois lados, cinco centímetros e seis centímetros, e o tamanho de um ângulo. E você verá que esse ângulo não está incluído entre os dois lados, por isso não fica entre os lados de seis centímetros e cinco centímetros. Me pedem para calcular o tamanho do ângulo 𝐴.

Então, vou tentar responder a esse problema usando a lei dos senos, então preciso lembrar o que ela me diz. Lembre-se então que ela me diz que a razão entre cada lado e o seno do seu ângulo oposto é igual. Agora eu escolhi escrevê-lo neste formato aqui onde os senos dos ângulos estão no numerador porque esta questão em particular me pediu para calcular um ângulo, então será um pouco mais simples usar esta versão do que será usar a versão onde os lados estão no numerador.

Então, vou escrever a lei dos senos usando as informações desta questão. Então eu vou ter aquele seno do ângulo 𝐴 sobre seis é igual a seno de cinquenta sobre cinco. Isso me dá uma equação que eu posso resolver para encontrar 𝐴. Então o primeiro passo é multiplicar ambos os lados dessa equação por seis. E ao fazê-lo, eu tenho que seno de 𝐴 é igual a seis seno de cinquenta sobre cinco. Agora, para calcular o ângulo 𝐴, preciso fazer o inverso do seno nos dois lados.

Então eu tenho que 𝐴 é igual a seno inverso de seis seno de cinquenta sobre cinco. Agora vou usar minha calculadora para calcular isso. E quando eu faço isso, me diz que 𝐴 é igual a sessenta e seis ponto oito um sete ou sessenta e sete graus para o grau mais próximo.

Então, brilhante! Fantástico! Terminamos a pergunta, você pode pensar. Mas dê uma olhada no diagrama e dê uma olhada especificamente no ângulo 𝐴. Agora, este diagrama não deve ser deliberadamente enganoso, e o que você percebe é que o ângulo 𝐴 é um ângulo obtuso. Portanto, não há como esse ângulo 𝐴 ser igual a sessenta e sete graus; tem que estar entre noventa e cento e oitenta graus.

Então, o que deu errado? Bem, nada na matemática que fizemos até agora está incorreto. Todos esses passos que seguimos estão perfeitamente bem. É apenas esses passos que não encontraram o ângulo 𝐴 neste triângulo em particular, porque há outro triângulo que podemos desenhar que usaria essa mesma informação.

Se eu estender a base do triângulo nesta direção aqui, e se eu fosse então pegar meu compasso e colocá-lo no ponto 𝐵 e marcar cinco centímetros e depois desenhar um pequeno arco de pontos, você verá que na verdade ele cruza esta linha novamente. E, na verdade, há outro ponto nessa linha de base aqui que ainda está a cinco centímetros de distância de 𝐵, e eu o rotulo como 𝐴 traço.

Então eu tenho dois triângulos que eu tenho triângulo 𝐴𝐵𝐶, o triângulo original, e eu tenho triângulo 𝐴 traço 𝐵𝐶. E ambos os triângulos têm a mesma informação neles. Portanto, em ambos os dois triângulos, é verdade que a medida do ângulo 𝐶 é de cinquenta graus, 𝐵𝐶 tem seis centímetros, e 𝐴𝐵 ou 𝐴 traço 𝐵, dependendo do triângulo que você está falando é igual a cinco centímetros. Portanto, essa coleção de informações não especifica exclusivamente um único triângulo.

O que tudo isso significa, então, é que o ângulo que acabamos de calcular, sessenta e sete graus, na verdade não é o ângulo 𝐴. É o ângulo 𝐴 traço que podemos ver é um ângulo agudo. Então nós temos esse ângulo aqui. No entanto, podemos usar isso para calcular o ângulo 𝐴. Se você olhar para o triângulo formado por 𝐴, 𝐵 e 𝐴 traço, verá que esse é um triângulo isósceles porque tem esses dois lados do mesmo comprimento, ambos com cinco centímetros.

O que significa, então, é que o outro ângulo de base também deve ser igual a sessenta e sete graus. E então podemos descobrir o ângulo 𝐴 que estamos procurando fazendo cento e oitenta menos sessenta e sete, quando você verá esses dois ângulos se alinhando em linha reta.

Assim, subtrair sessenta e sete de cento e oitenta nos dá um valor de cento e treze graus, e esse é então o tamanho do ângulo 𝐴 que estávamos procurando. Isso é ilustrativo de uma propriedade geral da relação seno, que é que, para um ângulo 𝜃 entre zero e cento e oitenta graus, seno de 𝜃 é de fato igual a seno de cento e oitenta menos 𝜃. Essa relação sempre é válida para ângulos suplementares.

