Vídeo da aula: Resolvendo Sistemas de Equações Utilizando um Gráfico Matemática

Utilizando uma série de exemplos que envolvem combinações de equações lineares e não lineares, falaremos do processo de identificação de pontos de interseção e de leitura da correspondente coordenada em 𝑥 para resolver um sistema de equações graficamente.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como resolver sistemas de equações utilizando um gráfico.

Este método tem tudo a ver com desenhar gráficos. Ou talvez, tenha os gráficos na questão; portanto, às vezes é necessário desenhar as curvas e desenhar as retas. E está à procura dos pontos nos quais estas se intersetam, ou seja, onde a reta interseta a curva. E, em seguida, olhando para os pontos, olhando para a coordenada em 𝑥, olhando para a coordenada em 𝑦; estas são as suas soluções. OK. Vamos avançar e dar uma olhadela nalguns exemplos.

OK.

Portanto, no primeiro exemplo, utilize os gráficos para resolver o sistema de equações, 𝑦 igual a dois 𝑥 mais três e 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três. E foi-nos dado um par de eixos e temos os dois gráficos já representados ali para nós. Portanto, esta curva vermelha é 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três, e a reta azul é 𝑦 igual a dois 𝑥 mais três.

Portanto, quando estamos a resolver sistemas de equações, o que estamos a tentar fazer é encontrar os pontos em que estas duas equações são verdadeiras simultaneamente. Isso significa que, se eu colocar uma coordenada em 𝑥 particular específica numa destas equações, obterá a mesma coordenada em 𝑦, seja na primeira ou na segunda equação. Então, o que está a dizer basicamente é que leia as coordenadas em 𝑥 e 𝑦 de cada ponto em que estes dois gráficos se intersetam. Portanto, o primeiro ponto está aqui, e as coordenadas deste ponto são zero, três. Então, isto significa que a coordenada em 𝑥 é zero e a coordenada em 𝑦 é três. Então, esta é a nossa primeira solução. 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é igual a três.

Então, vamos chamar as nossas equações número um e número dois, e vamos apenas verificar esta resposta. Portanto, tomando a primeira equação e inserindo o valor zero em 𝑥, temos 𝑦 igual a duas vezes zero mais três. E duas vezes zero é zero, e zero mais três é três. Então, sim, quando inserimos zero nesta primeira equação, obtemos uma resposta de três. Vamos tentar a mesma coisa na segunda equação. Substituindo o valor de zero em 𝑥, dá-nos 𝑦 igual a zero ao quadrado menos quatro vezes zero mais três. Então, isso é zero menos zero mais três, que é três. Então, sim, quando coloco 𝑥 na segunda equação, obtenho uma resposta de 𝑦 igual a três.

Agora não se espera que faça isto quando estiver a resolver as questões. Deve apenas ler as coordenadas e apresentá-las da maneira certa. Mas estou a passar por estas verificações, apenas para demonstrar como as coisas estão a funcionar neste exemplo. E o nosso segundo ponto de interseção é este aqui. E as coordenadas deste ponto são seis, quinze. Portanto, a coordenada em 𝑥 é seis e a coordenada em 𝑦 é quinze. E o que está a dizer é que, se eu colocar um valor de 𝑥 de seis em qualquer uma destas equações, obterei uma resposta de quinze em 𝑦. Então, vamos verificar isso.

Ora, na primeira equação, 𝑦 será duas vezes seis mais três. Então é doze mais três, que é quinze. Então sim, funciona. E na segunda equação, estamos a fazer 𝑦 é seis ao quadrado menos quatro vezes seis mais três. Portanto, isso significa que trinta e seis menos vinte e quatro mais três, que é de facto quinze. Então sim, parece que são as respostas certas. Então, esta foi a nossa resposta. Se quiséssemos ser um pouco mais cuidadosos, quereríamos ter a certeza de que fica claro que valor de 𝑥 combina com que valor de 𝑦. Portanto, quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é igual a três e quando 𝑥 é igual a seis, 𝑦 é igual a quinze.

Na questão dois, utilizando os gráficos, resolva as equações simultâneas 𝑦 igual a dois 𝑥 mais três e 𝑦 é igual a um meio 𝑥 ao cudo menos dois 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três. E, novamente, temos estes gráficos. Portanto, não temos nenhum esboço gráfico para fazer. Isso é bom! Então, estamos à procura dos pontos em que os gráficos se intersetam. E neste caso, temos três pontos. O primeiro deles tem uma coordenada em 𝑥 de menos dois, ou dois negativo, e uma coordenada em 𝑦 de menos um. O segundo tem uma coordenada em 𝑥 de zero e uma coordenada em 𝑦 de três. E o terceiro tem uma coordenada em 𝑥 de seis e uma coordenada em 𝑦 de quinze. Portanto, a nossa resposta são estes três pontos. Quando 𝑥 é menos dois, 𝑦 é menos um. Quando 𝑥 é zero, 𝑦 é três. E quando 𝑥 é seis, 𝑦 é quinze. E, se quiséssemos verificar a nossa resposta, poderíamos substituir estes valores de 𝑥 na equação um e na equação dois aqui e depois verificar se obtivemos o mesmo valor de 𝑦 em cada equação para o mesmo valor 𝑥.

