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Vídeo da aula: A Lei dos Senos: o Caso Ambíguo Matemática

Aprenda sobre o caso ambíguo da lei dos senos e por que isso leva a duas possíveis soluções para outros comprimentos e ângulos em um triângulo não retângulo. Siga um exemplo em um triângulo retângulo e outro em um triângulo não retângulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para o caso ambíguo da lei dos senos. Suponha que você tenha recebido algumas informações sobre um triângulo, como o comprimento de dois de seus lados e o tamanho de um de seus ângulos. O caso ambíguo ocorre quando essas informações não definem um triângulo único. Mas, na verdade, é possível desenhar mais de um triângulo usando as informações dadas. Mais especificamente, ocorre quando o ângulo que você recebe não está incluído entre os dois lados. Então, vamos ver um exemplo para esclarecer o que queremos dizer.

Eu tenho aqui um triângulo no qual eu tenho o comprimento de dois lados, cinco centímetros e seis centímetros, e o tamanho de um ângulo. E você verá que esse ângulo não está incluído entre os dois lados. Portanto, não fica entre os lados de seis centímetros e cinco centímetros. Me pedem para calcular o tamanho do ângulo 𝐴. Então, vou tentar responder a esse problema usando a lei dos senos. Então, preciso lembrar o que ela me diz. Lembre-se então que ela me diz que a razão entre cada lado e o seno do seu ângulo oposto é igual. Agora eu escolhi escrevê-lo neste formato aqui onde os senos dos ângulos estão no numerador porque esta questão em particular me pediu para calcular um ângulo, então será um pouco mais simples usar esta versão do que será usar a versão em que os lados estão no numerador.

Então, vou escrever a lei dos senos usando as informações desta questão. Então, terei aquele seno do ângulo 𝐴 sobre seis é igual a seno de 50 sobre cinco. Isso me dá uma equação que eu posso resolver a fim de calcular 𝐴. Então, o primeiro passo é multiplicar ambos os lados dessa equação por seis. E ao fazê-lo, eu tenho que seno de 𝐴 é igual a seis seno de 50 sobre cinco. Agora, para calcular o ângulo 𝐴, preciso fazer o inverso do seno nos dois lados. Então eu tenho que 𝐴 é igual a seno inverso de seis seno de 50 sobre cinco. Agora vou usar minha calculadora para calcular isso. E quando eu faço isso, me diz que 𝐴 é igual a 66,817 ou 67 graus para o grau mais próximo.

Então, brilhante! Fantástico! Terminamos a pergunta, você pode pensar. Mas dê uma olhada no diagrama e dê uma olhada especificamente no ângulo 𝐴. Agora, este diagrama não deve ser deliberadamente enganoso. E o que você percebe é que o ângulo 𝐴 é um ângulo obtuso. Portanto, não há como esse ângulo 𝐴 ser igual a 67 graus. Tem que estar entre 90 e 180 graus. Então, o que deu errado? Bem, nada na matemática que fizemos até agora está incorreto. Todos esses passos que seguimos estão perfeitamente bem. É apenas esses passos que não encontraram o ângulo 𝐴 neste triângulo em particular, porque há outro triângulo que podemos desenhar que usaria essa mesma informação.

Se eu estender a base do triângulo nesta direção aqui, e se eu fosse então pegar meu compasso e colocá-lo no ponto 𝐵 e marcar cinco centímetros e depois desenhar um pequeno arco de pontos, você verá que na verdade ele cruza esta linha novamente. E, na verdade, há outro ponto nessa linha de base aqui que ainda está a cinco centímetros de distância de 𝐵. E eu o rotulo como 𝐴 traço. Então eu tenho dois triângulos que eu tenho triângulo 𝐴𝐵𝐶, o triângulo original, e eu tenho triângulo 𝐴 traço 𝐵𝐶. E ambos os triângulos têm a mesma informação neles. Portanto, em ambos os triângulos, é verdade que a medida do ângulo 𝐶 é de 50 graus, 𝐵𝐶 tem seis centímetros, e 𝐴𝐵 ou 𝐴 traço 𝐵, dependendo do triângulo que você está falando - é igual a cinco centímetros. Portanto, essa coleção de informações não especifica exclusivamente um único triângulo.

O que tudo isso significa, então, é que o ângulo que acabamos de calcular, 67 graus, na verdade não é o ângulo 𝐴. É o ângulo 𝐴 traço que podemos ver é um ângulo agudo. Então nós temos esse ângulo aqui. No entanto, podemos usar isso para calcular o ângulo 𝐴. Se você olhar para o triângulo formado por 𝐴, 𝐵 e 𝐴 traço, verá que esse é um triângulo isósceles porque tem esses dois lados do mesmo comprimento, ambos com cinco centímetros. O que significa, então, é que o outro ângulo de base também deve ser igual a 67 graus. E então podemos calcular o ângulo que estamos procurando fazendo 180 menos 67, pois você verá esses dois ângulos se alinhando em linha reta. Assim, subtrair 67 de 180 nos dá um valor de 113 graus. E esse é então o tamanho do ângulo 𝐴 que estávamos procurando.