Então, nessa questão, aplicamos a lei dos senos corretamente e obtemos uma resposta para o ângulo 𝐴, mas depois vimos que nossa resposta não poderia ser o valor correto dado o contexto do diagrama e o fato de que o ângulo 𝐴 é um ângulo obtuso. Se não tivéssemos recebido o diagrama para fazer referência e, em vez disso, recebemos a lista de informações em verde, então esses dois valores para 𝐴 seriam válidos. Então, 𝐴 poderia ter sessenta e sete graus ou cento e treze graus, e teríamos de fornecer duas respostas possíveis para esse problema.

Esse problema nos diz que 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo em que a medida do ângulo 𝐵 é de cento e dez graus, o lado 𝑏 é dezesseis centímetros e 𝑐, o lado 𝑐, é de doze centímetros. Quantas soluções possíveis existem para os outros comprimentos e ângulos? Agora a inclusão da palavra possível aqui me diz algumas situações que poderiam existir. Pode ser que as informações que eu tenho realmente não descrevem um triângulo e não é possível desenhar um triângulo que preencha esses requisitos.

Ou pode ser que essa informação descreva um triângulo único, caso em que apenas uma solução é possível para os outros comprimentos e ângulos. Também pode ser que este seja um exemplo do caso ambíguo da lei dos senos e, de fato, há duas soluções possíveis para os outros comprimentos e ângulos.

Então, vou começar com um esboço de como o triângulo 𝐴𝐵𝐶 poderia ser. Agora, como eu disse, pode ser que não exista, ou pode ser que haja mais de um triângulo que eu possa desenhar. Mas vou começar com apenas uma ideia. Então o triângulo 𝐴𝐵𝐶 poderia ser assim, e eu coloquei todas as informações relevantes no meu diagrama. Agora vou começar tentando calcular o ângulo 𝐶, e vou usar a lei de senos para isso.

Lembre-se do que a lei dos senos nos diz, que a relação entre o seno de cada ângulo e o lado oposto é constante em todo o triângulo. Então, vou usar as informações que conheço, que é o lado 𝑏 e o ângulo 𝐵 e também o lado 𝑐. E o ângulo 𝐶 estou tentando calcular. Então substituindo esta informação dá então que seno de cento e dez mais de dezesseis é igual a seno de 𝐶 sobre doze. Agora, estou tentando resolver essa equação para calcular o ângulo 𝐶, então multiplicarei ambos os lados por doze.

E eu acabei de trocar a ordem dos dois lados por aqui. Mas isso me diz que seno de 𝐶 é igual a doze seno de cento e dez sobre dezesseis. Para calcular o ângulo 𝐶, preciso usar a função inversa do seno. E isso me diz que o ângulo 𝐶 é igual ao seno inverso de doze seno de cento e dez sobre dezesseis. Agora vou usar minha calculadora para calcular isso.

E fazendo isso, eu entendo que 𝐶 é igual a quarenta e quatro vírgula oito um zero nove ou quarenta e cinco graus quando arredondado para o grau mais próximo. Então isso me diz que há pelo menos uma solução possível para os outros comprimentos e ângulos. Descobri que o ângulo 𝐶 é quarenta e cinco graus, para que eu pudesse calcular o ângulo 𝐴 subtraindo os quarenta e cinco graus e os cento e dez graus de cento e oitenta, que é a soma dos ângulos de um triângulo. E então, consequentemente, eu poderia aplicar a lei dos senos novamente para calcular o tamanho — do lado 𝑎.

Então agora a questão é se existem duas soluções possíveis. Este é um exemplo do caso ambíguo da regra do seno quando há outro valor possível para 𝐶 e, portanto, outro valor possível para 𝐴 e assim por diante? Então, se você se lembrar da maneira como elaboramos o outro valor possível do ângulo, subtraímos isso de cento e oitenta. E se eu fizesse isso, obteria que 𝐶 é igual a cento e trinta e cinco graus.

Agora a questão é se isso é possível. É aceitável que 𝐶 seja igual a cento e trinta e cinco graus? E para determinar se esse é o caso, precisamos olhar para o triângulo original. Nós já sabíamos que o ângulo 𝐵 no triângulo era de cento e dez graus. Isso significa, então, que não é possível que o ângulo 𝐶 seja de cento e trinta e cinco graus, porque, se somarmos os dois, excederá cento e oitenta graus, que é a soma angular de um triângulo.

O que isso significa, então, é que o ângulo 𝐶 deve ser aqueles quarenta e cinco graus que eu originalmente calculei. E, portanto, existe uma solução única para esse problema. Portanto, há apenas uma solução possível para o comprimento dos lados e o tamanho dos ângulos.

Portanto, essa verificação é essencial se você acha que há uma segunda solução possível você deve olhar para os outros ângulos no triângulo e confirmar que ela não excede a soma dos ângulos. Em resumo, vimos que é o caso ambíguo da lei dos senos. Nós vimos como e por que aparece. E vimos como determinar uma segunda solução possível, se existir.

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