E para o número três, utilizando os gráficos, resolva o sistema de equações 𝑦 igual a um meio 𝑥 menos dois, que esta é a reta vermelha, e 𝑥 menos três ao quadrado mais 𝑦 menos dois ao quadrado igual a vinte e cinco. Portanto, neste caso, temos a equação de uma circunferência.

Agora, se souber alguma coisa sobre a equação de uma circunferência, que não precisa, para responder a esta questão, saberá que a coordenada em 𝑥 do centro é três, a coordenada em 𝑦 do centro é dois, e o raio é a raiz quadrada de vinte e cinco, então é cinco, o que é muito interessante, mas na verdade não é relevante para a questão. Então, temos que resolver o sistema de equações. Onde estes dois gráficos se intersetam? Bem, aqui onde a coordenada em 𝑥 é zero e a coordenada em 𝑦 é menos dois, e aqui onde a coordenada em 𝑥 é oito e a coordenada em 𝑦 é dois. Então, temos duas soluções aqui: Quando 𝑥 é zero, 𝑦 é negativo 2 e quando 𝑥 é oito, 𝑦 é dois.

Então, se eu colocasse o valor de 𝑥 de zero em qualquer uma destas equações e calculasse a coordenada em 𝑦 correspondente, seria menos dois para cada equação. E se eu colocasse oito em cada uma destas equações, também obteria uma resposta de 𝑦 igual a dois em ambas as equações.

E para o nosso último exemplo, novamente, precisamos de utilizar os gráficos para resolver este sistema de equações.

Desta vez, temos a curva 𝑦 igual 𝑥 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais dois, então é um gráfico de uma função cúbica. E a azul, a reta, é 𝑦 igual a menos um meio 𝑥 mais um.

Então, o que queremos dizer com sistema de equações é que estamos à procura de pares de coordenadas 𝑥 e 𝑦 que funcionarão da mesma maneira em qualquer uma das equações. Então, onde estes gráficos se intersetam, temos três pontos aqui, aqui e aqui. Então, existem três soluções para isso. E precisamos de calcular as coordenadas em 𝑥 e 𝑦 de cada uma. Agora, nesse caso, não parecem alinhar-se perfeitamente com números inteiros exatos. Portanto, a nossa vida é um pouco mais complicada, por isso temos que pensar com muito cuidado sobre o que estas soluções podem ser. Portanto, para o primeiro ponto à esquerda, parece que a coordenada em 𝑥 está à esquerda de menos um, e há cinco traços entre cada um dos nossos números no eixo O𝑥. Portanto, cada um destes é zero ponto dois. Então, isto parece estar entre menos um ponto zero e menos um ponto dois. Então, digamos que seja menos um ponto um. E a coordenada em 𝑦 parece ser a terceira marca após um, então parece que vai ser um ponto seis.

E para a nossa segunda solução aqui, parece que a coordenada em 𝑥 está entre zero ponto dois e zero ponto quatro, digamos que este seja zero ponto três. E a coordenada em 𝑦 parece que ser o quarto traço depois de zero, então este é zero ponto oito.

Agora, para a terceira solução, parece que estamos entre dois ponto dois quatro seis oito, dois pontos oito para a nossa coordenada em 𝑥. E a coordenada em 𝑦 é negativa e parece ter cerca de dois traços, então este é menos zero ponto quatro.

Há duas coisas a serem observadas: um, é realmente bastante complicado quando começa a obter estas soluções não inteiras. Não consegue ser tão preciso quanto possível do que se o fizer algebricamente. E também, sabe, precisa de ter bastante cuidado. Precisa de observar a escala, o que os traços representam e pensar com muito cuidado nas suas soluções.

Então, nós temos isto, utilizando gráficos para resolver sistemas de equações. É apenas uma questão de olhar para os gráficos, ver onde se intersetam, ver as interseções entre as retas e as curvas e, em seguida, ler as coordenadas em 𝑥 e ler as coordenadas em 𝑦 correspondentes. Se quiser ser realmente completo, poderá substituir as coordenadas em 𝑥 em cada equação e verificar se obtém as coordenadas em 𝑦 corretas nos dois casos, para garantir que sejam, de facto, simultaneamente verdadeiras.

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