Isso é ilustrativo de uma propriedade geral da relação seno, que é para um ângulo 𝜃 entre zero e 180 graus, seno de 𝜃 é de fato igual a seno de 180 menos 𝜃. Essa relação sempre é válida para ângulos suplementares. Então, nessa questão, aplicamos a lei dos senos corretamente e obtivemos uma resposta para o ângulo 𝐴. Mas depois vimos que nossa resposta não poderia ser o valor correto dado o contexto do diagrama e o fato de que o ângulo 𝐴 é um ângulo obtuso. Se não tivéssemos recebido o diagrama para fazer referência e, em vez disso, tivéssemos apenas recebido a lista de informações em verde, então esses dois valores para 𝐴 seriam válidos. Portanto, 𝐴 pode ser 67 graus ou 113 graus. E teríamos de fornecer duas respostas possíveis para esse problema.

Esse problema nos diz que 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo em que a medida do ângulo 𝐵 é de 110 graus, o lado 𝑏 é 16 centímetros e 𝑐, o lado 𝑐, é de 12 centímetros. Quantas soluções possíveis existem para os outros comprimentos e ângulos?

Agora a inclusão da palavra “possível” aqui me diz que existem algumas situações que poderiam existir. Pode ser que as informações que eu tenho realmente não descrevam um triângulo e não seja possível desenhar um triângulo que preencha esses requisitos. Ou pode ser que essa informação descreva um triângulo único, caso em que há apenas uma solução possível para os outros comprimentos e ângulos. Também pode ser que este seja um exemplo do caso ambíguo da lei dos senos e, de fato, há duas soluções possíveis para os outros comprimentos e ângulos.

Vou começar com um esboço de como o triângulo 𝐴𝐵𝐶 poderia ser. Agora, como eu disse, pode ser que não exista, ou pode ser que haja mais de um triângulo que eu possa desenhar. Mas vou começar com apenas uma ideia. Então o triângulo 𝐴𝐵𝐶 poderia ser assim. E eu coloquei todas as informações relevantes no meu diagrama. Agora vou começar tentando calcular o ângulo 𝐶. E vou usar a lei de senos para isso. Lembre-se do que a lei dos senos nos diz, que a relação entre o seno de cada ângulo e o lado oposto é constante em todo o triângulo. Então, vou usar as informações que conheço, que é o lado 𝑏 e o ângulo 𝐵 e também o lado 𝑐. E é o ângulo 𝐶 que estou tentando calcular.

Então substituindo esta informação dá então que seno de 110 sobre 16 é igual a seno de 𝐶 sobre 12. Agora, estou tentando resolver essa equação para calcular o ângulo 𝐶. Vou multiplicar ambos os lados por 12. E acabei de trocar a ordem dos dois lados por aqui. Mas isso me diz que seno de 𝐶 é igual a 12 seno de 110 sobre 16. Para calcular o ângulo 𝐶, preciso usar a função inversa do seno. E isso me diz que o ângulo 𝐶 é igual ao seno inverso de 12 seno de 110 sobre 16. Agora vou usar minha calculadora para calcular isso. E fazendo isso, obtenho que 𝐶 é igual a 44,8109 ou 45 graus quando arredondado para o grau mais próximo.

Então isso me diz que há pelo menos uma solução possível para os outros comprimentos e ângulos. Descobri que o ângulo 𝐶 é 45 graus. Então, eu poderia calcular o ângulo 𝐴 subtraindo os 45 graus e os 110 graus de 180, que é a soma dos ângulos do triângulo. E então, consequentemente, eu poderia aplicar a lei dos senos novamente para calcular o tamanho do lado 𝑎. Então agora a questão é: existem realmente duas soluções possíveis. Este é um exemplo do caso ambíguo da lei do seno quando há outro valor possível para 𝐶 e, portanto, outro valor possível para 𝐴 e assim por diante?

Então, se você se lembrar da maneira como calculamos o outro valor possível do ângulo, subtraímos isso de 180. E se eu fizesse isso, obteria que 𝐶 é igual a 135 graus. Agora a questão é: isso é possível? É aceitável que 𝐶 seja igual a 135 graus? E para determinar se esse é o caso, precisamos olhar para o triângulo original. Já sabíamos que o ângulo 𝐵 no triângulo era de 110 graus. Isso significa, então, que não é possível que o ângulo 𝐶 seja de 135 graus, porque, se somarmos os dois, excederia 180 graus, que é a soma angular de um triângulo. O que isso significa, então, é que o ângulo 𝐶 deve ser aqueles 45 graus que eu originalmente calculei. E, portanto, existe uma solução única para esse problema. Portanto, há apenas uma solução possível para os comprimentos dos lados e o tamanho dos ângulos. Portanto, essa verificação é essencial. Se você acha que há uma segunda solução possível, você deve olhar para os outros ângulos do triângulo e confirmar que ele não excede a soma dos ângulos.

Em resumo, vimos qual é o caso ambíguo da lei dos senos. Nós vimos como e por que aparece. E vimos como determinar uma segunda solução possível, se existir.

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